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Definición de velocidad angular
Del mismo modo que primero aprendemos sobre la posición y el desplazamiento antes de aprender sobre la velocidad, primero debemos definir la posición angular para poder hablar de velocidad angular.
Posición angular
La posición angular de un objeto respecto a un punto y una recta de referencia es el ángulo entre esa recta de referencia y la recta que pasa por el punto y el objeto.
No es la definición más intuitiva, así que consulta la siguiente ilustración para tener una idea clara de lo que se quiere decir.
Vemos que las distancias absolutas no importan para la posición angular, sino sólo las relaciones de distancias: podemos reescalar toda esta imagen y la posición angular del objeto no cambiaría.
Si alguien camina directamente hacia ti, su posición angular respecto a ti no cambia (independientemente de la línea de referencia que elijas).
Velocidad angular
La velocidad angular de un objeto respecto a un punto es una medida de la rapidez con que ese objeto se mueve a través de la vista del punto, en el sentido de la rapidez con que cambia la posición angular del objeto.
La velocidad angular de un objeto respecto a ti corresponde a la rapidez con la que tienes que girar la cabeza para seguir mirando directamente al objeto.
Observa que en esta definición de velocidad angular no se menciona una línea de referencia, porque no la necesitamos.
Demostración de la velocidad angular de un smiley respecto a su centro, adaptada de la imagen de Sbyrnes321 Dominio público.
Unidades de velocidad angular
De la definición se desprende que la velocidad angular se mide en un ángulo por unidad de tiempo. Como los ángulos no tienen unidades, las unidades de velocidad angular son las inversas de las unidades de tiempo. Así, la unidad estándar para medir las velocidades angulares es \(s^{-1}\). Como un ángulo siempre va acompañado de su medida sin unidades, por ejemplo grados o radianes, una velocidad angular puede escribirse de las siguientes formas:
\[\omega=\dfrac{xº}{s}=\dfrac{y\,\mathrm{rad}}{s}=y\dfrac{\mathrm{rad}}{s}\]
Aquí tenemos la conocida conversión entre grados y radianes como \(\dfrac{x}{360}=\dfrac{y}{2\pi}\), o \(y=\dfrac{\pi}{180}\x).
Recuerda que los grados pueden ser intuitivos y está bien utilizarlos para expresar ángulos, pero en los cálculos (por ejemplo, los de velocidades angulares), debes utilizar siempre radianes.
Fórmula de la velocidad angular
Veamos una situación no demasiado complicada, supongamos que una partícula se mueve en círculo a nuestro alrededor. Este círculo tiene un radio \(r\) (que es la distancia de nosotros a la partícula) y la partícula tiene una velocidad \(v\). Evidentemente, la posición angular de esta partícula cambia con el tiempo debido a su velocidad circular, y la velocidad angular \(\omega\) viene dada ahora por
\[\omega=\dfrac{v}{r}\]
Es fundamental utilizar radianes en las unidades de velocidad angular cuando se trata de ecuaciones. Si te dan una velocidad angular expresada en grados por unidad de tiempo, lo primero que debes hacer es convertirla a radianes por unidad de tiempo.
Ha llegado el momento de examinar si esta ecuación tiene sentido. En primer lugar, la velocidad angular se duplica si la velocidad de la partícula se duplica, lo cual es de esperar. Sin embargo, la velocidad angular también se duplica si el radio de la partícula se reduce a la mitad. Esto es así porque la partícula sólo tendrá que recorrer la mitad de la distancia original para dar una vuelta completa a su trayectoria, por lo que también sólo necesitará la mitad de tiempo (porque suponemos una velocidad constante al reducir el radio a la mitad).
Tu campo de visión tiene un ángulo determinado (que es aproximadamente \(180º\) o \(\pi\,\mathrm{rad})), por lo que la velocidad angular de un objeto determina completamente la rapidez con que se desplaza por tu campo de visión. La aparición del radio en la fórmula de la velocidad angular es la razón de que los objetos lejanos se muevan mucho más despacio por tu campo de visión que los objetos que están cerca de ti.
