Definición de desplazamiento angular
¿Qué es exactamente el desplazamiento angular? Empecemos con una definición sencilla.
En el movimiento circular, el desplazamiento angular se define como el cambio de ángulo de un cuerpo respecto a su posición angular inicial.
Esto es completamente análogo a cómo se define el desplazamiento lineal como la distancia que se desplaza un cuerpo desde su posición inicial. El desplazamiento angular es una magnitud vectorial, es decir, tiene magnitud y dirección.
La elección de la dirección para el desplazamiento positivo es simplemente una convención. No hay ninguna razón física para que sea así.
Observa el siguiente ejemplo. Hay un círculo con dos puntos \(\mathrm{A}\) y \(\mathrm{B}\) marcados en la gráfica. Queremos calcular el desplazamiento angular al pasar del punto \(\mathrm{A}\) al \(\mathrm{B}\). Esto puede hacerse simplemente midiendo el ángulo de cada punto respecto al eje \(x\)-, como se muestra a la izquierda. Como puedes ver a continuación, el punto \(\mathrm{A}\) está a \(20^{circ}\}) y el punto \(\mathrm{B}\}) a \(80^{{circ}\}). El desplazamiento angular es [\Delta\theta=\theta_{B}-\theta_{A} = 80^{circ}-20^{circ}=60^{circ}].
Si un bailarín que baila da una vuelta y realiza un giro completo durante el baile, el ángulo subtendido será \(360^{circ}\); por tanto, podemos decir que el desplazamiento angular es \(360^{circ}\), mientras que para medio giro el ángulo será \(180^{circ}\).
Fig. 2 - Una bailarina que muestra un movimiento angular y define un desplazamiento angular.
Radianes vs Grados
En el ejemplo anterior, hemos utilizado la unidad de grados \( (^\circ) \) al calcular el desplazamiento angular. Puede que te sientas muy familiarizado con esta unidad, por haberla utilizado en la mayoría de tus cálculos hasta ahora. Sin embargo, hay otra unidad utilizada para los ángulos y el desplazamiento angular, que suele ser mucho más sencilla y elegante. Esta unidad es el radián \((\mathrm{rad}\)).
Un radián es una unidad de medida angular tal que un ángulo de un radián es subtendido por un sector circular cuyo arco de círculo es igual a su radio.
Esta definición puede parecer un poco farragosa, así que vamos a desglosarla. Consideremos un círculo, podemos trazar dos radios distintos desde el centro del círculo hasta dos puntos cualesquiera de la circunferencia. La sección de la circunferencia entre los dos puntos de los radios se llama arco. Un ángulo de un radián produce un arco de longitud igual al radio de la circunferencia. La imagen siguiente ilustra claramente esta idea.
Fig.3- El radián es una unidad más adecuada para el desplazamiento angular, ya que está intrínsecamente ligado a las propiedades de un círculo
Utilizando esta definición, podemos calcular algunas conversiones sencillas entre grados y radianes. Consideremos una circunferencia de radio \(r\), sabemos que hay \( 360\; ^{\circ} \) en una circunferencia. También sabemos que la circunferencia (longitud total del arco) de un círculo es \( 2\pi r \), lo que significa que una circunferencia completa define un ángulo de \( 2\pi\;\mathrm{rad} \). Por tanto, \( 360\;^{\circ} \) grados debe ser igual a \(2\pi\) radianes. Análogamente \(180\;^{\circ}=\pi \(\mathrm{rad}\}). Podemos convertir de grados a ángulos mediante las siguientes prácticas ecuaciones.
| Grados a radianes | Radianes a grados |
| \(\theta_\mathrm{radians}=\frac{2\pi\;\mathrm{rad}}{360^\circ}\theta_\mathrm{degrees}\) | \(\theta_\mathrm{degrees}=\frac{360^\circ}{2\pi\;\mathrm{rad}}\theta_\mathrm{radians}\) |
Fórmula del desplazamiento angular
Los radianes son muy útiles para medir desplazamientos angulares, ya que nos proporcionan un vínculo con el desplazamiento lineal a través de la longitud de arco. De hecho, midiendo el desplazamiento angular en radianes, podemos derivar inmediatamente una fórmula para el desplazamiento angular en términos de la longitud de arco de la distancia recorrida.
\[\begin{aligned}\text{Desplazamiento angular (radianes)}&=\frac{\text{longitud de arco (metros)}}{\text{radio de movimiento circular (metros)}}\\\\\\Delta\theta&=\frac{s}{r}{end{aligned}\}]
Aquí, la longitud del arco es la distancia lineal recorrida por el objeto durante su movimiento circular, y el radio del movimiento circular es la distancia más corta entre el objeto y su eje de rotación.
Es importante tener en cuenta que un radián define una medida angular, ¡pero es una unidad adimensional! Podemos verlo en la fórmula anterior, ya que tanto \( s \) como \( r \) tienen las mismas unidades de longitud. Entonces, las unidades se anulan al calcular su cociente.
