Elasticidad, Choques | Colisiones y Conservación del Momento

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Significado de las colisiones y la conservación del momento

Vemos colisiones a nuestro alrededor; un par de ejemplos son las colisiones de coches y la colisión de una pelota y un bate. En física, cuando dos objetos sufren una colisión, cada objeto ejerce una fuerza de contacto muy fuerte sobre el otro en un breve espacio de tiempo. Generalmente, las fuerzas que los objetos ejercen entre sí son muy fuertes en comparación con cualquier otra fuerza que actúe sobre el sistema. Por ello, podemos ignorar las fuerzas externas y considerar únicamente las fuerzas que los objetos ejercen entre sí. Un buen ejemplo de ello es cómo en una colisión de coches, las fuerzas que éstos ejercen entre sí son mucho mayores que la fuerza de rozamiento de la carretera sobre los neumáticos.

Una colisión es una interacción entre objetos en la que éstos ejercen entre sí fuerzas de contacto muy intensas durante un breve período de tiempo.

Colisiones y conservación del momento Colisión inelástica de un coche en la que los coches ejercen fuertes fuerzas entre sí y el momento se conserva StudySmarter Los coches en una colisión ejercen fuertes fuerzas de contacto entre sí en un breve periodo de tiempo, Pixabay

La energía mecánica de un sistema, o la suma de la energía cinética y potencial, se conserva cuando sólo actúan fuerzas conservativas sobre los objetos del sistema. Si una fuerza no conservativa, como la fricción, actúa sobre un objeto, la energía mecánica total es distinta de la que era inicialmente. Clasificamos las colisiones en elásticas o inelásticas en función de si la energía mecánica se conserva o no durante la colisión.

Una colisión elástica es una colisión en la que se conserva la energía mecánica.

Unacolisión inelástica es una colisión en la que no se conserva la energía mecánica.

Los átomos y las moléculas sufren colisiones elásticas con frecuencia. Las colisiones macroscópicas que vemos todos los días son inelásticas, ya que la energía cinética se convierte en otras formas de energía, como la energía térmica, cuando chocan objetos macroscópicos. Sin embargo, podemos aproximar que algunas colisiones macroscópicas son elásticas, como las colisiones entre bolas de billar al jugar al billar. Podemos justificar el tratamiento de una colisión como elástica sólo cuando la pérdida de energía es despreciable y prácticamente no hay deformación durante la colisión.

Normalmente, durante una colisión, los objetos colisionados resultan dañados por las grandes fuerzas que experimentan. Las fuerzas que experimentan los objetos también varían en la mayoría de las colisiones. Si utilizamos la conservación del momento y la conservación de la energía en lugar de las leyes del movimiento de Newton para describir la colisión, el problema se simplifica mucho. No necesitamos tener en cuenta la fuerza variable ni cuánto daño se hace a cada objeto si utilizamos la conservación del momento.

La ley de la conservación del momento

Cuando sobre un sistema no actúan fuerzas externas, se denomina sistema aislado. Cuando se produce una colisión en un sistema aislado, el momento se conserva. La ley de conservación del momento nos dice que el momento es constante antes y después de la colisión.Portanto, aunque la energía mecánica no siempre se conserva durante una colisión, elmomento en un sistema aislado siempre se conserva. Como ya hemos dicho, las fuerzas que ejercen los objetos entre sí son mucho mayores que las fuerzas externas. Por tanto, para los ejemplos que vamos a considerar, ignoraremos cualquier fuerza externa y consideraremos el sistema como aislado.

El principio de conservación del momento establece que, en un sistema aislado, el momento es constante durante una colisión.

Fórmulas para colisiones con conservación del momento

Utilizando las leyes de conservación del momento y la energía, podemos escribir ecuaciones para describir el movimiento de los objetos en una colisión. Aquí nos centraremos en el momento lineal, aunque este concepto también puede aplicarse en forma de momento angular. Consideremos por separado los dos tipos de colisiones que hemos mencionado antes: las colisiones elásticas y las colisiones inelásticas.

