Cambio de momento e impulso

Cambio de momento e impulso Introducción

Una fuerza desequilibrada siempre acelera un objeto. Cuando una fuerza actúa en sentido contrario al movimiento de un objeto, éste se ralentiza. A la inversa, el objeto se acelera positivamente cuando una fuerza actúa en la misma dirección que el movimiento de un objeto. Por tanto, una fuerza externa siempre cambiará la velocidad de un objeto. Y, si la velocidad del objeto cambia, el momento del objeto también cambia.

Este cambio de momento resultante de la fuerza externa aplicada se denomina impulso.

Relación entre el cambio de momento y el impulso

Empecemos por repasar un importante resultado conocido como teorema del impulso-momento que dice lo siguiente:

"Cuando un objeto en colisión, se ve afectado por una fuerza durante un periodo de tiempo determinado, se produce un cambio en su momento. Este cambio de momento se llama impulso y es igual al producto de la fuerza media por el periodo de tiempo durante el que actuó."

Aunque parezca mucha jerga física. En esencia, el impulso cuantifica cuánto cambia el momento y nos dice cómo afecta a su movimiento la fuerza que actúa sobre un sistema durante un cierto tiempo.

Podemos calcular el impulso mediante la siguiente fórmula.

$$\boxed{\vec J = \int_{t_0}^t F(t) \mathrm{d}t}$$

Más adelante veremos cómo podemos llegar a este resultado, pero conviene observar que, debido a esta relación, podemos decir que las unidades para el impulso en el sistema SI son \( \mathrm{\frac{N}{s}}), es decir, unidades de fuerza por unidades de tiempo.

Cambio de impulso y fórmula de impulso

Ahora veremos por qué la fuerza externa que actúa sobre el sistema está relacionada con el impulso y cómo podemos obtener la ecuación del teorema impulso-momento.

Según la Segunda Ley del Movimiento de Newton, los objetos bajo la influencia de una fuerza neta se mueven con aceleración:

$$\vec F = m\vec a.$$

Si reordenamos esta expresión, podemos encontrar la relación entre impulso y momento lineal. Puesto que la aceleración es la tasa de cambio de la velocidad. Por tanto, podemos reescribir nuestra ecuación como

$$\vec F = m\frac{\Delta\vec v}{\Delta t}\mathrm{,}$$

y luego reordenamos nuestras variables para obtener

$$\vec F\Delta t=m\Delta\vec v\mathrm{.}$$

Como \(\Delta\vec v=\vec{v_f}-\vec{v_i}), también podemos expresarlo como

$$\vec F\Delta t = m(\vec{v}_f-\vec{v}_i),$$

y luego utilizamos la propiedad distributiva de la multiplicación para obtener la ecuación

$$\vec F\Delta t=m\vec{v}_f-m\vec{v}_i\mathrm{.}$$

Además, como \vec p=m\vec v\), ahora podemos escribir nuestra ecuación más concisamente como

$$\vec F\Delta t=\vec{p}_f-\vec{p}_i,$$

y reordenar los términos para obtener

$$\vec F\Delta t=\Delta\vec p\mathrm{.}$$

Según esta expresión, el impulso aplicado a un objeto es igual al cambio en el momento lineal del objeto. Esta fórmula funciona si utilizamos la fuerza media que actúa durante el intervalo de tiempo.

$$\boxed{\vec F_{texto{avg}\Delta t=\Delta\vec p}.$$

Observa también que dividiendo por la \(\Delta t\) se demuestra que el cambio en el momento de un sistema con respecto al tiempo es igual a la fuerza neta ejercida sobre el sistema:

$$\vec F_\text{net}\Delta t = \Delta\vec p$$

$$\vec F_\text{net} = \frac{\Delta\vec p}{\Delta t}\\mathrm{.}$$

En términos de cálculo, describimos una tasa de cambio utilizando derivadas. Por tanto, podemos reescribir nuestra ecuación como

$$\vec F_\text{net} = \frac{\mathrm{d} \vec p} {\mathrm{d} t} {\mathrm{.}$$

Se variables operativas e integrando ambos lados de la ecuación anterior encontramos la expresión integral para el teorema del impulso-momento

\bin{aligned}\vec F_\text{net} &= \frac{\mathrm{d} \vec p}{\mathrm{d} t}[8pt] \mathrm{d} \vec p & = \vec F_\text{net} dt\[8pt] \int \mathrm{d} \vec p & = \int \vec F_\text{net} dt\[8pt] \Delta \vec{p} &= \int_{t_0}^t \vec F(t) \mathrm{d}t[8pt]\vec J &= \int_{t_0}^t \vec F(t) \mathrm{d}tend{aligned}

Y finalmente, encontramos el resultado esperado: el impulso es igual a la integral de la fuerza neta ejercida sobre nuestro sistema durante un periodo de tiempo determinado.

Tasa de cambio del momento

Ahora vamos a demostrar cómo la tasa de cambio del momento equivale a la fuerza neta que actúa sobre el objeto o sistema.

Todos hemos oído que la segunda ley de Newton es \(F = ma\); sin embargo, cuando Newton escribió por primera vez la ley, tenía en mente la idea de momento lineal. Por tanto, vamos a ver si podemos escribir la segunda ley de Newton de forma un poco diferente. Empezando por

\[\vec{F}_{net} = m\vec{a}\]

nos permite ver una correlación entre la segunda ley de Newton y el momento lineal. Recuerda que la aceleración es la derivada de la velocidad. Por tanto, podemos escribir nuestra nueva fórmula de fuerza como

\[\vec{F}_{net} = m\frac{d\vec{v}}{dt}\].