Fig. 4 - Sector de una circunferencia con radio \(r\), longitud de arco \(s\) y ángulo \(\theta\)
Veamos cómo se aplica esto en un contexto del mundo real.
Alicia corre por una pista circular de \(8\,\mathrm{m}\) de diámetro. Si corre alrededor de toda la pista una distancia de \(80\,\mathrm{m}), ¿cuál es su desplazamiento angular?
Solución:
Según la pregunta, la distancia lineal total de Alice es \(80\,\mathrm{m}\), por lo que \(s=80\,\mathrm{m}\). El diámetro de la pista es \(d=8,\mathrm{m}), por lo que el radio es \(r=\frac{d}{2}=4,\mathrm{m}). Introduciendo esto en la ecuación del desplazamiento angular, tenemos
\[\Delta\theta=\frac{80\;\mathrm{m}}{4\;\mathrm{m}}=20\,\mathrm{rad}\]
Si queremos hallar el desplazamiento angular de Alicia desde su posición inicial, sólo queremos tener en cuenta a qué distancia de la pista se encuentra, y no cuántas revoluciones ha dado. Esto significa que queremos hallar el resto de \(20\,\mathrm{rad}\) después de dividirlo por un múltiplo entero de \(2\pi\). Para ello, divide primero \N(20,\mathrm{rad}) entre \(2\pi\)
\[\frac{20}{2\pi}=3.18\]
Redondeando a 3, el entero más próximo, nos dice que Alicia ha dado tres vueltas completas. El desplazamiento angular de estas tres vueltas es \(3\cdot2\pi=6\pi,\mathrm{rad}\). Si lo restamos del desplazamiento angular total, obtenemos el resto o desplazamiento angular de Alice desde su posición inicial. \[20\;\mathrm{rad}-6\pi\;\mathrm{rad}=1.15\;\mathrm{rad}\]
Relación entre desplazamiento angular y lineal
Como podemos ver en la fórmula anterior, el desplazamiento angular y el lineal están estrechamente relacionados.
\[\Delta\theta=\frac{s}{r}\]
De hecho, son directamente proporcionales. Esto significa que a medida que aumenta o disminuyeel desplazamiento angular, también lo hace el desplazamiento lineal. Sin embargo, la fórmula también establece que el desplazamiento angular es inversamente proporcional a la distancia radial desde el eje de rotación. Esto significa que si dos objetos giran con el mismo desplazamiento angular, el que gira más lejos del eje de rotación recorrerá una distancia lineal mayor que el que gira más cerca. Podemos verlo en el gráfico siguiente.
Fig.5 - Ambos segmentos subtienden el mismo ángulo \(r_a\) pero como \(r_a\) es menor que \(r_b\), \(s_a\) es menor que \(s_b\)
Es importante recordar que la ecuación del desplazamiento angular incluye la distancia radial. Dos objetos pueden recorrer la misma distancia lineal pero tener desplazamientos angulares muy diferentes, y viceversa.
Se utilizan dos compases para trazar arcos de longitud \(20\,\mathrm{cm}\). Si el primer compás tiene un radio de \(5,0,\mathrm{cm}) y el segundo tiene un radio de \(3,0,\mathrm{cm}) ¿qué ángulo debe desplazarse cada compás?
Utilizando la fórmula del desplazamiento angular \(\Delta\theta=\frac{s}{r}) tenemos,
\[\Delta\theta_1=\frac{20\,\mathrm{cm}}{5.0\;\mathrm{cm}}=4.0\;\mathrm{rad}\]
\[\Delta\theta_2=\frac{20\,\mathrm{cm}}{3.0\;\mathrm{cm}}=6.7\;\mathrm{rad}\]
¡El segundo compás tiene que girar por \(2,7,\mathrm{rad})\cm} más para dibujar la misma longitud de arco!
Gráfico de desplazamiento angular
De forma muy parecida al desplazamiento lineal normal, podemos utilizar las gráficas de movimiento para hallar el desplazamiento angular de objetos que se mueven circularmente. Trazando una gráfica de posición angular frente al tiempo de un objeto, podemos hallar su desplazamiento angular entre dos momentos concretos calculando el cambio vertical entre los puntos con las coordenadas temporales correspondientes.
Fig.6 - Hallar el desplazamiento angular de un objeto entre \(1,\mathrm{s}) y \(4,\mathrm{s}), StudySmarter Originals
Podemos utilizar el gráfico anterior para hallar la velocidad ang ular \(\omega\) del objeto.
La velocidadangular \(\omega\) es la tasa de cambio del desplazamiento angular con respecto al tiempo.
Medimos la velocidad angular en \(\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}).
Por tanto, podemos hallar la velocidad angular calculando la pendiente de la gráfica.
La pendiente de una gráfica puede calcularse mediante
\[ \text{pendiente} = \frac{text{Cambio en dirección vertical}} {{text{Cambio en dirección horizontal}} \]
Como podemos ver en el gráfico anterior, el desplazamiento angular entre \(1,\mathrm{s}) y \(4,\mathrm{s}) es \(\frac{3\pi}{2},\mathrm{rad}\). Esto implica que la pendiente de la gráfica es = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 3.
