Movimiento circular uniforme
Elmovimiento circular se refiere a cualquier tipo de movimiento que sigue una trayectoria circular, pero hay un tipo específico de movimiento circular llamado movimiento circular uniforme.
Elmovimiento circular uniforme es el movimiento de un objeto que se mueve con velocidad constante en un círculo de radio fijo.
Cuando un objeto se mueve con un movimiento circular uniforme, como en la imagen de abajo, su velocidad siempre apunta en la dirección tangente al círculo, como muestra la flecha roja. Esto significa que la dirección de la velocidad cambia constantemente a medida que el objeto se mueve alrededor del círculo. La aceleración del objeto apunta hacia el centro del círculo, como muestra la flecha amarilla, para tener en cuenta la dirección cambiante de la velocidad. Esta aceleración se denomina aceleración centrípeta.
La aceleracióncentrípeta es la aceleración de un objeto que se mueve en un movimiento circular.
Diagrama de cuerpo libre de un movimiento circular uniforme que muestra las direcciones de la velocidad y la aceleración.
Fuerza centrípeta
Sabemos por la segunda ley de Newton que debe haber una fuerza actuando sobre un objeto si éste tiene una aceleración. Llamamos fuerzas centrípetas a las que provocan una aceleración centrípeta.
La fuerzacentrípeta es una fuerza que hace que un objeto siga una trayectoria circular.
La fuerza centrípeta tiene la misma dirección que la aceleración centrípeta: hacia el centro de la trayectoria circular (el nombre "centrípeta" significa literalmente "que busca el centro"). La fuerza centrípeta no es un tipo específico de fuerza; utilizamos el término fuerza centrípeta para describir cualquier fuerza que mantenga un objeto en un movimiento circular. En un movimiento circular uniforme, la fuerza centrípeta no hace que el objeto se desplace hacia el centro del círculo porque el objeto se mueve tan rápido que sigue girando en círculo.
Si ataras una pelota a una cuerda y la balancearas en círculo sobre tu cabeza a velocidad constante, la pelota tendría un movimiento circular uniforme. La tensión de la cuerda es la fuerza centrípeta en un momento dado. Por tanto, la fuerza neta en el plano del círculo es
\[F_{texto{neto}} = F_c = F_T\]
La fuerza centrípeta hace que la bola cambie de dirección para girar continuamente en círculo.
Imagina ahora que sueltas la cuerda. En el instante en que sueltas la cuerda, la fuerza neta en el plano del círculo pasa a ser cero,
\[F_{text{net}} = 0,\]
de modo que, según la primera ley de Newton, la bola seguiría moviéndose con la velocidad que tenía en ese momento. Como en la figura anterior, sería un vector tangente al círculo en el punto de liberación.
Definición de gravitación y movimiento circular
El movimiento circular es muy relevante para la gravitación, ya que muchos objetos en el espacio siguen órbitas circulares debido a la gravitación.
Lagravitación, o fuerza gravitatoria, es la fuerza de atracción que ejercen entre sí todos los objetos con masa.
Puesto que todos los objetos masivos experimentan la fuerza de gravitación, la llamamos fuerza fundamental. Otras fuerzas fundamentales son la fuerza electromagnética y las fuerzas nucleares fuerte y débil.
La imagen siguiente representa la fuerza gravitatoria. Dos masas separadas a una distancia \(r\) ejercen entre sí una fuerza gravitatoria. Esto las acerca. Todo objeto con masa ejerce una fuerza gravitatoria sobre otros objetos, pero la mayoría de las veces un objeto tiene que tener una gran masa para que podamos medir su atracción gravitatoria. Por eso hablamos principalmente de la gravitación a escala de planetas, estrellas y galaxias.
Dos masas se atraen entre sí por la fuerza gravitatoria.
Cerca de la superficie de la Tierra, la gravitación hace que todos los objetos caigan hacia abajo. Como todos los objetos experimentan la misma fuerza apuntando en la misma dirección, podemos representar localmente el efecto de la gravedad mediante un campo vectorial.
Por el contrario, si nos alejamos más allá de la superficie de la Tierra y consideramos el efecto de su atracción gravitatoria sobre los satélites artificiales y la Luna, nos encontramos con que la fuerza de la gravedad terrestre hace que estos objetos orbiten con un movimiento circular. Para un objeto en órbita, la fuerza gravitatoria actúa como una fuerza centrípeta. La fuerza se dirige hacia el objeto masivo situado en el centro de la trayectoria circular, haciendo que la velocidad del objeto en órbita cambie de dirección para mantener al objeto viajando en círculo. La velocidad del objeto en órbita es lo suficientemente alta como para evitar que la fuerza gravitatoria lo arrastre directamente hacia el objeto masivo.
