Mientras juegas al billar, golpeas una bola en una mesa de billar, y esa bola golpea a las otras bolas. Éste es un ejemplo de colisión elástica. Wikimedia Commons
Definición de colisión elástica
Las colisiones elásticas son colisiones en las que la energía cinética total permanece igual antes y después de la colisión. Sin embargo, las energías cinéticas de los objetos individuales pueden cambiar.
Colisiónelástica: Colisión en la que la energía cinética total de los objetos permanece invariable a lo largo de la colisión.
Tipos de colisión elástica
Blanco estacionario
Como en el ejemplo de jugar al billar, una bola en movimiento puede golpear a una bola inmóvil y hacer que ésta también se mueva. Una bola en movimiento tiene una velocidad determinada y, por tanto, también tiene energía cinética. Cuando golpea una bola inmóvil, transfiere parte de su energía a la otra bola. Esto significa que la energía cinética de la bola en movimiento disminuye, y la energía cinética de la bola inmóvil aumenta.
Objetivo en movimiento
Cuando ambos objetos están en movimiento y chocan entre sí, aún puede producirse una colisión elástica. La energía cinética total y el momento seguirán conservándose, pero las fórmulas para las velocidades finales diferirán del caso del blanco inmóvil.
Fórmula de las colisiones elásticas
Caso del blanco inmóvil
Cuando una bola en movimiento choca con otra bola inmóvil, transfiere parte de su energía cinética a la otra. Ambas pueden tener una velocidad final después de la colisión. Originales de StudySmarter
Cuando un objeto con masa \(m_1\) y velocidad inicial \(V_{1i}\) choca contra una bola inmóvil con masa \(m_2\), el objeto con masa \(m_1\) tiene una velocidad final \(V_{1f}\) y el objeto con masa \(m_2\) tiene una velocidad final \(V_{2f}\). El momento lineal neto se conserva, por eso el momento total permanece igual antes y después de la colisión.
La ecuación para la conservación del momento lineal puede escribirse como
Ecuación 1: \(m_1V_{1i}=m_1V_{1f}+m_2V_{2f}\)
La ecuación de la conservación de la energía cinética puede escribirse como:
Ecuación 2: \(\frac 1 2 m_1(V_{1i})^2=\frac 1 2 m_1(V_{1f})^2+\frac 1 2m_2(V_{2f})^2\)
Para hallar las velocidades finales, podemos hacer un poco de álgebra. Podemos convertir la ecuación del momento en
Ecuación 3: \(m_1V_{1i}-m_1V_{1f}=m_2V_{2f}\)
Como \(m_1\) es común en el lado izquierdo, podemos reordenar la ecuación:
Ecuación 4: \(m_1(V_{1i}-V_{1f})=m_2V_{2f}\)
También podemos reordenar la ecuación de la energía. En primer lugar, podemos multiplicar la ecuación por 2.
Ecuación 5: \(m_1(V_{1i})^2=m_1(V_{1f})^2+m_2(V_{2f})^2\)
Podemos desplazar \(m_1(V_{1f})^2) al lado izquierdo.
Ecuación 6: \(m_1(V_{1i})^2-m_1(V_{1f})^2=m_2(V_{2f})^2)
Como \(m_1\) es común en el lado izquierdo, ahora podemos reordenar la ecuación:
Ecuación 7: \(m_1((V_{1i})^2-(V_{1f})^2)=m_2(V_{2f})^2\)
Como estamos restando dos elementos que están en forma cuadrada, podemos reescribirlo como
Ecuación 8: \(m_1(V_{1i}+V_{1f})(V_{1i}-V_{1f})=m_2(V_{2f})^2)
Tras dividir la ecuación 8 por la ecuación 4 y reordenar, podemos hallar las fórmulas de colisión elástica para el caso del objetivo estacionario.
$$V_{1f}=\frac {m_1-m_2}{m_1+m_2}V_{1i}$$
$$V_{2f}=\frac {2m_1}{m_1+m_2}V_{1i}$$
Caso del blanco en movimiento
Las dos bolas en movimiento con velocidades pueden tener velocidades finales diferentes tras una colisión elástica. La energía cinética total se conserva. Originales de StudySmarter
Cuando un objeto con masa \(m_1\) y velocidad inicial \(V_{1i}\) choca contra una bola con masa \(m_2\) y velocidad inicial \(V_{2i}\), el objeto con masa \(m_1\) tiene una velocidad final \(V_{1f}\) y el objeto con masa \(m_2\) tiene una velocidad final \(V_{2f}\).
