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Supongamos que, por un golpe de suerte, las fuerzas que tú y tu amigo ejercéis sobre la caja son constantes. Supongamos también que las fuerzas que ambos ejercéis son más importantes que las fuerzas netas que se resisten al movimiento de la caja. Entonces, en tu momento más oscuro, cuando toda esperanza parece perdida, entra tu profesor de física y te ayuda a mover la caja. Cuando tu héroe se marcha, te dice: "Ten cuidado de no dejar que la energía cinética de la caja te abrume", de forma muy críptica, como hacen todos los profesores de física.
Pero, ¿qué es la energía cinética y cómo se relaciona con el trabajo? Esto se explica mediante el Principio/Teorema Trabajo-Energía. Este artículo explorará todo lo que necesitas saber sobre el Principio Trabajo-Energía para el examen AP de Física 1. No sólo demostraremos el Principio Trabajo-Energía, sino que también haremos ejemplos aplicables, daremos una explicación del Teorema Trabajo-Energía y lo definiremos con una fórmula clara.
¿Qué es el trabajo? ¿Qué es la energía?
La energía es la capacidad de realizar trabajo. El trabajo es la transferencia de energía dentro o fuera de un sistema. Ahora mismo, probablemente estés diciendo: "Espera, un momento... whoa, whoa whoa. La energía es trabajo, y el trabajo es energía; ¿cómo funciona eso?". Esta interrelación entre trabajo y energía permite que se produzca el Principio Trabajo-Energía. Pero, más adelante hablaremos de ello. Intenta ver el trabajo y la energía como sinónimos más que nada; hacerlo te ayudará más adelante en el artículo.
El trabajo y la energía son magnitudes escalares;esto significa que el trabajo y la energía no tienen dirección asociada: sólo una magnitud.Sin embargo, pueden tener valores positivos y negativos.
Área de aplicación del principio trabajo-energía
Se realiza trabajo \(W\) sobre un objeto cuando aplicamos una fuerza \(F\) sobre él, siempre que la componente de la fuerza esté en la dirección del desplazamiento \(d\). Podemos escribirlo como:
Además, recuerda que el trabajo es la transferencia de energía dentro o fuera de un sistema; esto significa que el trabajo es igual al cambio de energía de un sistema. Por lo tanto, la ecuación anterior puede reescribirse adecuadamente como
Una fuerza exterior ejercida sobre un sistema hace que la energía mecánica, suma de las energías cinética y potencial de un sistema, se transfiera hacia dentro o hacia fuera de dicho sistema: siempre que la fuerza sea paralela al desplazamiento del sistema. Este proceso de transferencia de energía equivale al trabajo realizado.
El trabajo es, por tanto, igual al área bajo una Gráfica de Fuerza vs. Desplazamiento.
Fig. 2 - El trabajo realizado es igual al área bajo una curva Fuerza vs. Desplazamiento
No hay trabajo hecho o \(W=0\) cuando:
- Sobre el objeto no actúa ningún desplazamiento ni ninguna fuerza.
- La fuerza es perpendicular al movimiento (\(\cos{\theta} = 0\)).
El trabajo realizado es negativo cuando la componente de la fuerza está en la dirección opuesta al desplazamiento. Este es el caso en que \(\cos{\theta} = -1\) y \(\theta = 180^{\circ}\mathrm{.}\)El trabajo tiene unidades de \(\mathrm{julios}\), \(\mathrm{J}\) o \(\mathrm{newton,metro}\) \(\mathrm{N,m}\). En unidades básicas del SI, \(1,\mathrm{J}=1,\mathrm{N,m}=1,\mathrm{kg,m^2/s^2}\mathrm{.})
El trabajo realizado a un sistema es positivo; el trabajo realizado por un sistema es negativo. Este artículo sólo se centrará en el trabajo realizado por una fuerza constante.
¿Qué es la energía cinética?
Recuerda que la energía es la capacidad de un objeto para realizar trabajo.
La energía cin ética de un objeto es la energía debida a su movimiento.
Probablemente hayas visto la energía cinética escrita como
Ésta es la ecuación de la energía cinética traslacional.
Un objeto puede tener energía cinética por sí solo. Mientras que la energía potencial requiere un sistema de dos o más objetos, la energía cinética sólo depende de la masa y la velocidad de un objeto; por tanto, un sistema de un solo objeto puede tener energía cinética traslacional.
Explicación del principio trabajo-energía
Cualquier sistema con estructura interna puede tener energía potencial y cinética.
La estructura interna de un sistema se refiere a su capacidad de interactuar dentro de sí mismo.
Por ejemplo, un sistema objeto-tierra puede interactuar consigo mismo porque la tierra ejercería una fuerza gravitatoria sobre el objeto. Comprender la estructura interna de un sistema es esencial porque nos permite explicar la ley de la conservación de la energía.