Velocidad angular a velocidad lineal
Utilizando la fórmula anterior, también podemos calcular la velocidad lineal \(v\) de un objeto a partir de su velocidad angular \(\omega\) y su radio \(r\) de la siguiente manera:
\[v=\omega r\]
Esta fórmula para la velocidad lineal no es más que una manipulación de la fórmula anterior, por lo que ya sabemos que esta fórmula es lógica. De nuevo, asegúrate de utilizar radianes en los cálculos, así que también al utilizar esta fórmula.
En general, podemos afirmar que la velocidad lineal de un objeto está directamente relacionada con su velocidad angular a través del radio de la trayectoria circular que sigue.
Velocidad angular de la Tierra
Rotación de la Tierra alrededor de su eje, acelerada, Wikimedia Commons CC BY-SA 3.0.
Un buen ejemplo de velocidad angular es la propia Tierra. Sabemos que la Tierra realiza una rotación completa de \(360º\) cada 24 horas, por lo que la velocidad angularde un objeto en el ecuador de la Tierra respecto al centro de la Tierra viene dada por
\[\omega=\dfrac{360º}{24\,\mathrm{h}}\]
\[\omega=\dfrac{2\pi}{24}\dfrac{\mathrm{rad}}{\mathrm h}\]
Observa cómo hemos convertido inmediatamente a radianes para nuestro cálculo.
El radio de la Tierra es \(r=6378\,\mathrm{km}\), así que ahora podemos calcular la velocidad lineal \(v\) de un objeto en el ecuador de la Tierra utilizando la fórmula que hemos introducido antes:
\[v=\omega r\]
\[v=\dfrac{2\pi}{24}\dfrac{\mathrm{rad}}{\mathrm h}·6378\,\mathrm{km}\]
\[v=1670\,\dfrac{\mathrm{km}}{\mathrm h}=464\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm s}\]
Velocidad angular de los coches en una rotonda
Supongamos que una rotonda de Dallas es un círculo perfecto centrado en el centro de la ciudad con un radio de \(r=11,\mathrm{mi}\) y que el límite de velocidad en esta rotonda es de \(45,\mathrm{mi/h}\). La velocidad angular de un coche que circula por esta carretera al límite de velocidad con respecto al centro de la ciudad se calcula entonces como sigue
\[\omega=\dfrac{v}{r}\]
\[\omega=\dfrac{45\,\mathrm{mi/h}}{11\,\mathrm{mi}}\]
\[\omega=4.1\,\mathrm{h}^{-1}\]
\[\omega=4.1\,\mathrm{rad/h}\]
Si queremos, podemos convertirlo a grados:
\[4.1\,\mathrm{rad/h}=\dfrac{235º}{\mathrm{h}}\]
Velocidad angular - Puntos clave
- La velocidad angular de un objeto respecto a un punto es una medida de la rapidez con que ese objeto se mueve a través de la vista del punto, en el sentido de la rapidez con que cambia la posición angular del objeto.
- Las unidades de la velocidad angular son las del tiempo inverso.
- Al escribir la velocidad angular, podemos utilizar grados por unidad de tiempo o radianes por unidad de tiempo.
- Al hacer cálculos con ángulos, utilizamos siempre radianes.
- La velocidad angular \(\omega\) se calcula a partir de la velocidad (lineal) \(v\) y el radio \(r\) como \(\omega=\dfrac{v}{r}\).
- Esto es lógico porque cuanto más rápido va algo y más cerca está de nosotros, más rápido se mueve por nuestro campo de visión.
- Podemos calcular la velocidad lineal a partir de la velocidad angular y el radio mediante \(v=\omega r\).
- La velocidad angular de la rotación de la Tierra en torno a su eje es de {(\dfrac{2\pi}{24}{dfrac{mathrm{rad}}{mathrm{h}}).
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