Escalar y Vector

Escalares y vectores: significado y ejemplos

Como ya hemos dicho, una cantidad con una magnitud y una dirección se conoce como cantidad vectorial.

Veamos algunos ejemplos de escalares y vectores.

Supongamos que tienes una caja y la mueves una distancia de 5 metros.

Si le dices a alguien que la distancia entre los puntos A y B es de 5 metros, estás hablando de una cantidad escalar, porque no estás especificando ninguna dirección. Cinco metros es sólo una magnitud (distancia), y la dirección puede ser cualquiera. Por tanto, la distancia es una cantidad escalar.

Sin embargo, si le dices a alguien que has movido la caja 5 metros hacia la derecha (este), como se muestra en la figura 1, ahora estás hablando de una cantidad vectorial. ¿Por qué? Porque ahora has especificado una dirección asociada al movimiento. Y en física, esto se denomina desplazamiento. Por tanto, el desplazamiento es una cantidad vectorial.

Supongamos que has tardado 2 segundos en mover la caja hacia la derecha.

Si tuvieras que calcular lo rápido que has movido la caja, estarías calculando la velocidad del movimiento. En el ejemplo anterior, la velocidad es

\(Velocidad = \frac{5 \space m}{2 \space s} = 2,5 \space m/s\)

La velocidad es una cantidad escalar , ya que no tiene dirección.

Sin embargo, si dices que la caja se movió con una velocidad de 2,5 m/s hacia la derecha, se convierte en una cantidad vectorial. La velocidad con una dirección es la velocidad, y un cambio en la velocidad se conoce, a su vez, como aceleración (^m/s2), que también es una cantidad vectorial.

Masa y peso: ¿cuál es una cantidad escalar y cuál vectorial?

La masa y el peso de un cuerpo pueden parecer lo mismo, pero no lo son.

Escalar

La masa no tiene ninguna dirección, ¡y será la misma estés donde estés en el universo! Así que podemos clasificar la masa como una cantidad escalar.

Vectorial

El peso, en cambio, es la fuerza que actúa sobre un objeto, y como la fuerza tiene una dirección, el peso es una cantidad vectorial.

Otra forma de verlo es si colocas un objeto en la Tierra y otro con la misma masa en la Luna. Ambos objetos tendrán la misma masa pero un peso diferente debido a la atracción gravitatoria de la Luna (1,62 ^m/s2), que es menor en comparación con la Tierra.

¿Cómo podemos representar vectores?

Podemos representar los vectores con una flecha, como se muestra a continuación.

La longitud representa la magnitud, la cola es el punto inicial de un vector, el sentido de un vector viene dado por el orden de dos puntos de una recta paralela al vector, y la orientación te dice a qué ángulo apunta el vector. La combinación de orientación y sentido especifica la dirección del vector.

Ejemplos de vectores: ¿cómo podemos realizar la suma de vectores?

Veamos algunos ejemplos de cómo realizar la suma de vectores.

Supongamos que tienes dos vectores de 10N y 15N, y que ambos apuntan hacia el este. La suma de estos vectores se convierte en 25N hacia el este.

Ahora, si cambiamos la dirección del 15N hacia el oeste (-15 N), el vector resultante pasa a ser -5 N (apuntando hacia el oeste). Una cantidad vectorial puede tener signos positivos y negativos. El signo de un vector indica que la dirección del vector es la opuesta a la dirección de referencia (que es arbitraria).

Ahora bien, por supuesto, todas las sumas de vectores no son tan sencillas como la mostrada anteriormente. ¿Qué harías si los dos vectores fueran perpendiculares entre sí? Aquí es donde tenemos que improvisar un poco.

Regla de cabeza a cola

Con esta regla, podemos calcular el vector resultante uniendo la cola del primer vector con la cabeza del segundo vector. Echa un vistazo a las figuras siguientes.