El gran descubrimiento de Kepler fue que las órbitas de los planetas alrededor del Sol no son exactamente circulares. Más bien son elipses. Un número que utilizamos para caracterizar las elipses es su excentricidad, que es una medida de cuánto se desvía su forma de la de un círculo. Más concretamente, las elipses con una excentricidad \(e = 0\) son círculos. Como es el caso, la excentricidad de la órbita de la Tierra alrededor del Sol es
\[e_{\text{E}}aproximadamente 0,01671 \]
mientras que la excentricidad de la órbita de la Luna alrededor de la Tierra es
\e_{\text{M} \aprox 0,0549. \]
Como estos valores son casi cero, podemos tratar la fuerza gravitatoria en estos casos como una fuerza centrípeta uniforme con gran exactitud.
Ejemplos de gravitación y movimiento circular
Algunos ejemplos de gravitación y movimiento circular son los siguientes:
- La gravedad de la Tierra atrae a la Luna en una órbita con movimiento circular.
- Los satélites orbitan alrededor de la Tierra a una velocidad constante calculada que les permite tener un movimiento circular uniforme.
- Todos los planetas de nuestro sistema solar son atraídos hacia un movimiento circular por la gravedad del Sol.
Veamos con más detalle el ejemplo de la Luna orbitando alrededor de la Tierra, que se muestra en la siguiente imagen:
La Luna orbitando la Tierra.
La fuerza gravitatoria que la Tierra ejerce sobre la Luna actúa como fuerza centrípeta, dirigida hacia el centro de la Tierra (mostrado por la flecha azul). Esta fuerza crea una aceleración centrípeta, también dirigida hacia el centro de la Tierra, que hace que la velocidad de la Luna cambie constantemente de dirección siguiendo un patrón circular. La velocidad de la Luna siempre se dirige tangencialmente a la órbita o perpendicularmente a la fuerza centrípeta y a la aceleración (la velocidad se muestra con la flecha roja). Si la gravedad de la Tierra se detuviera de repente, la Luna saldría volando hacia el espacio en línea recta desde cualquier punto desde el que se soltara, igual que en el caso de la pelota atada a la cuerda que hemos comentado antes.
Fórmulas de gravitación y movimiento circular
A continuación veremos algunas de las fórmulas más relevantes para la gravitación y el movimiento circular.
Fórmula de la gravitación
Laley de la gravitación universal de Newtondescribe la ecuación de la fuerza gravitatoria entre dos objetos:
\[F_{\text{g}} = G \frac{m_1 m_2}{r^2}\]
donde \(m_1\) y \(m_2\) son las masas de dos objetos, \(r\) es la distancia entre los centros de las masas, y \(G\) es la constante gravitatoria, que es \(G = 6,67 \times 10^{-11} \, \mathrm{m}^3 / (\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^2)\). Esta fórmula es especialmente relevante a grandes distancias; en la superficie de un planeta podríamos utilizar la ecuación
\F_{\text{g}} = mg\]].
para describir la fuerza gravitatoria, pero esta ecuación sólo es exacta si el campo gravitatorio es constante. A grandes distancias, cuando el campo gravitatorio no es constante, tenemos que utilizar la ecuación anterior para hallar la fuerza gravitatoria.
Movimiento circular - Fórmula de la velocidad
En el movimiento circular, la velocidad sigue siendo igual al cambio en la distancia sobre el cambio en el tiempo; sólo que la distancia es en una trayectoria circular en lugar de recta. Así que la fórmula de la velocidad , \(v\), de un objeto que se mueve en círculo sería la circunferencia del círculo, \(2\pi r\), dividida por el tiempo que tarda el objeto en completar una revolución, \(T\):
\v = \frac{2\pi r}{T}.
La velocidad se mide en metros por segundo (\(\mathrm{m}/\mathrm{s}\)), el radio en metros (\(\mathrm{m}\)), y el tiempo en completar una revolución en segundos (\(\mathrm{s}\)).
Movimiento circular - Fórmula de la aceleración centrípeta
La fórmula de la aceleración centrípeta es la siguiente
\[a_c = \frac{v^2}{r}.\]
\(v\) es la velocidad del objeto en metros por segundo (\(\mathrm{m}/\mathrm{s})) y \(r\) es el radio de la trayectoria circular del objeto en metros (\(\mathrm{m}\)).
Movimiento circular - Fórmula de la fuerza centrípeta
Como la fuerza es igual a la masa por la aceleración, podemos multiplicar la fórmula de la aceleración centrípeta anterior por la masa para obtener la ecuación de la fuerza centrípeta:
\F_c &= ma_c &= \frac{mv^2}{r}.\final{align}]
\(F\) representa la fuerza centrípeta en newtons (\(\mathrm{N}\)), \(m\) es la masa del objeto en órbita en kilogramos (\(\mathrm{kg}\)), \(v\) es la velocidad del objeto en metros por segundo (\(\mathrm{m}/\mathrm{s})), y \(r\) es el radio de la órbita del objeto en metros (\(\mathrm{m}\)).
