El oscilador muelle-bloque es un experimento clásico de física que demuestra los mismos principios que utilizan las balanzas de la ISS. Este artículo describe el experimento del bloque de muelles, deduce una ecuación para hallar la frecuencia natural y el periodo de tiempo de diferentes osciladores, e introduce un método de análisis de la energía para hallar la velocidad y el desplazamiento en diferentes puntos de una oscilación.
El experimento del oscilador muelle-masa
Un modelo sencillo de un sistema que presenta Movimiento Armónico Simple (MHS) es el oscilador muelle-masa, también llamado oscilador armónico simple lineal. Como se muestra a continuación, consiste en un muelle horizontal conectado a una masa \( m \) que se desliza sobre una superficie imaginaria sin fricción. El oscilador se describe como lineal porque la fuerza producida por el muelle es directamente proporcional a \( x \).
Diagrama del experimento del oscilador armónico simple lineal mediante un muelle unido a una masa. En su posición de equilibrio, el desplazamiento del bloque es 0, mientras que el desplazamiento máximo A en los extremos de oscilación también está marcado. Originales de StudySmarter
A partir del estudio de la cinemática del movimiento armónico simple, tenemos ecuaciones para el desplazamiento, la velocidad y la aceleración del bloque oscilante:
$$\text{Desplazamiento } \quad x(t)=A\cos\left( (\omega t)+ \phi \right)$$
$$\text{Veloctiy} \cuadrado v(t)=-A\omega\sin\izquierda( (\omega t)+ \phi \derecha)$$
$$\text{Aceleración} \cuadratura a(t)=-A\omega^2\cosquierda( (\omega t)+ \phi \derecha)$$
En estas ecuaciones cinemáticas para SHM, las variables son las siguientes:
\( A \) es la amplitud máxima de la oscilación en metros \( \mathrm{(m)} \).
\( \omega \) es la velocidad angular de la oscilación del SHM, expresada en radianes por segundo \( \mathrm{(rad/s)} \).
\( t \) es el tiempo (instante en el que deben calcularse los valores), medido en segundos \( \mathrm{(s)} \).
\( \phi \) es la constante de fase de la oscilación, que es un valor que representa la posición de la oscilación en \( t=0\;\mathrm{s} \). Se expresa en radianes.
Fórmula del oscilador muelle-masa
Por la segunda ley de Newton, sabemos que la fuerza sobre un objeto es igual a su masa multiplicada por su aceleración debida a la fuerza:
$$F=ma$$
Y, por tanto, la fuerza del muelle puede equipararse a la aceleración de la masa
$$F=(-k)x=ma$$
Esto nos da ecuaciones para la fuerza del muelle en términos de aceleración \( a \) y desplazamiento \( x \). Podemos sustituir las ecuaciones para el desplazamiento y la aceleración SHM en estas ecuaciones de fuerza, lo que da:$$F=ma=(-m)A\omega^2\cos\left( (\omega t )+\phi \right)$$
$$F = (-k)x=(-k) A\cos\izquierda( (\omega t) + \phi \derecha)$$
A continuación, se pueden igualar para obtener
$$(-m)A\omega^2\cos\left( (\omega t )+\phi \right)=(-k) A\cos\left( (\omega t) + \phi \right)$$
Los factores \( A \) y \( \cos\left( (\omega t )+\phi \right) \) de esta ecuación se anulan junto con un factor \( -1 \), con lo que tenemos:
$$m\omega^2=k$$
$$\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$$
Esta ecuación nos indica la frecuencia angular natural de un sistema oscilador muelle-bloque, que podemos ver que es independiente de la amplitud de oscilación. Las unidades de frecuencia angular son radianes por segundo, y una rotación de \( 2\pi \) radianes representa una oscilación completa. También podemos utilizar esto para averiguar la frecuencia y el periodo de tiempo de la oscilación. Esto se debe a que la frecuencia angular está directamente relacionada con la frecuencia de oscilación y el periodo de tiempo:
$$f= \frac{\omega}{2\pi}$$
$$T=\frac{1}{f}=2\pi\omega$$
Donde la frecuencia de oscilación \( f \) tiene unidades de hercios \( \mathrm{(Hz)} \), y el periodo de tiempo \( T \) se mide en segundos \( \mathrm{(s)} \).