Todo sistema tiene energía interna, la energía que hay en sí mismo.
Esta energía comprende las energías potencial y cinética dentro del sistema. La ley de la conservación de la energía exige que la energía de un sistema cerrado (un sistema que no interactúa con su entorno) permanezca constante. Por tanto, un cambio en la energía potencial del sistema puede modificar su energía cinética para mantener constante la energía interna global.
Esto nos lleva ahora al Principio Trabajo-Energía.
El Principio Trabajo-Energía es el fenómeno físico según el cual el trabajo realizado en un sistema es igual al cambio en la energía cinética del sistema.
Fórmula del principio trabajo-energía
Escrita matemáticamente, tiene el siguiente aspecto
donde \(W\) es el trabajo realizado, y \(\Delta K\) es el cambio en la energía cinética.
El Principio Trabajo-Energía funciona debido a la conservación de la energía; es sólo un ciudadano excepcional que quiere mantener el equilibrio de la energía en el universo.
Demostrar el Principio Trabajo-Energía
Como hemos visto antes, el Principio Trabajo-Energía relaciona el trabajo con la energía cinética, pero debe haber alguna base matemática que explique por qué el trabajo y la energía cinética pueden estar relacionados. Así pues, veamos si podemos demostrar el Teorema Trabajo-Energía. Primero, empezaremos con la definición de energía cinética:
También definiremos la fuerza \(F\) como producto de la masa \(m\) y la aceleración \(a\). Puede que reconozcas esto como una forma de escribir la Segunda Ley de Newton:
Recuerda nuestra definición de trabajo,
donde definimos \(F\) como la fuerza y \(x\) como el desplazamiento del objeto debido a su movimiento.
Supongamos que nuestra fuerza es completamente paralela al desplazamiento de nuestro objeto, \(\theta = 0\). Utilizando nuestra definición de fuerza, obtenemos
Esto son tres variables multiplicadas; no es la palabra "máx".
A partir de la cinemática para aceleración constante, podemos utilizar la ecuación
Donde el subíndice \(\mathrm{f}\) se refiere a la velocidad final y el subíndice \(\mathrm{i}\) se refiere a la velocidad inicial. Reorganicemos esto para definir la aceleración como
y luego introducimos este valor en nuestra definición de trabajo y obtenemos
A continuación, podemos cancelar los \(x\) y distribuir el \(\frac{1}{2}\m\) a cada uno de nuestros \(v\) en el lado derecho de la ecuación para obtener una nueva ecuación de trabajo de
\W &= \frac{1}{2}m(v_mathrm{f} ^2 - v_mathrm{i} ^2)\mathrm{.} \W &= \frac{1}{2}mv_\mathrm{f} ^2 - \frac{1}{2}mv_\mathrm{i} ^2 \W &= K_\mathrm{f} - K_\mathrm{i} \mathrm{.} \W &= \Delta K\end{align}
De la demostración anterior se deduce que el trabajo es igual a la variación de la energía cinética, lo que demuestra el Teorema Trabajo-Energía. Podemos encontrar aplicaciones del Principio Trabajo-Energía en los ejemplos siguientes.
Ejemplos del Principio Trabajo-Energía
Un artículo de física no puede prescindir de un montón de ejemplos, así que vamos a ello.
Un vehículo \(1,500,0,\mathrm{kg}) que viaja \(30,0,\mathrm{m/s}) aplica sus frenos y derrapa hasta detenerse. Sea la fuerza de rozamiento entre los neumáticos que patinan y el pavimento \(5.000,0,\mathrm{N}). ¿Qué distancia derrapa el vehículo antes de detenerse?
En primer lugar, escribamos nuestra ecuación de trabajo
Luego introduciremos nuestras variables
Dejemos que
por tanto
\x &= \frac{W}{-F} \\x &= \frac{-67,5,\mathrm{kJ}}{-5,000,0,\mathrm{N}}. \\x &= 135,\mathrm{m}\end{align}
Por tanto, nuestro vehículo derrapa (135) antes de detenerse.
Supongamos que una caja de \(10,0,\mathrm{kg}) se desliza por el suelo a \(5,00,\mathrm{m/s}).
- ¿Cuánto trabajo realiza la fricción para detener la caja?