Fórmula de las colisiones elásticas

En las colisiones elásticas, tanto la energía mecánica como el momento se conservan. Por tanto, tenemos una ecuación que podemos escribir para cada una de ellas. La conservación de la energía mecánica nos dice que la energía antes de la colisión $E_{i}$ debe ser igual a la energía después de la colisión, $E_{f}$ :

$E_{i} = E_{f}$

Colisiones y conservación del momento Bola de billar a rayas rojas a punto de ser golpeada por otra bola de billar como ejemplo de colisión elástica en la que se conserva el momento StudySmarter El choque de bolas de billar es un ejemplo de colisión elástica, Pixabay

La energía mecánica es la suma de la energía cinética y potencial del sistema, pero de momento consideremos un sistema que sólo tiene energía cinética, como una bola de billar a punto de chocar con otra bola de billar. Supondremos que ambas bolas de billar se mueven en línea recta y que la colisión es unidimensional. La energía total antes de la colisión viene dada por

$E_{i} = K_{1 i} + K_{2 i} = \frac{1}{2} m_{1} {v_{1 i}}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} {v_{2 i}}^{2},$

donde $m_{1}$ y $m_{2}$ son las masas de las bolas de billar, y $v_{1 i}$ y $v_{2 i}$ son sus velocidades iniciales. Las bolas de billar suelen tener la misma masa, pero por generalidad supondremos que son ligeramente diferentes. La energía total tras la colisión viene dada por

$E_{f} = K_{1 f} + K_{2 f} = \frac{1}{2} m_{1} {v_{1 f}}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} {v_{2 f}}^{2},$

donde $v_{1 f}$ y $v_{2 f}$ son las velocidades finales de las bolas de billar. Igualándolas obtenemos

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{2} m_{1} {v_{1 i}}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} {v_{2 i}}^{2} & = & \frac{1}{2} m_{1} {v_{1 f}}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} {v_{2 f}}^{2} \\ \frac{1}{2} m_{1} {v_{1 i}}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} {v_{2 i}}^{2} & = & \frac{1}{2} m_{1} {v_{1 f}}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} {v_{2 f}}^{2} \\ m_{1} {v_{1 i}}^{2} + m_{2} {v_{2 i}}^{2} & = & m_{1} {v_{1 f}}^{2} + m_{2} {v_{2 f}}^{2} . \end{array}$

Esta es la ecuación a la que hemos llegado utilizando la conservación de la energía mecánica. Ahora, veamos la ecuación que podemos obtener a partir de la conservación del momento. El momento lineal inicial $P_{i}$ debe ser igual al momento lineal final, $P_{f}$ :

$P_{i} = P_{f}$

El momento lineal antes de la colisión es

P_{i} = P_{1 i} + P_{2 i} = m_{1} v_{1 i} + m_{2} v_{2 i}

y el momento lineal después de la colisión es

$P_{f} = P_{1 f} + P_{2 f} = m_{1} v_{1 f} + m_{2} v_{2 f} .$

Obtenemos nuestra ecuación de la conservación del momento lineal igualando estos:

$m_{1} v_{1 i} + m_{2} v_{2 i} = m_{1} v_{1 f} + m_{2} v_{2 f}$

Parece que estas ecuaciones tienen muchas variables desconocidas, pero la mayoría de los problemas nos dan la masa y las velocidades iniciales de los objetos del sistema. Recuerda que siempre que tengamos dos ecuaciones, podemos resolver como máximo dos variables desconocidas. Así,podemos utilizar las ecuaciones de conservación de la energía y de conservación del momento para resolver la velocidad final de cada uno de los dos objetos que colisionan.

Las ecuaciones de conservación del momento y de la energía utilizadas anteriormente sólo se aplican a los objetos que se desplazan en una dimensión y tienen una colisión elástica. Si la colisión se produce en ángulo, debemos considerar las componentes vertical y horizontal de las velocidades para hallar las componentes del momento.

Fórmula de las colisiones inelásticas

En las colisiones inelásticas, la energía mecánica no se conserva, por lo que no podemos igualar las energías mecánicas inicial y final. Sin embargo, podemos seguir utilizando la conservación del momento. Consideremos una situación unidimensional similar al ejemplo anterior, salvo que esta vez, cuando las bolas chocan, parte de la energía cinética se pierde en favor de otras formas de energía, como la térmica y la sonora. La ecuación para describir la conservación del momento es la misma que antes:

$\begin{array}{rcl} P_{i} & = & P_{f} \\ P_{1 i} + P_{2 i} & = & P_{1 f} + P_{2 f} \\ m_{1} v_{1 i} + m_{2} v_{2 i} & = & m_{1} v_{1 f} + m_{2} v_{2 f} \end{array}$

Como sólo tenemos una ecuación, sólo podemos resolver para una variable. Podemos hacerlo si el problema nos da los valores de las otras variables, o podemos resolver la relación de las velocidades finales cuando nos dan los valores de las masas y las velocidades iniciales.

