Definición de aceleración
La aceleración es la tasa de cambio de la velocidad con respecto al tiempo
Podemos calcular la aceleración si sabemos cuánto cambia la velocidad de un objeto en un periodo de tiempo dado que semueve en línea recta con una aceleración constante. Viene dada por la siguiente ecuación
\[a=\dfrac{v-u}{t}\]
o en palabras
\[\text{Aceleración}=\dfrac{text{Cambio de velocidad}}{{text{Tiempo}}].
donde \(v\) es la velocidad final, \(u\) es la velocidad inicial del objeto y \(t\) es el tiempo que tarda el objeto en cambiar de velocidad de \(u\) a \(v\).
Unidades de aceleración
Las unidadesSI de aceleración son \(\mathrm{m}/\mathrm{s}^2\). La aceleraciónpuede ser negativa o positiva. La aceleración negativa se denomina deceleración.
Vector de aceleración
La aceleración \(\vec{a}\) es una cantidad vectorial. También lo es porque se deriva del vector velocidad \(\vec{v}\). Si observamos la ecuación del vector aceleración, vemos que es directamente proporcional al cambio de velocidad e inversamente proporcional al tiempo que tarda en acelerar o decelerar. De hecho, podemos hacernos una idea de la dirección del vector aceleración observando la magnitud del vector velocidad.
Si lavelocidad de un objeto aumenta (velocidad inicial < velocidad final), entonces tiene unaaceleración positiva enla dirección de la velocidad.
Si la velocidaddisminuye, (\(u>v\)) entoncesla aceleración es negativa y en sentido contrario a la velocidad.
Si la velocidad esuniforme (\(u=v\)) entoncesla aceleración es \(0\). ¿Por qué piensas así? Porque la aceleración viene dada por el cambio de velocidad. Visualicemos esta relación mediante gráficas.
\[a=\dfrac{v-u}{t},\quad\text{if}\quad v-u=0,\quad\text{then}\quad a=0\]
Gráficas de velocidad y aceleración en el tiempo
La velocidad y la aceleración de un objeto en movimiento pueden visualizarse mediante una gráfica temporal. El gráfico siguiente muestra la gráfica velocidad-tiempo de un objeto que se mueve en línea recta.
Gráfico de velocidad-tiempo con tres secciones correspondientes a la aceleración, la velocidad constante y la deceleración, Kids Brittanica
La línea naranja indica que la velocidad aumenta con respecto al tiempo, lo que significa que el objeto tiene una aceleración positiva.
La línea verde es paralela, lo que significa que la velocidad es constante, es decir, que la aceleración es nula.
La línea azul es una pendiente descendente que muestra que la velocidad disminuye, lo que indica una deceleración negativa.
Para calcular la aceleración en cualquier punto necesitamos hallar la pendiente de la curva de velocidad.
\[\text{slope}=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]
donde \((x_1,y_1)\) son las coordenadas del punto inicial de la gráfica y \((x_2,y_2)\) son las coordenadas del punto final. Sabemos que el eje y registra la velocidad y el eje x el tiempo empleado, esto significa que la fórmula no es más que
\[a=\dfrac{v-u}{t}\]
Veámoslo como ejemplo.
Halla la aceleración del objeto a partir de la gráfica velocidad-tiempo anterior para los \(10\) segundos iniciales.
Solución
La aceleración entre dos puntos = pendiente de la gráfica velocidad-tiempo. La fórmula de la pendiente de la gráfica velocidad-tiempo viene dada por
\[\begin{align} a(\text{slope})&=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\\&=\dfrac{5-0}{10-0}=\\&=0.5\,\mathrm{m/s}^2\end{align}\]
La gráfica aceleración-tiempo da la aceleración del cuerpo respecto al tiempo. También podemos calcular la velocidad estimando la pendiente de la gráfica, StudySmarter Originals
Podemos ver que la aceleración es constante durante los primeros \(5\, \mathrm{s}) a medida que el objeto aumenta su velocidad de \(0\) a \(5\,\mathrm{m/s}). A continuación, se produce una brusca caída a cero durante un periodo de \ (10\,\mathrm{s}) cuandola velocidad es constante y, por último, la aceleración cae a \(-0,5\,\mathrm{m/s}^2) cuando el objeto decelera de \(5\,\mathrm{m/s}) a \(10\,\mathrm{m/s}). Para calcular la velocidad en cualquier punto basta con hallar el área bajo la curva de aceleración. Trabajemos ahora con algunos ejemplos utilizando las ecuaciones anteriores.