Esto significa que para el oscilador de bloque de muelles
$$f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$$
$$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$
En el oscilador armónico lineal simple que se muestra a continuación, el muelle tiene una constante elástica de \( 1000\;\mathrm{N/m} \) y el bloque tiene una masa de \( 5\;\mathrm{kg} \). Determina la frecuencia y el período de tiempo de las oscilaciones del sistema.
Ilustración de un oscilador armónico lineal simple formado por un muelle y un bloque. Originales de StudySmarter
Podemos hallar la frecuencia angular utilizando la ecuación que hemos deducido antes:
$$\omega = \sqrt{dfrac{k}{m}} = \sqrt{dfrac{1000;\mathrm{N/m}}{5;\mathrm{kg}}= 14,14; \mathrm{rad/s}$$
Como una oscilación completa mide \( 2\pi \) radianes, podemos dividir la frecuencia angular por \ ( 2\pi \) para hallar la frecuencia en hercios:
$$f = \frac{\omega}{2\pi}=\frac{14.14\;\mathrm{rad/s}}{2\pi}=2.25\;\mathrm{Hz}$$
Como alternativa, podemos calcularlo directamente utilizando nuestra ecuación para la frecuencia:
$$f= \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{ 1000\;\mathrm{N/m}}{5\;\mathrm{kg}}}=2.25\;\mathrm{Hz}$$
El periodo de tiempo también puede calcularse directamente
$$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi\sqrt{\frac{5\;\mathrm{kg}}{1000\;\mathrm{N/m}}}=0.44s$$
Ecuación de la energía para la oscilación de un muelle-bloque
Examinar cómo se transfiere la energía en el oscilador muelle-bloque es útil para comprender plenamente lo que ocurre en el sistema y por qué presenta SHM. La energía potencial en un muelle comprimido o extendido puede calcularse considerando el trabajo necesario para comprimir o extender el muelle hasta esa posición:
$$W = \bar{F}x$$
Recuerda que la fuerza del muelle varía a medida que se comprime, pero como varía linealmente, podemos utilizar una fuerza media y obtener el mismo resultado. La fuerza media \( \bar{F} \)viene dada por:
$$\bar{F}=\frac{1}{2}\left( F_1+F_0\right)$$
Donde \( F_0 \) y \( F_1 \) son la fuerza del muelle (en Newtons) producida por el muelle no comprimido y comprimido, respectivamente.
La distancia \( x \) a la que se comprime (o estira) el muelle es la diferencia entre los desplazamientos \( x_1 \) comprimido y \( x_0 \) sin comprimir:
$$x = x_1-x_0$$
Podemos sustituir la ley de Hooke por las fuerzas del muelle ( F_1 \) y \( F_0 \) , lo que nos da:
$$W=\bar{F}s=\left[ \frac{1}{2}(F_1+F_0) \right]x =\left[ \frac{1}{2}(kx_1+kx_0) \right]x $$
Podemos simplificar esta ecuación expandiendo los términos:
$$W=-\frac{1}{2}\left( kx_1x+kx_0x \right)$$
Como el desplazamiento no comprimido \( x_0=0\;\mathrm{m} \), esto implica que \( x_1=x \). Esto significa también que todos los términos que contienen \( x_0 \) se reducen a cero. Aplicando esto a la ecuación del trabajo realizado para comprimir el muelle, obtenemos
$$PE_{\text{spring}}=\frac{1}{2}kx^2$$
Del estudio de la cinemática del SHM sabemos que la velocidad de oscilación es máxima cuando pasa por el punto de equilibrio y nula en los puntos extremos de desplazamiento. Como al estudiar el SHM ignoramos las pérdidas de energía, sabemos que toda la energía potencial almacenada en el muelle cuando se estira o se comprime debe transferirse a la energía cinética de la oscilación cuando el muelle se descomprime, y que la energía total \( PE+KE \) del sistema es constante.