Un caso especial de colisión inelástica es cuando los objetos se adhieren entre sí después de la colisión. Esto se denomina colisión perfectamente inelástica. En este caso, comparten la misma velocidad final. Imagina que una de las bolas del ejemplo anterior es pegajosa y se pega a la otra bola después de la colisión. Igualando el momento inicial y el momento final tendríamos entonces:

$\begin{array}{rcl} P_{i} & = & P_{f} \\ P_{1 i} + P_{2 i} & = & P_{1, 2 f} \\ m_{1} v_{1 i} + m_{2} v_{2 i} & = ( & m_{1} + m_{2}) v_{f} \end{array}$

Para una colisión perfectamente inelástica, sólo hay que encontrar una velocidad final, lo que podemos hacer si nos dan las demás variables.

Otros nombres para una colisión perfectamente inelástica son colisión completamente inelástica, colisión totalmente inelástica, colisión máximamente inelástica, etc. Distintos autores utilizan adjetivos diferentes, pero todas estas expresiones significan lo mismo.

Colisiones y ejemplos de conservación del momento

Dado que las colisiones se producen con frecuencia en nuestra vida cotidiana, debemos ser capaces de establecer ecuaciones de conservación de la energía y el momento en función de cada situación. A continuación encontrarás un par de ejemplos que te ayudarán a practicar.

Un gran bloque de masa $m_{1}$ colisiona con un bloque de masa más pequeño $m_{2}$ que inicialmente está en reposo. Los bloques se mueven juntos después de la colisión. ¿Cuál es la relación entre las velocidades inicial y final?

Colisiones y conservación del momento Ejemplo de dos bloques de masas diferentes que experimentan una colisión completamente inelástica y se mueven juntos después de la colisión StudySmarter Colisión completamente inelástica entre bloques, StudySmarter Originals

La colisión entre los bloques es una colisión completamente inelástica porque se pierde energía cinética durante la colisión y los bloques se mueven juntos después de la colisión. Utilizaremos la conservación del momento para hallar el cociente de las velocidades. El momento inicial del bloque mayor es

$P_{1 i} = m_{1} v_{i}$ .

El bloque más pequeño está en reposo antes de la colisión y, por tanto, tiene un momento inicial nulo:

P_{2 i} = 0

Por tanto, el momento inicial total es

\begin{array}{rcl} P_{i} & = & P_{1 i} + P_{2 i} \\ = & m_{1} v_{i} . \end{array}

El momento final del sistema se obtiene multiplicando la masa combinada por la velocidad final, de modo que

P_{f} = (m_{1} + m_{2}) v_{f}

Igualando estos valores obtenemos

$\begin{array}{rcl} P_{i} & = & P_{f} \\ m_{1} v_{i} & = & (m_{1} + m_{2}) v_{f} \end{array}$

Dividiendo la masa combinada a la izquierda y la velocidad inicial a la derecha obtenemos nuestra relación:

$\begin{array}{rcl} v_{f} & = & \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} v_{i} \\ \frac{v_{f}}{v_{i}} & = & \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} \end{array}$

Una bola de billar choca con otra bola de billar que se mueve inicialmente con velocidad $v_{2 i} = 1 \frac{m}{s}$ . Las dos bolas de billar salen con un ángulo de $θ = 30 °$ después de la colisión. La velocidad inicial de la primera bola de billar es $v_{1 i} = 4 \frac{m}{s}$ y tienen masas iguales. Halla las velocidades finales de ambas bolas de billar.

Colisiones y conservación del momento Colisión entre bolas de billar en la que ambas salen despedidas en ángulo tras la colisión StudySmarter

Colisión bidimensional entre bolas de billar, StudySmarter Originals

Utilicemos la conservación del momento para hallar las velocidades finales de las bolas de billar. Como las bolas de billar salen despedidas en ángulo tras la colisión, tendremos que dividir el momento inicial y final en las componentes vertical y horizontal. Empezaremos por la componente horizontal. La componente horizontal del momento inicial viene dada por

$P_{i x} = m v_{1 i} + m v_{2 i}$

No hay velocidad inicial en la dirección vertical, por lo que el momento inicial es cero:

$P_{i y} = 0$

Para hallar la componente horizontal del momento final, necesitamos dividir la velocidad en componentes vertical y horizontal.