Un coche acelera en un tiempo de \(10,\mathrm{s}) desde \(10,\mathrm{m/s}) hasta \(15,\mathrm{m/s}). ¿Cuál es la aceleración del coche?
Paso 1: Escribe las cantidades dadas
\[v=15\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}},\quad u=10\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}},\quad t=10\, \mathrm{s}\]
Utilizando ahora la ecuación de la aceleración
\[\begin{align}a&=\dfrac{v-u}{t}=\\&=\dfrac{15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}-10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}}{10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}}=\\&=\dfrac{5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}}{10\,\mathrm{s}}=0.5\,\mathrm{s}/\mathrm{s}^2\end{align}\]
Para ponerlo en perspectiva, la aceleración debida a la gravedad (\(g\)) es \(9,8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2\). Lo que hace que la aceleración del coche sea aproximadamente \(0,05g\), donde \(g\) es la aceleración debida a la gravedad en la superficie de la Tierra \((\aprox 9,81,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2)\).
Fórmula de la aceleración
Ahora conocemos algunas de las relaciones entre aceleración, velocidad y tiempo. Pero, ¿es posible relacionar directamente la distancia recorrida con la aceleración? Supongamos que un objeto parte del reposo (velocidad inicial, \(u=0\)) y luego acelera hasta alcanzar una velocidad final \(v\) en un tiempo \(t\). La velocidad media viene dada por
\[v_{\text{average}}=\dfrac{s}{t}\]
Reordenando la ecuación para la distancia \(s\) obtenemos
\[s=v_{\text{average}}t\]
La aceleración del objeto es igual a \(\dfrac{v-0}{t}\), ya que partía del reposo \((u=0)\).
\[a=\dfrac{v}{t}\]
Reordenando en términos de \(v\) obtenemos
\[v=at\]
La velocidad media del objeto viene dada por
\[v_{\text{average}}=\dfrac{v+u}{2}=\dfrac{v_f}{2}\]
Introduce la velocidad media en la ecuación anterior y obtendremos
\[v_{\text{average}}=2at\]
Por último, introduce esto en la ecuación de la distancia y obtendremos
\[s=\dfrac{1}{2}at^2\]
Ahí lo tienes, una ecuación que relaciona directamenteaceleración y desplazamiento. Pero, ¿y si el objeto no partiera del reposo? es decir, \(v_i\) no es igual a \(0\). Vamos a resolverlo. La aceleración es ahora igual a
\[a=\dfrac{v-u}{t}\]
Reorganiza para la velocidad final \(v\), y obtenemos
\[v=u+at\]
La velocidad media cambia a
\[a_{\text{average}}=\dfrac{u+v}{2}\]
Introduce el valor de la velocidad final en la ecuación anterior
\[v_{\text{average}}=\dfrac{u+u+at}{2}=u+\dfrac{1}{2}at\]
La ecuación de la distancia recorrida sigue siendo
\[s=v_{\text{average}}t\]
Inserta la ecuación de la distancia (v) en la fórmula de la distancia y obtendremos
\[s=\left(u+\dfrac{1}{2}at\right)t\]
\[s=ut+\dfrac{1}{2}at^2\]
La ecuación anterior se refiere a la distancia y la aceleración cuando un objeto ya tiene cierta velocidad inicial. Eso es, si lo miras desde otro ángulo ut es sólo la distancia durante la velocidad inicial. Súmalo a la distancia recorrida durante la velocidad final \(\frac{1}{2}at^2\). Desgraciadamente, tenemos una última ecuación esta ecuación relaciona la distancia de aceleración y la velocidad en conjunto. ¿No es interesante? Funciona así: primero, reordena la ecuación de la aceleración con respecto al tiempo:
\[t=\dfrac{v-u}{a}\]
Ahora el desplazamiento,
\[s=v_{\text{average}}t\]
Y la velocidad media cuando la aceleración es constante viene dada por
\[v_{\text{average}}=\dfrac{1}{2}(v+u)\]
Sustituye \(V{{texto{promedio}}) en la ecuación de \(s\) y obtendremos
\[s=\dfrac{1}{2}(v+u)t\]
Sustituyendo por el tiempo, se obtiene
\[s=\dfrac{1}{2}(v+u)t\]
\[s=\dfrac{1}{2}\dfrac{(v+u)(v-u)}{a}\]
Simplificando mediante las leyes del álgebra, obtenemos
\[s=\dfrac{1}{2}\dfrac{v^2-u^2}{a}\]
\[2as=v^2-u^2\2]
Ya tienes tres nuevas ecuaciones que puedes utilizar para hallar la aceleración, la velocidad y la distancia. Entender cómo funcionan estas ecuaciones, en lugar de intentar memorizarlas, te da más control y flexibilidad a la hora de resolver problemas. Veamos ahora un ejemplo que pondrá a prueba tu comprensión de cuándo utilizar la fórmula correcta,
Un coche empieza a una velocidad de \(3,\mathrm{m}/\mathrm{s}) y acelera a \(2,\mathrm{s}/\mathrm{s}^2) en una distancia de \(40,\mathrm{m}), calcula la velocidad final del coche.
