Gravedad en Diferentes Planetas

Aceleración debida a la gravedad en diferentes planetas

Puede que ahora sientas curiosidad por saber si otros planetas tienen o no una aceleración gravitatoria constante en su superficie. Para averiguarlo, en primer lugar tenemos que comprender de dónde procede dicha aceleración gravitatoria.

La Ley de la Gravitación Universal de Newton

Isaac Newton se dio cuenta de que nuestro peso es consecuencia de que la masa de la Tierra tira de nosotros. Según su tercera ley del movimiento, esto significa que también nosotros tiramos de la Tierra con nuestra masa. Llegó a la conclusión de que siempre hay una fuerza que actúa entre dos objetos con masa. Utilizando los datos de las órbitas planetarias presentados por Johannes Kepler, y utilizando las tres leyes del movimiento planetario de Kepler, Newton llegó también a la conclusión de que la fuerza gravitatoria,\( F, \) debe ser proporcional a ambas masas, \( M \) y \( m, \) e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas, \( r. \)

Para expresar matemáticamente esta relación necesitaba una constante de proporcionalidad:

\[G=6.67\times 10^{-11}\,\frac{\mathrm{N}\,\mathrm{m}^2}{\mathrm{kg}^2},\]

que ahora se llama constante gravitatoria de Newton.

Aceleración gravitatoria

Fig. 1 - Las rocas sueltas no son ningún problema, salvo por el hecho de que esas rocas experimentan una aceleración gravitatoria hacia la carretera.

Aquí viene la parte ingeniosa. Sabemos por la segunda ley del movimiento de Newton que

\[F=ma,\]

donde \(F\) es la fuerza neta que actúa sobre un objeto de masa \(m,\) provocando como resultado una aceleración \(a\). Así, si un objeto con masa \(m\) se acelera como consecuencia de la fuerza gravitatoria \(F\) ejercida por otro objeto con masa \(M\) a una distancia \(r\), entonces podemos escribir

\empezar{alinear} \textcolor{#00b695}{F}&=ma,\\ \textcolor{#00b695}{\frac{GMm}{r^2}}&=ma. \fin{alineado}

Entonces, podemos dividir por la masa de nuestro objeto, \( m, \) en ambos lados y esto nos da

\[a=\frac{GM}{r^2}.\]

Vemos que, efectivamente, la aceleración de nuestro objeto no depende de su propia masa, ¡sino sólo de la masa del otro objeto y de su distancia a nuestro objeto! Esto significa que estamos ante una aceleración gravitatoria constante \(g\) en ese punto del espacio, dada por

\[\boxed{g=\frac{GM}{r^2}.}\]

Es importante darse cuenta de que esta aceleración gravitatoria es una propiedad de ese punto concreto del espacio, y no del objeto en sí: todos los objetos experimentarán la misma aceleración gravitatoria en ese punto.

¡Comprobemos inmediatamente este resultado con algo que conocemos!

También es importante señalar que la aceleración gravitatoria apunta hacia el centro de masa del objeto que crea el campo gravitatorio. Así, aunque en la vida cotidiana sólo experimentamos una aceleración gravitatoria bastante constante hacia abajo, en realidad, apunta hacia el centro de la Tierra.

Hemos comentado cómo podemos utilizar un único valor, \( g, \) para tener en cuenta el producto de las constantes relevantes de la fórmula de la fuerza gravitatoria, hallando la aceleración de un objeto debida a la gravedad. Pero podemos seguir la misma idea para hablar de la fuerza que siente el objeto: su peso. Veamos cómo podemos hacerlo.

Fuerza del campo gravitatorio y peso

Un objeto deprueba siente una fuerza gravitatoria cerca de cualquier objeto astronómico, yesta fuerza se denomina peso del objeto de prueba.

Según la Ley de la Gravitación Universal de Newton, \ (F=\frac{GMm}{r^2}\), el peso es diferente a distintas distancias del objeto astronómico. Esto significa que la fuerza gravitatoria, \( \vec{F}, \) tiene un valor que es diferente en cada punto del espacio. Decimos que el objeto astronómico genera un campo gravitatorio, y definimos la fuerza del campo grav itatorio \( \vec{g} \) como el vector

$$\vec{g}=\frac{\vec{F}}{m} .$$

Su magnitud, \( ||vec{g}| = g, \) viene dada como

$$g=\frac{GM}{r^2},$$

y su dirección apunta hacia el centro de masa del objeto astronómico. Con estas definiciones, podemos calcular el peso \(\vec{w}) de un objeto simplemente como

$$\vec{w} = m\vec{g}.$$

Para la Tierra, la fuerza del campo gravitatorio se considera constante, y su valor aproximado es \( |||vec{g}|=9,81,\mathrm{\frac{N}{kg}}. \$)

Pero, ¿por qué? ¿Por qué podemos considerarla constante si cambia en función de la distancia? Al fin y al cabo, ¿no depende la fuerza gravitatoria de \( r^2\)? Lo que ocurre es que los objetos astronómicos tienen un tamaño tan grande que los valores de esta fuerza cerca de su superficie no cambian mucho con los valores habituales de altura. Consideremos que queremos calcular la fuerza gravitatoria a \( 10\,\mathrm{m} \) por encima de la superficie de la Tierra.

