Principio del Trabajo y la Energía

¿Qué es el trabajo? ¿Qué es la energía?

La energía es la capacidad de realizar trabajo. El trabajo es la transferencia de energía dentro o fuera de un sistema. Ahora mismo, probablemente estés diciendo: "Espera, un momento... whoa, whoa whoa. La energía es trabajo, y el trabajo es energía; ¿cómo funciona eso?". Esta interrelación entre trabajo y energía permite que se produzca el Principio Trabajo-Energía. Pero, más adelante hablaremos de ello. Intenta ver el trabajo y la energía como sinónimos más que nada; hacerlo te ayudará más adelante en el artículo.

El trabajo y la energía son magnitudes escalares;esto significa que el trabajo y la energía no tienen dirección asociada: sólo una magnitud.Sin embargo, pueden tener valores positivos y negativos.

Área de aplicación del principio trabajo-energía

Se realiza trabajo \(W\) sobre un objeto cuando aplicamos una fuerza \(F\) sobre él, siempre que la componente de la fuerza esté en la dirección del desplazamiento \(d\). Podemos escribirlo como:

$W=F_{||} d = Fd\cos{\theta}\mathrm{.}$

Además, recuerda que el trabajo es la transferencia de energía dentro o fuera de un sistema; esto significa que el trabajo es igual al cambio de energía de un sistema. Por lo tanto, la ecuación anterior puede reescribirse adecuadamente como

$\Delta E =W = F_{||} d = Fd\cos{\theta}\mathrm{.}$

Una fuerza exterior ejercida sobre un sistema hace que la energía mecánica, suma de las energías cinética y potencial de un sistema, se transfiera hacia dentro o hacia fuera de dicho sistema: siempre que la fuerza sea paralela al desplazamiento del sistema. Este proceso de transferencia de energía equivale al trabajo realizado.

El trabajo es, por tanto, igual al área bajo una Gráfica de Fuerza vs. Desplazamiento.

Fig. 2 - El trabajo realizado es igual al área bajo una curva Fuerza vs. Desplazamiento

No hay trabajo hecho o \(W=0\) cuando:

• Sobre el objeto no actúa ningún desplazamiento ni ninguna fuerza.
• La fuerza es perpendicular al movimiento (\(\cos{\theta} = 0\)).

El trabajo realizado es negativo cuando la componente de la fuerza está en la dirección opuesta al desplazamiento. Este es el caso en que \(\cos{\theta} = -1\) y \(\theta = 180^{\circ}\mathrm{.}\)El trabajo tiene unidades de \(\mathrm{julios}\), \(\mathrm{J}\) o \(\mathrm{newton,metro}\) \(\mathrm{N,m}\). En unidades básicas del SI, \(1,\mathrm{J}=1,\mathrm{N,m}=1,\mathrm{kg,m^2/s^2}\mathrm{.})

¿Qué es la energía cinética?

Recuerda que la energía es la capacidad de un objeto para realizar trabajo.

Probablemente hayas visto la energía cinética escrita como

$K=\frac{1}{2}mv^2\mathrm{.}$

Ésta es la ecuación de la energía cinética traslacional.

Un objeto puede tener energía cinética por sí solo. Mientras que la energía potencial requiere un sistema de dos o más objetos, la energía cinética sólo depende de la masa y la velocidad de un objeto; por tanto, un sistema de un solo objeto puede tener energía cinética traslacional.

Explicación del principio trabajo-energía

Cualquier sistema con estructura interna puede tener energía potencial y cinética.

Por ejemplo, un sistema objeto-tierra puede interactuar consigo mismo porque la tierra ejercería una fuerza gravitatoria sobre el objeto. Comprender la estructura interna de un sistema es esencial porque nos permite explicar la ley de la conservación de la energía.

Esta energía comprende las energías potencial y cinética dentro del sistema. La ley de la conservación de la energía exige que la energía de un sistema cerrado (un sistema que no interactúa con su entorno) permanezca constante. Por tanto, un cambio en la energía potencial del sistema puede modificar su energía cinética para mantener constante la energía interna global.

Esto nos lleva ahora al Principio Trabajo-Energía.

Fórmula del principio trabajo-energía

Escrita matemáticamente, tiene el siguiente aspecto

$W=\Delta K$

donde \(W\) es el trabajo realizado, y \(\Delta K\) es el cambio en la energía cinética.

El Principio Trabajo-Energía funciona debido a la conservación de la energía; es sólo un ciudadano excepcional que quiere mantener el equilibrio de la energía en el universo.

Demostrar el Principio Trabajo-Energía

Como hemos visto antes, el Principio Trabajo-Energía relaciona el trabajo con la energía cinética, pero debe haber alguna base matemática que explique por qué el trabajo y la energía cinética pueden estar relacionados. Así pues, veamos si podemos demostrar el Teorema Trabajo-Energía. Primero, empezaremos con la definición de energía cinética:

$K=\frac{1}{2}mv^2\mathrm{.}$

También definiremos la fuerza \(F\) como producto de la masa \(m\) y la aceleración \(a\). Puede que reconozcas esto como una forma de escribir la Segunda Ley de Newton:

$F=ma\mathrm{.}$

Recuerda nuestra definición de trabajo,

$W=Fx\cos{\theta}\mathrm{,}$

donde definimos \(F\) como la fuerza y \(x\) como el desplazamiento del objeto debido a su movimiento.

Supongamos que nuestra fuerza es completamente paralela al desplazamiento de nuestro objeto, \(\theta = 0\). Utilizando nuestra definición de fuerza, obtenemos

$W=max\mathrm{.}$

A partir de la cinemática para aceleración constante, podemos utilizar la ecuación

$v_\mathrm{f} ^2 = v_\mathrm{i} ^2 - 2ax$

Donde el subíndice \(\mathrm{f}\) se refiere a la velocidad final y el subíndice \(\mathrm{i}\) se refiere a la velocidad inicial. Reorganicemos esto para definir la aceleración como

$a=\frac{v_\mathrm{f} ^2 - v_\mathrm{i} ^2}{2x}\\$

y luego introducimos este valor en nuestra definición de trabajo y obtenemos$W = m\frac{v_\mathrm{f} ^2 - v_\mathrm{i} ^2}{2x} x$

A continuación, podemos cancelar los \(x\) y distribuir el \(\frac{1}{2}\m\) a cada uno de nuestros \(v\) en el lado derecho de la ecuación para obtener una nueva ecuación de trabajo de

\W &= \frac{1}{2}m(v_mathrm{f} ^2 - v_mathrm{i} ^2)\mathrm{.} \W &= \frac{1}{2}mv_\mathrm{f} ^2 - \frac{1}{2}mv_\mathrm{i} ^2 \W &= K_\mathrm{f} - K_\mathrm{i} \mathrm{.} \W &= \Delta K\end{align}

De la demostración anterior se deduce que el trabajo es igual a la variación de la energía cinética, lo que demuestra el Teorema Trabajo-Energía. Podemos encontrar aplicaciones del Principio Trabajo-Energía en los ejemplos siguientes.

Ejemplos del Principio Trabajo-Energía

Un artículo de física no puede prescindir de un montón de ejemplos, así que vamos a ello.