Por tanto, la velocidad angular del objeto es \frac{\pi}{2},\frac{\mathrm{rad}{s}.
Ejemplo de desplazamiento angular
Vamos a sumergirnos en algunos ejemplos más prácticos y orientados a la aplicación.
Un objeto se mueve con una velocidad lineal constante de \(20,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}) alrededor de un círculo de radio \(4,\mathrm{m}}). ¿Qué ángulo central forma en \(3,5,\mathrm{s})?
Solución:
Aquí tenemos las siguientes cantidades
- tiempo \(t=3,5\,\mathrm{s})
- velocity \(v=20.0\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)
- radio \(r=4,0,\mathrm{m})
Para utilizar nuestra ecuación para el desplazamiento angular, necesitamos hallar la distancia recorrida \(s\). Sabemos por la definición de velocidad que
\[inicio{alineado} {texto{distancia} &={texto{velocidad} {tiempo} {texto} s &= vt\fin{alineado}\].
Introduciendo esto en nuestra fórmula para el desplazamiento angular \(\Delta\theta=\frac{s}{r},\) se obtiene
|Delta\theta &=\frac{vt}{r}[8pt] \Delta\theta &=\frac{20.05\,\bcancel{\mathrm{s}}}{4.0\,\bcancel{\mathrm{m}}}\\[8pt] \Delta\theta &=18\,\mathrm{rad}\end{aligned}.\]
Asegúrate de que las unidades del desplazamiento lineal y del radio son las mismas al calcular el desplazamiento angular a partir de esta fórmula.
Desplazamiento angular de la Tierra
Al girar la Tierra con un desplazamiento angular de \(0,5\,\mathrm{rad}\) un punto del ecuador barre una longitud de arco de aproximadamente \(3000\,\text{km}\). Calcula el radio de la Tierra.
Solución:
En primer lugar, reordena la fórmula del desplazamiento angular para aislar el radio.\[r=\frac{s}{\Delta\theta}\].
A continuación, podemos introducir los valores de la pregunta y simplificarla para hallar el radio de la Tierra.
\[r=\frac{s}{\Delta\theta}=\frac{3000\,\text{km}}{0.5\,\mathrm{rad}}=6000\,\text{km}\]
Observa que la respuesta es \( 6000,\text{km}). Los radianes parecían haber desaparecido, pero recuerda que un radián es una unidad adimensional.
Si la rueda de un coche tiene un diámetro de \(3\,\mathrm{m}) y da tres vueltas completas cada \(2\,\mathrm{s}), ¿qué distancia recorre el coche cada segundo?
Solución:
Lo primero que hay que tener en cuenta es que la distancia que se desplaza el coche será la arclitud total recorrida por la rueda en un segundo. Lo segundo es recordar que tres revoluciones completas corresponden a \(\Delta\theta=3\cdot2\pi,\mathrm{rad}=6\pi,\mathrm{rad}).
Por último, no olvides que el radio es la mitad del diámetro, por lo que \(r=\frac{3}{2}\,\mathrm{m}).
Con esta información, podemos hallar el desplazamiento lineal \(s\) mediante la fórmula que relaciona el desplazamiento angular y la distancia lineal.
\[s=\Delta\theta r \]
Ahora, introduzcamos todos los valores que tenemos y simplifiquemos.
\[s=6\pi\,\mathrm{rad}\times\frac{3}{2}\,\mathrm{m}=9\,\mathrm{m}\]
Por tanto, el coche se mueve \(9,\mathrm{m}) cada segundo.
Desplazamiento angular - Puntos clave
- En el movimiento circular, el desplazamiento angular se define como el cambio de ángulo de un cuerpo respecto a su posición angular inicial.
- El desplazamiento angular puede calcularse mediante la fórmula \(\Delta\theta=\theta_f-\theta_i\).
- El radián es una unidad utilizada para medir el desplazamiento angular.
- Un radián es una unidad de medida angular definida por un sector circular cuyo arco de círculo es igual a su radio.
- Podemos convertir entre radianes y grados mediante la fórmula \( \theta\,\mathrm{rad}=\frac{360\cdot\theta}{2\pi}^{\circ} \)
- Un desplazamiento angular \(\Delta\theta\) en radianes se relaciona con un desplazamiento lineal mediante la fórmula \( \Delta\theta=\frac{s}{r} \) donde \(r\) es la distancia radial del objeto desde su eje de rotación.
- Podemos hallar el desplazamiento angular y la velocidad mediante una gráfica de posición angular frente al tiempo. El desplazamiento angular es igual al cambio vertical, y la velocidad angular es igual a la pendiente de la gráfica.
Referencias
- Fig. 1 - Sinulog Mardi Gras Dancer (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sinulog_Mardi_Gras_Dancer.jpg) by Herbertkikoy (https://commons.wikimedia.org/wiki/User:Herbertkikoy) is licensed by CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.en).
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