\Inicio{alineación} r &= r_\texto{Tierra}+h &= 6,37veces10^6,\mathrm{m}+10,\mathrm{m} &= 6,370,000,\mathrm{m}+10,\mathrm{m}& = 6,370,010,\mathrm{m} \Aproximadamente 6,37 veces 10^6. implica r&aprox r_\text{Tierra}. \fin

Podemos ver que tal diferencia de altura, en realidad, apenas tendría efecto en nuestros cálculos. Por tanto, podemos pensar que el campo gravitatorio cerca de la superficie de un objeto astronómico es constante y utilizar su radio en la fórmula para la intensidad del campo gravitatorio, igual que hicimos para la aceleración.

Como ves, la intensidad del campo gravitatorio y la aceleración gravitatoria están estrechamente relacionadas, pero son conceptos distintos: la intensidad del campo gravitatorio nos permite conocer la fuerza gravitatoria sobre un objeto-su peso- si conocemos su masa, mientras que la aceleración gravitatoria nos permite conocer la magnitud de su aceleración si la gravedad es la única fuerza que actúa sobre él. Y, una vez más, cuando el peso es la fuerza neta que actúa sobre un objeto, sabemos que su aceleración tendrá el mismo valor numérico que la intensidad del campo gravitatorio, pero en \( \mathrm{ \frac{m}{s^2}} \) en lugar de \( \mathrm{\frac{N}{kg}} .\) Por tanto, podemos limitarnos a hablar de la aceleración gravitatoria sin perder información vital.

La gravedad en Júpiter

Fig. 3 - Júpiter y una de sus lunas, llamada Europa. En Júpiter pesarías más y en Europa pesarías menos que en la Tierra.

Júpiter es el planeta más grande de nuestro Sistema Solar: su diámetro es más de diez veces el de la Tierra. Sin embargo, es un gigante gaseoso, lo que significa que está formado principalmente por gas. Por tanto, su masa no es tan grande como cabría pensar en función de su radio y de la densidad de masa de la Tierra. Podemos calcular la aceleración gravitatoria en la superficie de Júpiter porque sabemos que su masa es \(M_\text{Júpiter}=1,90 veces 10^{27},\mathrm{kg}) y su radio es \(r_\text{Júpiter}=6,99 veces 10^7,\mathrm{kg}):

\begin{align*}g_\text{Jupiter}&=\frac{GM_\text{Jupiter}}{r_\text{Jupiter}^2}=\frac{6.67\times 10^{-11}\,\frac{\mathrm{N}\,\mathrm{m}^2}{\mathrm{kg}^2} \por 1,90 veces 10^{27}}, por 1,90 veces 10^{27}}, por 1,90 veces 10^{27}}, por 1,90 veces 10^{27}}. }{\left(6.99\times 10^7\,\mathrm{m} \right)^2}\\&=25.9\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}.\end{align*}

Vemos que la aceleración gravitatoria en Júpiter es unas 2,5 veces mayor que la de la Tierra. ¡Eso significa que tu balanza marcaría en Júpiter 2,5 veces más de lo que suele marcar aquí en la Tierra! Tendrías que ser muy fuerte para poder caminar en esas condiciones: ¡imagínate tener que llevar 1,5 veces tu peso corporal a la espalda y caminar de un lado a otro!

La gravedad en Neptuno

Neptuno es el planeta de nuestro Sistema Solar más alejado del Sol. Calculemos esta vez la aceleración gravitatoria en la superficie de Neptuno de forma ligeramente distinta. Su radio comparado con el radio de la Tierra viene dado por \(r_\text{Neptuno}=3,86r_\text{Tierra}\), su masa comparada con la masa de la Tierra viene dada por \(M_\text{Neptuno}=17,1M_\text{Tierra}\). Entonces podemos calcular lo siguiente

\begin{align*}g_\text{Neptune}&=\frac{GM_\text{Neptune}}{r_\text{Neptune}^2}=\frac{\frac{GM_\text{Neptune}}{r_\text{Neptune}^2}}{\frac{GM_\text{Earth}}{r_\text{Earth}^2} }\frac{GM_\text{Earth}}{r_\text{Earth}^2}\\ xml-ph-0000@deepl.internal &=\frac{M_\text{Neptune}}{M_\text{Earth}}\left(\frac{r_\text{Earth}}{r_\text{Neptune}}\right)^2g_\text{Earth} .\end{align*}

De este modo, podemos ver muy bien cómo depende en la práctica la aceleración gravitatoria de la masa y el radio. ¡Introduzcamos los números!

\[g_\text{Neptune}=17.1\left(\frac{1}{3.86}\right)^2\times 9.81\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}=11.3\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}.\]

Concluimos que la aceleración gravitatoria en la superficie de Neptuno es sólo ligeramente mayor que en la superficie de la Tierra. Pesarías sólo un 13% más en Neptuno que en la Tierra, lo que equivaldría a cargar con tu mochila del instituto.

La gravedad en Saturno

Fig. 4 - Sorprendentemente, en Saturno pesarías aproximadamente lo mismo que en la Tierra.

Saturno es el segundo planeta más grande del Sistema Solar y el que tiene el mayor conjunto de anillos. Dado que su masa es \(M_\text{Saturno}=5,68 veces 10^26},\mathrm{kg}) y su radio es \(r_\text{Saturno}=5,82 veces 10^7},\mathrm{m}), podemos calcular la aceleración gravitatoria en la superficie de Saturno de la siguiente manera:

\[g_\text{Saturn}=\frac{GM_\text{Saturn}}{r_\text{Saturn}^2}=11.2\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}.\]

Este valor es muy similar al de Neptuno: aunque Neptuno es más pequeño tanto en masa como en radio, las proporciones respecto a Saturno son tales que la aceleración gravitatoria acaba siendo aproximadamente la misma.