Paso 1: Escribe las cantidades dadas
\[u=3\,\mathrm{m}/\mathrm{s},\quad a=2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2,\quad s=40\,\mathrm{m},\quad v=?\]
Paso 2: Utiliza la ecuación adecuada para calcular la velocidad final del coche
En el problema anterior, tenemos los valores de la velocidad inicial, la aceleración y el tiempo, por lo que podemos utilizar la siguiente ecuación para hallar la velocidad final
\[\begin{align} v^2-u^2&=2as\\v&=\sqrt{\dfrac{2as}{u^2}}\\v&=\sqrt{\dfrac{2\times 2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2\times 40\,\mathrm{m}}{3\,\mathrm{s}/\mathrm{s}\times 3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}}}\\v&=4.21\,\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{align}\]
La velocidad final del coche es \(4,21,\mathrm{m}/\mathrm{s}).
Aceleración debida a la gravedad
La aceleración debida a la gravedad representada por \(g\) es la aceleración de un objeto cuando está en caída libre debido a la fuerza gravitatoria que actúa sobre él. Esta aceleración debida a la gravedad depende de la fuerza gravitatoria ejercida por el planeta. Por tanto, variará según el planeta. Se considera que el valor estándar de \(g\) en la Tierra es \(9,8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2). ¿Qué significa esto? Esto implica que un objeto en caída libre acelerará al valor de \(g\) mientras sigue cayendo hacia la Tierra.
El valor de \(g\), como sabemos, es constante, pero en realidad cambia debido a muchos factores. El valor de \(g\) se ve afectado por la profundidad o la altitud. El valor de \(g\) disminuye a medida que aumenta la profundidad del objeto. También puede verse afectado por su posición en la Tierra. El valor de \(g\) es mayor en el ecuador que en los polos. Y por último, este valor también se ve afectado debido a la rotación de la Tierra.
Con esto llegamos al final de este artículo, veamos lo que hemos aprendido hasta ahora.
Aceleración - Puntos clave
- La aceleración es la tasa de cambio de la velocidadcon respecto al tiempo.
- La aceleración viene dadapor \(a=\dfrac{v-u}{t}\) y se mide en \(\mathrm{m}/\mathrm{s}^2\).
- La velocidad y la aceleración de un objeto en movimiento pueden visualizarse mediante un gráfico aceleración-tiempo.
- Para calcular la aceleración en cualquier punto, debemos hallar la pendiente de la curva velocidad-tiempo mediante la ecuación \(a(\text{slope})=\dfrac{v_1-v_2}{t_1-t_2}\).
- Para calcular la velocidad a partir de la gráfica aceleración-tiempo, calculamos el área bajo la curva de aceleración.
- La relación entre aceleración, distancia y velocidad viene dada por las siguientes ecuaciones \(s=\dfrac{1}{2}at^2\ )( cuando el objeto parte del reposo) y \(s=ut+\dfrac{1}{2}at^2\)(cuando el objeto está en movimiento) y \(2as=v^2-u^2\).
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