Podemos escribir la ecuación de conservación del momento como
Ecuación 10: \(m_1V_{1i}+m_2V_{2i}=m_1V_{1f}+m_2V_{2f}\)
Podemos escribir la conservación de la energía cinética como
Ecuación 11: \(\frac 12m_1(V_{1i})^2+\frac 12m_2(V_{2i})^2=\frac 12m_1(V_{1f})^2+\frac 12m_2(V_{2f})^2)
Podemos reordenar la ecuación 10:
Ecuación 12: \(m_1V_{1i}-m_1V_{1f}=m_2V_{2f}-m_2V_{2i}\)
Ecuación 13: \(m_1(V_{1i}-V_{1f})=-m_2(V_{2i}-V_{2f})\)
También podemos reordenar la ecuación 11:
Ecuación 14: \(m_1(V_{1i}-V_{1f})(V_{1i}+V_{1f})=-m_2(V_{2i}-V_{2f})(V_{2i}+V_{2f})\)
Podemos dividir la ecuación 14 por la ecuación 13 y reordenarla para obtener las fórmulas de las velocidades finales de los objetos:
$$V_{1f}=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}V_{1i}+\frac{2m_2}{m_1+m_2}V_{2i}$$
$$V_{2f}=\frac{2m_1}{m_1+m_2}V_{1i}+\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}V_{2i}$$
Ecuación de colisión elástica
Para el caso del objetivo estacionario, nuestras ecuaciones de velocidad son:
$$V_{1f}=\frac {m_1-m_2}{m_1+m_2}V_{1i}$$
$$V_{2f}=\frac {2m_1}{m_1+m_2}V_{1i}$$
Para el caso del objetivo móvil, nuestras ecuaciones de velocidad final son diferentes:
$$V_{1f}=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}V_{1i}+\frac{2m_2}{m_1+m_2}V_{2i}$$
$$V_{2f}=\frac{2m_1}{m_1+m_2}V_{1i}+\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}V_{2i}$$
Ejemplos de colisión elástica
Una bola con una masa de 2 kg se desplaza hacia la derecha con una velocidad de 4 m/s y choca contra una bola inmóvil con una masa de 1 kg en la mesa de billar. ¿Cuáles son las velocidades finales de las bolas?
Solución:
Para hallar las velocidades finales, podemos utilizar la Ecuación 9. Como se indica en el ejemplo, \(V_{1i}=4 \frac ms\) y \(m_1=2 kg\). Podemos insertar estos valores en la ecuación.
$$V_{1f}=\frac {2 kg - 1 kg}{2 kg + 1 kg}veces 4 \frac ms = \frac 1 3 \frac ms = \frac 4 3 \frac ms$$
$$V_{2f}=\frac {2 \times 2 kg}{2 kg + 1 kg}\times 4 \frac ms = \frac 4 3 \times 4 \frac ms = \frac {16} 3 \frac ms$$
Una bola con una masa de 6 kg y una velocidad inicial de 4 m/s choca con otra bola con una masa de 4 kg y una velocidad inicial de 2 m/s. Ambas se mueven hacia la derecha. ¿Cuáles son sus velocidades finales tras la colisión?
Solución:
Podemos utilizar nuestra fórmula anterior para hallar las velocidades finales. Aquí, \(m_1=6 kg\) y \(m_2=4 kg\), \(V_{1i} = 4 \frac ms\) y \(V_{2i}=2 \frac ms\).
$$V_{1f}=\frac{6 kg-4 kg}{6 kg+4 kg}veces 4 \frac ms + \frac{2veces 4 kg}{6 kg+4 kg}veces 2 \frac ms$$
$$V_{1f}= \frac 2{10} veces 4+ \frac 8{10} veces 2 = \frac 8{10}+ \frac{16}{10}= \frac{24}{10}flecha derecha 2,4 \frac ms$$
$$V_{2f}=\frac{2 veces6 kg}{6 kg + 4 kg}{4 veces 4\frac ms+\frac{4 kg - 6 kg}{6 kg + 4 kg}{2 veces 2\frac ms$$
$$V_{2f} = \frac {12}{10}{tiempos 4 + \frac{-2}{10}{tiempos 2 = \frac{48}{10}-\frac 4{10} = \frac{44}{10}{flecha derecha 4,4 \frac ms$$
Colisiones elásticas - Puntos clave
- Las colisiones elásticas son colisiones en las que la energía cinética total permanece igual antes y después de la colisión.
- Las energías cinéticas de los objetos individuales pueden cambiar después de la colisión.
- El momento lineal neto se conserva.
- Jugar al billar y otras situaciones en las que rebotan bolas pueden ser ejemplos de colisión elástica.
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