Módulo de Young

Fórmula del módulo de Young

El módulo elástico E puede expresarse como la tensión dividida por la deformación, según la fórmula siguiente.

\[\text{módulo de Young}[N/m^2] = \frac{text{esfuerzo}}{text{deformación}} = \frac{sigma}{varepsilon} = \frac{frac{F}{A}{\frac{Delta L}{L_0} = \frac{FL_0}{A \Delta L}].

Las unidades del módulo de Young son las mismas que la tensión, ^N/m2, que equivale a Pa (pascal). Como el módulo elástico suele ser un número muy grande de la magnitud de¹⁰⁹, a menudo se expresa en Giga Pascales, que se muestran como GPa.

\[\text{módulo de Young} = \frac{FL_0}{A \Delta L} = \frac{F[N] L_0[m]}{A[m^2]}{Delta L[m]} = \frac{N}{m^2} = Pa\].

¿Cómo se relaciona el módulo de Young con la ley de Hooke?

La ley de Hooke establece que la fuerza que actúa sobre un cuerpo o muelle creando un desplazamiento Δx, es lineal al desplazamiento creado, como muestra la ecuación siguiente, donde k es una constante relativa a la rigidez del muelle. La ley de Hooke puede aplicarse a situaciones en las que un cuerpo se deforma elásticamente.

\[F = k \Delta x\]

De forma similar a la ley de Hooke, en la que la extensión o compresión de un muelle es linealmente proporcional a la fuerza aplicada; la tensión que se aplica sobre un cuerpo es linealmente proporcional al módulo de Young E, como se muestra en la ecuación reordenada siguiente.

\[\sigma = E \varepsilon\]

Calcular gráficamente el módulo de Young

Dado que el módulo elástico de un material es linealmente proporcional a la tensión aplicada dividida por la deformación, el módulo de Young también puede calcularse a partir de una gráfica tensión-deformación, que describe una deformación lineal tal como establece la ley de Hooke. El módulo de Young es igual a la pendiente de la región lineal de la curva tensión-deformación, como se muestra en la figura siguiente.

Experimentos para demostrar el módulo de Young

Para medir el módulo de Young de un metal, se pueden realizar varios experimentos. Se aplicarán cargas variables a un alambre de cobre y se medirá la extensión resultante para construir un gráfico de tensión-deformación. De acuerdo con las ecuaciones de tensión y deformación, se medirán los parámetros necesarios con el siguiente equipo.

• Alambre

• Micrómetro

• Polea

• Regla métrica

• Calibre

• Pesas

• Pinza

• Bloque de madera

• Banco

Metodología

1. Con la regla, medimos la longitud inicial del alambre. Con el micrómetro medimos el diámetro del alambre en tres puntos de su longitud. Así obtendremos el diámetro medio que utilizaremos en el cálculo del área.

2. Conectamos un extremo del alambre a la polea que está sujeta a un banco, y el otro extremo a un bloque de madera sujeto con abrazaderas.

3. Se mide y registra la extensión del alambre debida a la fuerza de las pesas. La diferencia entre la nueva longitud y la longitud original antes de la extensión se utiliza en el cálculo de la deformación.

4. Repite el proceso para obtener de 5 a 10 lecturas más. Se recomienda realizar varias mediciones con distintos pesos para reducir los errores.

5. A continuación, traza la tensión frente a la deformación y halla el módulo elástico tomando el gradiente de la línea.

Análisis de resultados

El objetivo del experimento es estimar el módulo de Young. Éste puede hallarse estimando la tensión y la deformación. Para hallar la tensión y la deformación hay que seguir los siguientes pasos.

1. Halla el área del alambre utilizando el diámetro medido y la ecuación \(A= \pi r^2\) donde \(r=\frac{R}{2}\).

2. Reorganiza la fórmula del módulo de Young y resuélvela para F. Esto nos dará \(F=\frac{(E\cdot A)}{L} \cdot \Delta L\).

3. La ecuación reordenada es similar a la ecuación de una recta de la forma y = ax, donde y es F y la pendiente es el coeficiente de ΔL.

4. Se construye un gráfico de Fuerza frente a ΔL a partir de la fuerza registrada y los puntos de extensión para poder hallar la pendiente. Se halla la pendiente \(\frac{\Delta F}{\Delta L}\) y se multiplica por la longitud original _L0 y se divide por el área A, para estimar el valor del módulo de Young.

Gráfico tensión-deformación y características del material

En la siguiente figura se muestran algunas características importantes de los materiales.

• La región roja indica la región elástica donde se deforma según la ley de Hooke, y la tensión y la deformación son proporcionales entre sí. El punto rojo indica el límite elástico o límite de elasticidad. Es el punto hasta el que un material puede mantener su longitud original después de aplicar la carga.

• La región verde indica la región plástica, en la que el material es incapaz de volver a su estado inicial y ha sufrido una deformación permanente. El punto verde indica el punto de resistencia a la tracción, hasta el cual el material puede soportar la carga máxima por unidad sin romperse.

• El punto azul indica el punto de rotura o tensión de rotura, en el que el material se romperá.