Preguntas de Física sobre Gravitación y Movimiento Circular
A continuación encontrarás un ejemplo de pregunta sobre gravitación y movimiento circular y su solución.
Un satélite \(200 \,\mathrm{kg}) se encuentra en una órbita circular \(30\,000,\mathrm{km}) desde la superficie de la Tierra. ¿Cuál es la velocidad del satélite? Utiliza \(6371, \mathrm{km}\) para el radio de la Tierra y \(5,98 veces 10^{24} \, \mathrm{kg}\) para su masa.
La única fuerza que actúa sobre el satélite es la fuerza gravitatoria, por lo que la fuerza gravitatoria será igual a la masa del satélite, \(m_\text{s}\), multiplicada por su aceleración centrípeta:
\F_{\text{g}} = m_{\text{s}}a_c.\}
Tenemos que utilizar la ley de gravitación universal para la fuerza gravitatoria, ya que el satélite está lejos de la superficie terrestre:
\F_{\text{g}} = G \frac{m_\text{s} M}{r^2}.\]
Aquí, \(M\) denota la masa de la Tierra. También tenemos la ecuación de la aceleración centrípeta
\[a_c = \frac{v^2}{r}.\]
Sustituyendo estas dos ecuaciones en nuestra primera ecuación obtenemos lo siguiente
\[G \frac{m_\text{s} M}{r^2} = m_\text{s} \frac{v^2}{r}.\]
Simplificando y resolviendo para \(v\):
\[v = \sqrt{\frac{GM}{r}.\]
A continuación, podemos introducir los números dados. Antes de hacerlo, ten en cuenta que el valor que debemos utilizar para \(r\) no es simplemente la distancia del satélite a la Tierra. Más bien es la suma del radio de la Tierra y esta distancia. La razón por la que tenemos que tener esto en cuenta es que la ley de gravitación universal de Newton requiere la distancia entre los centros de las masas. Teniendo esto en cuenta, tenemos
\v &= cuadrado frac{(6,67 veces 10^{-11}) \3 veces 10^7 \mathrm{m} + 6,371 veces 10^6 \mathrm{m})}}(5,98 veces 10^24} \mathrm{kg})}{(3 veces 10^7 \mathrm{m} + 6,371 veces 10^6 \mathrm{m})}}. \\ &= 3,275 \, \mathrm{m}/\mathrm{s}.\end{align}\]
La velocidad del satélite es \(3\,275 \, \mathrm{m}/\mathrm{s}).
Consideremos un ejemplo similar con la diferencia principal de que, en lugar de orbitar la Tierra, el satélite orbita ahora la Luna
Un satélite \(200 \, \mathrm{kg}) se encuentra en una órbita circular \(30\,000\,\mathrm{km}) desde la superficie de la Luna. ¿Cuál es la velocidad del satélite? Utiliza \(1737\,\mathrm{km}\) para el radio de la Luna y \(7,35 veces 10^{22} \,\mathrm{kg}\) para su masa.
Como la situación es casi idéntica a la del ejemplo anterior, podemos proceder de inmediato utilizando la ecuación que derivamos antes para la velocidad del satélite:
\[v = \sqrt{\frac{GM}{r}}.
Aquí tenemos que tener cuidado de utilizar los valores correctos para la Luna en lugar de los de la Tierra. Sustituyendo los valores dados, tenemos
\[\begin{align} v &= \sqrt{\frac{(6,67 \veces 10^{-11} \3 veces 10^7 \mathrm{m} + 1,737 veces 10^6 \mathrm{m})}}(7,35 veces 10^{22} \mathrm{kg})}{(3 veces 10^7 \mathrm{m} + 1,737 veces 10^6 \mathrm{m})}}. \\ &= 393 \mathrm{m}/\mathrm{s}.end{align}\}]
En este caso, la velocidad del satélite es \(393 \, \mathrm{m}/\mathrm{s}).
Movimiento circular y gravitación - Puntos clave
- Movimiento circular uniforme es el movimiento de un objeto que se desplaza con velocidad constante en un círculo de radio fijo.
- La aceleración centrípeta es la aceleración de un objeto que se mueve en un movimiento circular, actuando hacia el centro del círculo.
- La fuerza centrípeta es una fuerza que hace que un objeto siga una trayectoria circular. Actúa hacia el centro del círculo.
- La gravitación, o fuerza gravitatoria, es la fuerza de atracción que ejercen entre sí todos los objetos con masa.
- La fuerza gravitatoria actúa como fuerza centrípeta para los objetos en órbita.
- La ecuación de la fuerza gravitatoria entre dos objetos es \[F_{\text{g}} = G \frac{m_1 m_2}{r^2}}.
- La ecuación de la velocidad en movimiento circular es [v = frac{2\pi r}{T}].
- La fórmula de la aceleración centrípeta es \[a_c = \frac{v^2}{r}.\}] y la ecuación de la fuerza centrípeta es \(F_c = \frac{mv^2}{r}\}).
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