Movimiento Periódico

¿Cuáles son los tipos de movimientos periódicos?

Aunque el movimiento periódico puede observarse en una gran variedad de eventos, es útil distinguir entre tipos específicos de movimiento, como el movimiento circular y el movimiento armónico simple. ¡Veamos cómo es cada uno!

Movimiento circular

Mientras se produce el movimiento circular, la distancia del objeto al eje de rotación (también conocida como radio) permanece constante en todo momento. La velocidad del objeto, sin embargo, cambia continuamente, ya que la velocidad es una cantidad vectorial que depende tanto de la velocidad como de la dirección.

Movimiento armónico simple

Péndulo simple

Las aplicaciones de los péndulos en nuestra vida cotidiana son muy variadas. Algunas son muy importantes —como los péndulos utilizados en los relojes—, mientras que otras son para divertirse —como el columpio de los niños en un parque infantil—. Para pequeños desplazamientos, un péndulo simple puede considerarse un oscilador armónico simple.

Fórmulas del movimiento periódico

Ya hemos visto los distintos tipos de movimiento periódico que existen, ahora vamos a ver las fórmulas que los describen.

Fórmulas del movimiento circular

En el movimiento circular, el cambio de velocidad indica la presencia de una aceleración, que es causada por una fuerza centrípeta. La fuerza centrípeta es la que mantiene el movimiento circular, actuando hacia la dirección del centro y a lo largo del radio.

Su fórmula es: \[F=\dfrac{m\cdot v^2}{r},\]

Donde,

• \(F\) es la fuerza centrípeta en Newtons (\(\mathrm{N}\)).

• \(m\) es la masa del objeto en \(\mathrm{kg}\).

• \(v\) es la velocidad del objeto en \(\mathrm{m/s}\).

• \(r\) es el radio de la órbita del objeto.

Fig. 1: Diagrama del movimiento circular.

La tasa de cambio de la posición angular del objeto es la velocidad angular (\(\omega\)). Si un objeto se mueve (como se muestra en la figura 1) en un movimiento circular, cuyo radio es \(r\) y el periodo de una rotación \(T\), podemos determinar su velocidad angular utilizando la siguiente fórmula: \[\dfrac{\partial\theta}{\partial t}=\omega\,\,\mathrm{rad/s}=\dfrac{2\pi}{T}=2\pi f\]

La relación entre la velocidad del objeto (\(v\)) y su velocidad angular puede expresarse de la siguiente manera: \[v=\omega\cdot T\]

El ángulo (\(\theta\)) recorrido en un periodo de tiempo depende, también, de la velocidad angular y puede expresarse como se indica a continuación (los valores se dan en radianes): \[\theta=\omega\cdot t\]

Fórmulas del movimiento armónico simple

La ley de Hooke establece que la fuerza que se necesita para extender o comprimir un muelle es directamente proporcional a la distancia que el muelle va a extenderse o comprimirse y a la constante de fuerza \(k\) (que es un factor constante característico del muelle):

\[F=k\cdot \Delta x\]

Donde,

• \(F\) es la fuerza necesaria para extender o comprimir el muelle en Newtons (\(\mathrm{N}\)).

• \(k\) es la constante elástica del muelle en \(\mathrm{N/m}\).

• \(\Delta x\) es el desplazamiento del muelle (extensión o compresión) en \(\mathrm{m}\).

Si no hay rozamiento —ni ninguna otra fuerza externa que actúe sobre él—, el objeto oscilará con igual desplazamiento a ambos lados de la posición que toma el oscilador cuando no hay fuerzas actuando sobre él. Sin embargo, esto un escenario ideal y no realista.

Fig. 2: Diagrama de un oscilador armónico simple; en este caso, un muelle.

Para calcular el periodo o la frecuencia de los osciladores armónicos simples, tenemos que considerar la masa \(m\) del objeto y la constante de fuerza del muelle \(k\); pero, no necesitamos considerar la amplitud de la fuerza aplicada, que es independiente del periodo.

La relación entre el periodo, la masa y la constante del muelle viene dada por la siguiente fórmula: \[T=2\pi\cdot\sqrt{\dfrac{m}{k}}\]

Donde,

• \(m\) es la masa del objeto en \(\mathrm{kg}\).

• \(k\) es la constante de fuerza en \(\mathrm{N/m}\).

• \(T\) es el periodo de oscilación en segundos.

También se puede expresar utilizando la frecuencia, en lugar del periodo. Si la frecuencia \(f\) es igual a \(1/T\), obtenemos la siguiente expresión: \[f=\dfrac{1}{2\pi}\cdot\sqrt{\dfrac{k}{m}}\]

Fórmulas para el péndulo simple

Como puedes ver en la figura 3:

• el desplazamiento lineal desde el equilibrio es \(s\)
• la fuerza gravitatoria es \(w = mg\)
  • donde: \(m\) es la masa y \(g\) es la aceleración debida a la gravedad en \(\mathrm{m/s^2}\)
• \(T\) es la fuerza de tensión de la cuerda que está manteniendo el objeto unido a la viga

Fig. 3: Diagrama de un péndulo simple y las fuerzas que actúan sobre él

Podemos expresar la fuerza neta \(F\) que actúa sobre el péndulo como:

\[F=-mg\cdot sin(\theta)\]

La relación entre \(s\) y la longitud de la cuerda \(L\) es:

\[s=L\cdot sin(\theta)\]

De esta ecuación se deduce que \(\theta\) es igual a \(s/L\). Si añadimos esto a la ecuación para encontrar la fuerza neta y tomamos \(sin (\theta)\) como \(sin (\theta) \approx \theta\), podemos expresarlo de la siguiente manera:

\[F\approx -\dfrac{mg}{L}\cdot s\]

Esta es otra forma de \(F = -k\Delta x\), y nos dice que podemos tomar \(k = mg/L\) cuando el desplazamiento es \(\Delta x = s\). Esto nos ayuda a expresar el periodo de otra manera.

Como sabemos, el periodo de un oscilador armónico simple se puede determinar de la siguiente manera: \[T=2\pi\cdot \sqrt{\dfrac{m}{k}}\]

Si sustituimos \(k\) por \(mg/L\), obtenemos:

\[T=2\pi\cdot\sqrt{\dfrac{m}{mg/L}}\]

Por lo tanto,

\[T=2\pi\cdot\sqrt{\dfrac{L}{g}}\]

Ejemplos del movimiento periódico

Comencemos con un ejemplo del movimiento circular:

Ahora veamos un ejemplo para el movimiento armónico simple

Finalmente, veamos un ejemplo para el péndulo simple: