Campos Vectoriales

Ecuaciones de los campos vectoriales

Definimos un campo vectorial como una función del espacio, lo que significa que cabe esperar algo de matemáticas. Las ecuaciones de los campos vectoriales pueden ser muy variadas,porque cada función componente, o ecuación correspondiente a una dimensión del espacio , tendrá su propia función independiente. Recuerda que un vector que apunta recto a lo largo de (o paralelo a) un eje es unidimensional: los vectores que apuntan a izquierda o derecha sólo tienen una componente$x$, mientras que los vectores que apuntan arriba o abajo sólo tienen una componente$y$componente.

Sin embargo, los vectores quenoapuntan en línea recta tendrán un ángulo, que medimos desde la coordenada$x$o$y$eje. Podemos dividir un vector bidimensional en sus componentes horizontal y vertical, lo que nos da dos nuevos vectores:

Un vector bidimensional puede dividirse en dos vectores componentes unidimensionales separados, StudySmarter Originals

Las ecuaciones de los campos vectorialesnoson muy diferentes: tenemos$x$y$y$componentes, pero en lugar de puntos estáticos, tenemos funciones en las que podemos introducir distintos valores. Esto nos permite examinar una cantidad vectorial en cualquier punto de interés, así como crear gráficos de campos vectoriales. Juntemos todo esto para escribir una ecuación general de campo vectorial:

,

donde$f(x,y)$es la función para el componente$x$componente y$g(x,y)$es la función del$y$componente. Puede que veas esta ecuación escrita con paréntesis en lugar de corchetes angulares, pero ambos representan una ecuación de campo vectorial formada por funciones componentes.

Graficación de campos vectoriales

Veamosun ejemplo utilizando una ecuación de campo vectorial 2D.

Las funciones de campo vectorial también pueden ser tridimensionales o incluso funciones del tiempo, pero porahoranos ceñiremos a las funciones y gráficas bidimensionales.

En resumen, estos son los puntos más importantes que debes recordar sobre los campos vectoriales.

• Las ecuaciones de los campos vectoriales son funciones multivariables del espacio 2D o 3D, lo que significa que an$x$,$y$y a veces$z$son necesarias.
• Las ecuaciones de campo vectorial también pueden ser función del tiempo.
• Las ecuaciones de campo vectorial tienen una función distinta para cada componente.
• Para hacer un gráfico de campo vectorial, elige coordenadas de muestra espaciadas uniformemente e introduce los valores que hayas elegido$(x,y)$en la función de cada componente vectorial. Traza tus vectores cuando tengas suficientes para hacerte una idea de la forma general del campo vectorial.
• Los gráficos de campos vectoriales también pueden crearse con una calculadora gráfica proporcionando las funciones de componentes vectoriales. Una calculadora gráfica elegirá puntos de muestra espaciados uniformemente para trazarlos.

El campo vectorial gravitatorio

Una de las aplicaciones físicas más importantes de los campos vectoriales es el modelado de fuerzas de largo alcance. El campo vectorial gravitatorio es la fuerza de largo alcance con la que probablementeestésmás familiarizado. Llamamos a la gravedad una fuerza de largo alcance porque es una fuerza débil que domina, o parece ser la principal fuerza actuante, a escalas mayores.

La gravedad es la atracción universal de todas las masas entre sí, por lo que podemos modelizar un campo gravitatorio alrededor de cualquier masa, yaseauna luna, un planeta o cualquier objeto más pequeño o más grande. Puesto que la fuerza gravitatoria es un campo vectorial, podemos elegir muchos puntos diferentes en el espacio para examinar lo fuerte o débil que sería la fuerza de la gravedad sobre una masa más pequeña. Para comprenderlo mejor, veamos unpar de gráficos que visualizan el campo vectorial gravitatorio.

Una porción del campo vectorial gravitatorio 2D y una representación 3D que muestra la energía potencial gravitatoria. La magnitud de los vectores cerca de la masa central muestra la mayor fuerza atractiva ejercida, Creative Commons CC0 1.0

En este diagrama, tenemos tanto una representación bidimensional del campo vectorial gravitatorio como un pozo gravitatorio tridimensional. En el centro del$xy$plano, tenemos alguna masa con un campo gravitatorio que la rodea -por ejemplo, podría ser la Tierra-. Las flechas representan la dirección y magnitud de la fuerza gravitatoria ejercida sobre una masa de prueba más pequeña -digamos un pequeño objeto rocoso, mucho más pequeño que la Tierra. Todos los vectores del gráfico bidimensional apuntan directamente hacia la masa central: ésta es la naturaleza atractiva de la gravedad. Presta mucha atención a la magnitud de las flechas de los vectores. Cuanto más cerca esté nuestro pequeño objeto rocoso de la Tierra, mayor será la fuerza gravitatoria ejercida. La intensidad de la fuerza disminuye a medida que aumenta la distancia entre las dos masas.

Después de examinar el gráfico del campo vectorial bidimensional, observa la visualización del pozo gravitatorio y comprueba que esto tiene sentido para ti. Imagina que la Tierra está centrada en el fondo de este pozo: de nuevo, la fuerza gravitatoria ejercida sobre las masas más pequeñas es más fuerte en el espacio más cercano a la Tierra. La forma del pozo gravitatorio subraya lo fuerte que es la atracción de la gravedad a medida que disminuye la distancia.

La ecuación del campo vectorial gravitatorio

La ecuación del campo vectorial gravitatorio puede escribirse utilizando la ley de la gravitación universal de Newton:

$\overrightarrow{F}\left(r\right)=\frac{G{m}_1{m}_2}{r^2}$,

donde$G$es la constante gravitatoria$m_1$y$m_2$son las dos masas, y$r$es la distancia entre los centros de las dos masas. Esta ecuación nos da la fuerza gravitatoria ejercida por un objeto con masa$m_1$sobre un segundo objeto de masa$m_2$como la atracción de la Tierra sobre la Luna. También puedes verla escrita como

$\overrightarrow{F}\left(r\right)\propto \frac{GM}{r^2}$,

donde$M$es la masa del objeto con el campo vectorial gravitatorio que estamos modelando. Es una forma de expresar que la fuerza del campo gravitatorio es inversamente proporcional a la distancia al cuadrado desde la masa central$M$.

Tipos de campos vectoriales

Hay que considerar dos tipos de campos vectoriales en el espacio bidimensional real. El primer tipo se denomina campo radial .

Los campos radiales son rotacionalmente simétricos, lo que significa que el campo vectorial tendrá el mismo aspecto después de rotar el campo alrededor de su centro. Los campos vectoriales gravitatorios son un ejemplo de campos radiales. Todos los vectores apuntan directamente hacia el origen, o centro de masa, debido a la naturaleza atractiva de la gravedad.

La atracción gravitatoria es un ejemplo de campo vectorial radial, ya que todos los vectores de fuerza apuntan hacia el origen, Creative Commons CC0 1.0

El segundo tipo de campo vectorial se denomina campo rotacional o campo de vórtice.

Un campo rotacional puede utilizarse para modelizar el flujo de fluidos o grandes fenómenos meteorológicos, como los huracanes.

Los huracanes, un ejemplo de campo de vórtices, muestran la forma arremolinada de los campos vectoriales rotacionales, Creative Commons CC0 1.0