Una fuerza vectorial de 30 N actúa en dirección este, mientras que una fuerza vectorial de 40 N actúa en dirección norte. Podemos calcular el vector resultante uniendo la cola del vector de 30 N con la cabeza del vector de 40 N. Los vectores son perpendiculares, por lo que podemos utilizar el teorema de Pitágoras para resolver el vector resultante, como se muestra en la figura 7.

Con un poco de trigonometría y aplicando el teorema de Pitágoras, el vector resultante se convierte en 50 N. Ahora bien, como ya hemos comentado, una cantidad vectorial tiene una magnitud además de una dirección, así que podemos calcular el ángulo del vector 50 N utilizando una tangente inversa de 40/30 (perpendicular/base). El ángulo es entonces de 53,1º respecto a la horizontal en el ejemplo anterior.

Resolver un vector en sus componentes

Utilizando el mismo ejemplo anterior, ¿qué pasaría si sólo tuviéramos la fuerza vectorial de 50 N con un ángulo desde la horizontal y se nos pidiera hallar sus componentes horizontal y vertical?

Veamos un ejemplo para explicar mejor este concepto.

Supongamos que se aplica una fuerza vectorial F de 150N en un ángulo de 30 grados respecto a la superficie.

Podemos dividir el vector F en una componente horizontal (Fx) y una componente vertical (Fy), como se muestra a continuación:

El cálculo de Fx y Fy mediante trigonometría nos da:

\ F_x = \cos(30) \cdot F = 129,9 \space N\]

\ F_y = \sin(30) \cdot F = 75 \space N\]

Resolver componentes de una fuerza en un plano inclinado

Como ya te habrás dado cuenta, ¡los cálculos en física nunca son tan sencillos! No todas las superficies son horizontales: a veces las superficies pueden estar inclinadas, y tienes que calcular y resolver las componentes a lo largo de un plano inclinado.

La figura 10 muestra una caja sobre una superficie con un ángulo θ respecto a la horizontal. El peso de la caja, mg, actúa hacia abajo con una masa m y la atracción gravitatoria g.

Si dividimos el vector mg en las componentes horizontal y vertical

• la componente vertical será perpendicular a la superficie inclinada, y
• la componente horizontal de mg será paralela a la superficie inclinada.

El ángulo θ entre mg y mgcosθ será el mismo que el ángulo de la superficie inclinada respecto a la horizontal. La fuerza que acelerará la caja pendiente abajo será mgsinθ (Fg), y la fuerza de reacción Fn (de la tercera ley de Newton) será igual a mgcosθ. Por tanto

\[F_g = m \cdot g \cdot \sin(\theta)\].

\[F_n = m \cdot g \cdot \cos(\theta)\]

Equilibrio de sistemas de fuerzas coplanares

Si sobre un cuerpo actúan fuerzas y el cuerpo está inmóvil o se mueve con velocidad constante (no acelera), tal caso se denomina equilibrio. Para que un objeto esté en equilibrio, las líneas de fuerza deben pasar por el mismo punto.

En el diagrama siguiente, una escalera uniforme está apoyada en una pared lisa (sin rozamiento). El peso de la escalera actúa hacia abajo, y la fuerza normal de reacción actúa formando un ángulo de 90° con la pared.

Si extiendes estas fuerzas, verás que se cruzan en un punto determinado. Como el objeto está en equilibrio, la fuerza del suelo también debe pasar por el mismo punto que las otras fuerzas.

Resolviendo la fuerza del suelo en sus componentes vertical y horizontal, la fuerza normal de reacción del suelo actúa hacia arriba, y la fuerza de rozamiento del suelo actúa a lo largo de la superficie.

En esencia, lo que ocurre es que todas las fuerzas se anulan entre sí.

• La fuerza normal de la pared (fuerza derecha) = fuerza de rozamiento que actúa a lo largo del suelo (fuerza izquierda).
• Peso de la escalera (fuerza hacia abajo) = fuerza de reacción del suelo (fuerza hacia arriba).