Descripción del movimiento circular
Un objeto que se desplaza en una trayectoria circular con velocidad y radio constantes experimenta un movimiento circular uniforme . Como se muestra en la siguiente imagen, el vector velocidad de los objetos en movimiento circular uniforme siempre apunta tangente al círculo. Como el vector velocidad cambia de dirección al moverse alrededor del círculo, se produce una aceleración centrípeta y una fuerza centrípeta que son siempre perpendiculares al vector velocidad. Éstas apuntan radialmente hacia el interior, hacia el centro del círculo.
La velocidad de un objeto en movimiento circular uniforme puede describirse en términos del periodo, T. El periodo es el tiempo que tarda un objeto en completar una revolución. Como la magnitud de la velocidad es constante, podemos hallarla dividiendo la circunferencia del círculo por el período:
\[\text{Velocidad} = \frac{\text{distancia}}{\text{tiempo}}].
\v = \frac{2 \pi r}{T}]
Podemos escribir entonces la aceleración centrípeta como
\[\begin{align} a_c &= \frac{v^2}{r} \frac{(2 \pi r/T)^2}{r} \\ &= \frac{4 \pi^2 r}{T^2}[fin]].
Si la velocidad del objeto no es constante, el objeto experimenta un movimiento circular no uniforme . Un ejemplo de movimiento circular no uniforme se muestra en el artículo "Movimiento circular y diagramas de cuerpo libre". Este ejemplo trata de una pelota que se balancea en una trayectoria circular vertical. En este ejemplo, la fuerza de la gravedad hace que la magnitud de la velocidad cambie a medida que se balancea la pelota. En todos los puntos del círculo, excepto en la parte superior e inferior,hay componentes del vector aceleración neta y del vector fuerza neta que son paralelas al vector velocidad. Esto significa que el vector aceleración neta ya no apunta hacia el centro del círculo, como se muestra a continuación.
Para los objetos que experimentan un movimiento circular no uniforme, sólo podemos resolver la velocidad y la aceleración centrípeta en determinadas posiciones del círculo utilizando la segunda ley de Newton; sin embargo, es posible utilizar la energía para relacionar las velocidades en distintas posiciones.
Ejemplo de movimiento circular uniforme
Hagamos un ejemplo de un objeto en movimiento circular uniforme.
Considera un satélite que orbita alrededor de la Tierra siguiendo una trayectoria circular uniforme a 4500 km de la superficie terrestre. ¿Cuál es la aceleración centrípeta del satélite? Utiliza 6371 km para el radio de la Tierra y 5,98 - 1024 kg para su masa.
La fuerza centrípeta que actúa sobre el satélite es la fuerza de la gravedad. Por tanto, podemos partir de la segunda ley de Newton y resolver la aceleración centrípeta.
\(F_{net} = ma\)
\(F_{g} = ma_c\)
\(G \cdot \frac{m_{sat}m_e}{r^2} = m_{sat}a_c\)
\(\begin{align} a_c &= G \cdot \frac{m_e}{r^2} \\ (6,67 \cdot 10^{-11} Nm^2/kg^2)(5,98 \cdot 10^{24} kg)}{(4500 km + 6371 km)^2}. \\ &= 3,375 m/s^2 \end{align}\})
Ejemplo de movimiento circular no uniforme
Consideremos ahora un ejemplo de un objeto en movimiento circular no uniforme.
Una bola de 2,5 kg se mueve a lo largo de una espira circular de radio 2 m, como se muestra en la imagen inferior. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza normal que actúa sobre la bola en la parte superior de la espira? Considera que la velocidad en la parte superior de la espira es de 5 m/s e ignora el rozamiento.
En primer lugar, debemos determinar todas las fuerzas radiales que actúan sobre la bola para obtener la fuerza centrípeta. Tenemos la fuerza de la gravedad apuntando hacia abajo y radialmente hacia dentro en este punto. También tenemos que considerar la fuerza normal. ¿En qué dirección apunta la fuerza normal? La fuerza normal es la fuerza de la superficie de la espira que actúa sobre la pelota, por lo que apunta desde la superficie de la espira hacia la pelota, que está radialmente hacia dentro en cualquier posición de la espira.
Ahora podemos utilizar la segunda ley de Newton para hallar la magnitud de la fuerza normal en la parte superior de la espira.
\(F_{net} = ma\)
\(F_g + F_n = ma_c\)
\(F_g + F_n = ma_c) F_n &= ma_c -mg &=m \frac{v^2}{r} - mg &=m \Big(\frac{v^2}{r} -g \Big) &=(2,5 kg) \Big( \frac{(5 m/s)^2}{2} - 9,8 m/s^2 \Big) \Big &=6,75 N \end{align}\)
Recuerda que la velocidad de la bola cambia a medida que da la vuelta al bucle. Si la pelota estuviera en el lado izquierdo del bucle, su velocidad sería mayor debido a la gravedad. La fuerza normal sobre la bola en ese lugar también sería mayor, porque la fuerza de la gravedad ya no tendría una componente de fuerza centrípeta. Por tanto, la fuerza normal sería simplemente la masa multiplicada por la aceleración centrípeta en ese punto.
Aplicaciones del movimiento circular vertical
Otro ejemplo de movimiento circular vertical es una persona en una noria. A diferencia del ejemplo anterior de la bola dando vueltas en el bucle, este movimiento circular vertical es uniforme porque la velocidad es constante.
Una noria de radio 16 m se desplaza en movimiento circular uniforme con una velocidad de 5 m/s. ¿Cuál es la fuerza normal del asiento que actúa sobre una persona de 60 kg en la parte superior e inferior de la noria?
Consideraremos que la dirección positiva es hacia arriba en ambos lugares. En ambos lugares, la fuerza normal del asiento apuntará en la dirección positiva, mientras que la fuerza de la gravedad apunta en la dirección negativa. Como el vector de aceleración centrípeta apunta radialmente en ambos puntos, estará en la dirección negativa en la parte superior, y en la dirección positiva en la parte inferior.
Utilizando nuestros diagramas de cuerpo libre para la persona en la parte superior, podemos escribir nuestra ecuación de fuerza centrípeta como
\(F_{net} = ma_c\\)
\(F_{nt}-F_g = -ma_c\)
Observa que hemos puesto un signo negativo delante de la aceleración centrípeta para tener en cuenta su dirección en la parte superior. Ahora podemos resolver la fuerza normal.
\(Comienza) F_{nt} &= mg-a_c &=m \Big(g-\frac{v^2}{r} \Big) \Big &= (60 kg)\Big(9,8 m/s^2 - \frac{(5 m/s)^2} {16 m} \Big) \N &= 494N \end{align}\})
Observa que es posible que nuestra fuerza normal en la parte superior de la noria sea negativa si la velocidad es lo suficientemente grande. Si éste fuera el caso, sería necesaria una fuerza descendente como la de un cinturón de seguridad para mantener a la persona en el asiento.
Nuestra ecuación de la fuerza centrípeta en la parte inferior de la noria es
\F_{nb} - F_g = ma_c\].
Nuestro vector de aceleración apunta hacia arriba, por lo que la dirección es positiva. Resolviendo para la fuerza normal en la parte inferior, obtenemos
\(\begin{align} F_{nb} &= ma_c + mg &=m\Big(g + \frac{v^2}{r} \Big) \Big &= (60 kg) \Big(9,8 m/s^2 + \frac{(5m/s)^2}{16 m} \Big) &= 682 N \end{align}\)
Por tanto, la magnitud de la fuerza normal es mayor en la parte inferior de la noria que en la superior.
Aplicaciones del movimiento circular uniforme
Un coche trazando una curva es un ejemplo de movimiento circular uniforme horizontal que vemos todos los días.
Un coche de 1300 kg está trazando una curva plana de 60 m de radio. Halla la velocidad del coche si el coeficiente de rozamiento es 0,8.
Como la curva es plana, la fuerza normal y la fuerza de la gravedad se equilibran entre sí, de modo que \(F_n = F_g = mg\). Esto significa que la única fuerza que contribuye a la fuerza centrípeta es el rozamiento. Por tanto, tenemos
\(F_{net} = ma_c\)
\(F_f = m \frac{v^2}{r})
\( \mu F_n = m \frac{v^2}{r})
\(\mu \cancelar{m} = \cancelar{m} \frac{v^2}{r})
\(\mu g = \frac{v^2}{r})
\(\begin{align} v &= \sqrt{\mu gr} \\ &= 0,8(9,8 m/s^2)(60m)} &= 21,7 m/s fin)
Aplicaciones del movimiento circular - Puntos clave
- En nuestro mundo utilizamos el movimiento circular todos los días. Es importante comprender su dinámica.
- El movimiento circular uniforme se produce cuando un objeto se desplaza en círculo con radio y velocidad constantes.
- El movimiento circular no uniforme se produce cuando un objeto se desplaza en círculo con radio constante y velocidad variable.
- La aceleración centrípeta puede hallarse utilizando la segunda ley de Newton tanto para el movimiento circular uniforme como para el no uniforme, pero para el movimiento circular no uniforme sólo podemos hallar la aceleración centrípeta en cada punto del círculo. No podemos relacionar velocidades en distintos puntos cuando el movimiento no es uniforme.
- Ejemplos comunes de movimiento circular uniforme son los satélites en órbitas circulares y los coches en curvas.
- Ejemplos comunes de movimiento circular no uniforme son una pelota que se balancea en movimiento circular vertical sobre una cuerda y una pelota que gira alrededor de un bucle vertical.
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