- ¿Cuál es la fuerza necesaria para detener la caja si ésta se desplaza una distancia de \(2,00,\mathrm{m})?
a) Sólo necesitamos calcular el cambio de energía cinética de la caja:
\bin{align}W &= \Delta K \W & =K_\mathrm{f} -K_\mathrm{i} \W &= \frac{1}{2}mv_\mathrm{f} ^2 - \frac{1}{2}mv_\mathrm{i} ^2 \W &= \frac{1}{2}m\left( v_\mathrm{f}^2-v_\mathrm{i}^2\2right) \W &= \frac{1}{2}(10,0,\mathrm{kg})[(0,\mathrm{m/s})^2-(5,00,\mathrm{m/s})^2] \W &= 0,\mathrm{J}-125,\mathrm{J} \\W &= -125,\mathrm{J.}\end{align}
Como la caja va más despacio, ha perdido \(125\,\mathrm{J}) por el rozamiento.
b) Por tanto, podemos utilizar ese valor para calcular la fuerza necesaria para detener la caja:
\bin{align}W &=Fd\cos{\theta} \\F &= \frac{W}{d\cos{\theta}} \\F &= \frac{-125,\mathrm{J}}(2,00,\mathrm{m})(\cos{0^{circ}})} \\F &= -62,5,\mathrm{N.}\end{align}
Fig. 4 - Una caja de \(25,\mathrm{kg}) sobre una \(10,\mathrm{m}) inclinada a \(30^{circ}\)
Una caja de masa \(25\,\mathrm{kg}) se desliza por una pendiente \(30^\{circ}\). La caja acelera a \(2,0,\mathrm{m/s}) y la pendiente tiene \(10,0,\mathrm{m}) de longitud.
a) ¿Cuál es la energía cinética de la caja cuando llega a la parte inferior de la pendiente?
b) ¿Cuánto trabajo se realiza para vencer el rozamiento?
El trabajo realizadopor la gravedad es \(P=W_g = m\gh) donde \(m\) es la masa, \(g\) es la aceleración debida a la gravedad, y \(h\) es la altura/distancia vertical desde la que desciende la caja.
c) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de rozamiento que actúa sobre la caja al deslizarse?
Las preguntas en tres partes son difíciles, así que vamos a dividirlas.
a) La caja tiene masa \(m\) y aceleración \(a\). Se desliza una distancia \(d\) desde el reposo. Entonces
\bin{align}K &= \frac{1}{2}mv^2 \K &= \frac{1}{2}m(2ad) \K &= mad \K &= (25,\mathrm{kg})(2,0,\mathrm{m/s})(10,0,\mathrm{m}) \K &= 500,\mathrm{J.}\end{align}
b) Recuerda que \(W_\mathrm{g} =mgh\). La inclinación es \(30^{circ}\), por lo que \(h=d\sin{\theta}\).
Combinando el trabajo y la distancia vertical se obtiene
\Begin{align}W_mathrm{g} &= mgd\sin{\theta}W_mathrm{g} &= (25,\mathrm{kg})(9,8,\mathrm{m/s^2})(10,0,\mathrm{m})(\sin{30^{\circ}})W_mathrm{g} &= 1225,\mathrm{J.}\end{align}
La otra fuerza que actúa sobre la caja es la fricción. Sea \(W_\mathrm{fr} \) el trabajo realizado por el rozamiento.
Por tanto
y con un poco de álgebra sencilla, obtenemospara una respuesta final dePor tanto, el trabajo realizado para vencer el rozamiento es \(725\,\mathrm{J}\).
c) La magnitud de la fuerza de rozamiento puede calcularse a partir del trabajo: \(W=Fd\), y así,
Principio Trabajo-Energía - Puntos clave
- La energía es la capacidad de realizar trabajo. El trabajo es la transferencia de energía dentro o fuera de un sistema.
- El trabajoy la energía son magnitudes escalares;esto significa que el trabajo y la energía no tienen dirección asociada: sólo una magnitud. Sin embargo, pueden tener valores positivos y negativos.
- El trabajo \(W\) se realiza sobre un objeto cuando aplicamos una fuerza \(F\) sobre un desplazamiento \(d\). Observa que la componente de la fuerza está en la dirección del desplazamiento \(F_{||} \). Podemos escribirlo como
- Una fuerza exterior ejercida sobre un sistema hace que la energía mecánica, suma de las energías cinética y potencial de un sistema, se transfiera hacia dentro o hacia fuera de dicho sistema: siempre que la fuerza sea paralela al desplazamiento del sistema. Este proceso de transferencia de energía equivale al trabajo realizado:
- El trabajo es igual al área bajo una curva gráfica Fuerza vs. Desplazamiento.
- Cada sistema tiene energía interna, la energía que hay en sí mismo. Esta energía comprende las energías potencial y cinética dentro del sistema. La ley de conservación de la energía exige que la energía de un sistema cerrado (un sistema que no interactúa con su entorno) permanezca constante. Por tanto, un cambio en la energía potencial del sistema puede modificar su energía cinética para mantener constante la energía interna global.
- El Principio Trabajo-Energía es el fenómeno físico según el cual el trabajo realizado sobre un sistema es igual al cambio en la energía cinética del sistema: \(W=\Delta K\). Puede deducirse de la segunda ley de Newton \(F=ma\) y de la definición de energía cinética \(K=\frac{1}{2}\\mv^2\).
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