Las componentes verticales de cada velocidad son:

$v_{1 f y} = v_{1 f} \sin θ$

$v_{2 f y} = v_{2 f} \sin (- θ) = - v_{2 f} \sin (θ)$

. Las componentes horizontales son:

$v_{1 f x} = v_{1 f} \cos θ$

$v_{2 f x} = v_{2 f} \cos (- θ) = v_{2 f} \cos (θ)$

Observa que tenemos un ángulo negativo para la bola de billar verde. La componente horizontal del momento final es entonces

$P_{f x} = m v_{1 f x} + m v_{2 f x} = m (v_{1 f} \cos θ + v_{2 f} \cos θ),$

y la componente vertical del momento final es

$P_{f y} = m v_{1 f y} + m v_{2 f y} = m (v_{1 f} \sin θ - v_{2 f} \sin θ) .$

Ahora podemos equipararlas a las componentes del momento inicial:

$\begin{array}{rcl} P_{i x} & = & P_{f x} \\ m v_{1 i} + m v_{2 i} & = & m (v_{1 f} \cos θ + v_{2 f} \cos θ) \\ P_{i y} & = & P_{f y} \\ 0 & = & m (v_{1 f} \sin θ - v_{2 f} \sin θ) \end{array}$

A partir de la componente vertical del momento, podemos cancelar la masa y la función seno:

$\begin{array}{rcl} 0 & = & \begin{array}{l} m (v_{1 f} \sin θ - v_{2 f} \sin θ) \end{array} \\ 0 & = & m \sin θ (v_{1 f} - v_{2 f}) \end{array}$

Como sabemos que el ángulo de dispersión y la masa no son cero, podemos dividirlos por el otro lado para obtener:

$\begin{array}{rcl} \frac{0}{m \sin θ} & = & (v_{1 f} - v_{2 f}) \\ 0 & = & (v_{1 f} - v_{2 f}) \\ v_{1 f} & = & v_{2 f} \end{array}$

Si el ángulo de dispersión fuera cero, no podríamos dividir el término seno hacia el otro lado.

Hemos comprobado que la magnitud de la velocidad de las bolas de billar es la misma. Así que ahora llamémosla $v_{f} = v_{1 f} = v_{2 f}$ . Podemos utilizarlo en la ecuación de la componente horizontal del momento para resolver la magnitud de la velocidad final de ambas bolas:

$\begin{array}{rcl} m v_{1 i} + m v_{2 i} & = & m (v_{1 f} \cos θ + v_{2 f} \cos θ) \\ m (v_{1 i} + v_{2 i}) & = & m (v_{f} \cos θ + v_{f} \cos θ) \\ v_{1 i} + v_{2 i} & = & 2 v_{f} \cos θ \\ v_{f} & = & \frac{v_{1 i} + v_{2 i}}{2 \cos θ} \\ = & \frac{(4 \frac{m}{s} + 1 \frac{m}{s})}{2 \cos (30 °)} \\ = & 2.89 \frac{m}{s} \end{array}$

Las dos bolas de billar salen despedidas con un ángulo de $30 °$ con una velocidad de $2.89 \frac{m}{s}$ .

Colisiones y conservación del momento - Puntos clave

En física, una colisión es una interacción entre objetos en la que éstos ejercen entre sí fuerzas muy intensas de contacto en un breve espacio de tiempo.
El momento siempre se conserva cuando se produce una colisión en un sistema aislado.
La energía mecánica no siempre se conserva durante una colisión.
Una colisión elástica es aquella en la que la energía mecánica y el momento se conservan.
Una colisión inelástica es aquella en la que no se conserva la energía mecánica y se produce una disminución de la energía cinética.

Tarjetas en Colisiones y Conservación del Momento 9

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¿Qué es una colisión?

Interacción entre objetos en la que ejercen entre sí fuerzas muy intensas en un breve espacio de tiempo.

¿En qué tipo de sistema debe producirse una colisión para que se conserve el momento?

Un sistema aislado.

¿En qué tipo de colisión se conserva la energía mecánica?

Una colisión elástica.

¿En qué tipo de colisión no se conserva la energía mecánica?

Una colisión inelástica.

¿Cuál es un ejemplo de colisión inelástica?

Un accidente de coche.

¿Qué tipo de colisión se produce cuando chocan dos bolas de billar?

Una colisión elástica.

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Preguntas frecuentes sobre Colisiones y Conservación del Momento

¿Qué es una colisión en física?

Una colisión es un evento donde dos o más cuerpos interactúan y aplican fuerzas mutuamente durante un intervalo corto de tiempo.

¿Qué es la conservación del momento?

La conservación del momento establece que el momento total de un sistema aislado permanece constante si no hay fuerzas externas actuando sobre él.

¿Cuál es la diferencia entre una colisión elástica e inelástica?

En una colisión elástica, se conserva tanto el momento como la energía cinética. En una colisión inelástica, el momento se conserva pero la energía cinética no.

¿Cómo se calcula el momento de un objeto?

El momento (p) se calcula multiplicando la masa (m) del objeto por su velocidad (v): p = m * v.

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