Es esencial observar el cambio realizado. La aceleración no es más que el índice de cambio de la velocidad, por lo que sustituirla por \frac{d\vec{v}}{dt}\) es válido. Como la masa m permanece constante, vemos que la fuerza neta es igual a la tasa de cambio del impulso:

\[\frac{F_{net}} = \frac{d(m\vec{v})}{dt}} = \frac{d\vec{p}}{dt}].

Podemos reordenar esto para obtener

\d\vec{p} = \vec{F}_{net} dt\]

Con esta nueva perspectiva de la segunda ley de Newton, vemos que el cambio de momento, o impulso, puede escribirse de la siguiente manera:

\[\vec{J} = \Delta \vec{p} = \int{d\vec{p}} = \int{vec{F}_{net}dt}].

• El cambio de momento, o impulso (representado por la letra mayúscula \(\vec{J}\)) es la diferencia entre el momento inicial y final de un sistema. Por tanto, es igual a la masa multiplicada por el cambio de velocidad.
• ¡La segunda ley de Newton es un resultado directo del teorema del impulso-momento cuando la masa es constante! El teorema del impulso-momento relaciona el cambio de momento con la fuerza neta ejercida: \(\vec{F}_{net} = \frac{d\vec{p}{dt} = m \frac{d\vec{v}{dt} = m \vec{a})
• Como resultado, el impulso viene dado por \(\vec{J} = \int{\vec{F}_{net} dt})

Teorema del cambio de momento y del impulso

Como ya hemos mencionado, podemos expresar matemáticamente el teorema del impulso-momento de la siguiente manera:

$$\boxed{\vec J = \int_{t_0}^t F(t) \mathrm{d}t = \Delta \vec p.}$$

Pero, ¿te has dado cuenta de que la Segunda Ley de Newton no es más que una consecuencia o implicación del teorema del momento impulso-lineal cuando la masa es constante?

$$F_{net} = m\vec a =m\frac{\mathrm{d} \vec v} {\mathrm{d} t} =\frac{\mathrm{d} (m\vec v)} {\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d} \vec p}{\mathrm{d} t}. $$

Con ello, ¡podemos deducir la relación entre el impulso y el cambio de momento mediante el uso del cálculo y la definición de impulso! Sustituyendo este resultado en la definición de impulso, y luego simplificando e integrando, llegamos al resultado esperado.

$$ \begin{aligned}\vec J &= \int_t_i}^{t_f} {F(t)}\mathrm{d}t[8pt] \vec J &= \int_t_i}^{t_f} {\frac{\mathrm{d}\vec{p}} {\mathrm{d}t} [8pt] J &= \int_{t_i}^{t_f} \mathrm{d}\vec{p}\[8pt] J &= \vec p_f -\vec p_i\\[8pt] J &= \Delta \vec p. \fin{aligned}$$

También podemos escribir una versión de la Segunda Ley de Newton para un sistema que se mueve con velocidad constante pero masa variable, utilizando el teorema del impulso-momento.

$$\vec F_{net} =\frac{\mathrm{d} \vec p}{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d} m}{\mathrm{d} t}\vec{v} $$

Conocer esta relación integral tiene otras ventajas. En una gráfica Fuerza-Tiempo de un objeto, el área entre la gráfica y el eje horizontal da el impulso aplicado al objeto.

Como el impulso y el momento lineal son magnitudes vectoriales, debemos prestar atención a sus signos cuando utilicemos las áreas bajo la gráfica. Por ejemplo, el impulso es positivo si el área entre la gráfica y el eje horizontal está por encima del eje temporal. Por el contrario, el impulso es negativo si está por debajo del eje temporal.

Para hallar el área de la gráfica, debemos multiplicar la fuerza y el intervalo de tiempo correspondiente. La suma de las áreas será igual al impulso. En este caso, el impulso será igual a \(J=F_1 t-F_2 t\).

Fig. 3 - En una Gráfica Lineal-Momento-Tiempo, la pendiente da la fuerza ejercida sobre un objeto. Esta fuerza puede ser positiva o negativa en función de la pendiente.

Si las magnitudes de las fuerzas \(F_1\) y \(F_2\) son iguales, la Gráfica Lineal Momento-Tiempo del objeto será como se muestra en la Fig. 3. En la Gráfica Momento Lineal vs. Tiempo, la pendiente da la fuerza. Observa que la pendiente entre \(t=0\) y \(t\) es \(\frac{\Delta p}{\Delta t}=\frac{\F\Delta t}{\Delta t} = F\) pero de \(t\) a \(2t\) es \( -F. \)

Cambio de impulso y diferencia de impulso

El impulso es igual al cambio de momento, por lo tanto, el momento y el impulso no son lo mismo. Como son conceptos diferentes pero relacionados, puede resultar un poco confuso, así que vamos a verlos en detalle.

Ejemplos de cambio de momento e impulso

Si no has tenido suficiente con los Gráficos de Fuerza vs. Tiempo, te gustará el siguiente ejemplo.

Sé que te hemos estado machacando esto en el cerebro, pero sólo un último ejemplo relacionado con el área, ¡te lo prometo! Aunque en este caso no habrá gráfico, así que puedes tomarte un respiro.

Vale, vale, te entiendo. Así que cambiaremos las cosas. En lugar de una gráfica de Fuerza frente a Tiempo, haremos un ejemplo con una gráfica de Momento lineal frente a Tiempo.

Probablemente tu cesta de la compra esté ya bastante llena de conceptos de física. Así que, después de registrar toda esta información en tu banco cerebral, vete a hacer algo totalmente alucinante. Pero antes, guarda estos conceptos para más adelante porque son bastante importantes.