$$PE_0+KE_0=PE_1+KE_1$$
$$\frac{1}{2}kx_0^2+\frac{1}{2}mv_0^2+\frac{1}{2}kx_1^2+\frac{1}{2}mv_1^2$$
Podemos utilizar esta relación para predecir la velocidad máxima de oscilación cuando un muelle se estira una cierta cantidad. Como la velocidad \( v_1=0 \) en el punto extremo de desplazamiento \( x_1 \) , y el desplazamiento \( x_0=0 \) a medida que la oscilación pasa por el punto de equilibrio, pueden eliminarse algunos términos, quedando:
$$\frac{1}{2}kx_1^2=\frac{1}{2}mv_0^2$$
$$kx_1^2=mv_0^2$$
$$v_0=\sqrt{\frac{kx_1^2}{m}}$$
Pongamos esto en práctica.
A continuación se muestra un experimento con un oscilador muelle-bloque. Si el muelle se comprime inicialmente \( 10\;\mathrm{cm} =0,01\;\mathrm{m} \), ¿a qué velocidad se moverá el bloque al pasar por el punto de equilibrio después de soltarlo?
Sustituyamos los datos conocidos en la ecuación de la velocidad y simplifiquemos.
$$v_0 = \sqrt{\dfrac{kx_1^2}{m}}=\sqrt{\dfrac{400\;\mathrm{N/m}\times 0.1\;\mathrm{m}^2}{2\;\mathrm{kg}}}=\sqrt{\dfrac{4}{2}}=\sqrt{2}=1.414\;\mathrm{m/s}$$
Oscilador vertical muelle-masa
Si ajustamos el experimento del muelle-bloque de modo que ahora el bloque cuelgue verticalmente del muelle, como se muestra en el diagrama siguiente, se introduce el efecto de la gravedad. Afortunadamente, podemos utilizar un enfoque similar de análisis energético para comprender el comportamiento de este sistema.
La energía total del sistema sigue siendo constante para un oscilador vertical muelle-masa. Entonces, sólo tenemos que añadir un término para la energía potencial gravitatoria a nuestra ecuación energética:
$$PE_0+KE_0=PE_1+KE_1$$
$$\frac12kx_0^2+mgx_0+\frac12mv_0^2=\frac12kx_1^2+mgx_1+\frac12mv_1^2$$
En este ejemplo, tratamos la aceleración debida a la gravedad como \( g = 10\;\mathrm{N/kg} \).
El montaje del experimento que se muestra a continuación muestra un bloque \( m=3\;\mathrm{kg} \) colgado de un muelle con una rigidez (constante del muelle) de \( k=600\;\mathrm{N/m} \). Antes de fijar el bloque, el muelle no está estirado y su punto más bajo se extiende hasta \( x_0=0\; \mathrm{m} \). Cuando se fija el bloque, el muelle se estira hasta que la fuerza del muelle anula la fuerza gravitatoria y el sistema está en equilibrio en el desplazamiento \( x_1 \). Halla el valor de \( x_1 \).
Experimento de un oscilador vertical muelle-bloque, que muestra el muelle no estirado en el desplazamiento \( x_0 \), la posición de equilibrio del muelle cargado en \( x_1 \) y la extensión máxima del muelle en \( x_2 \). Originales de StudySmarter
La posición de equilibrio del sistema puede hallarse calculando el desplazamiento necesario para que la gravedad y la fuerza del muelle se igualen:
$$W = mg = 3;\mathrm{kg}{veces10;\mathrm{N/kg}=10;\mathrm{N}$$
$$\therefore F_{\text{spring}}=-kx_1=-600\;\mathrm{N/m}\times x_1\;\mathrm{m}=30\;\mathrm{N}$$
$$x_1=\frac{ 30\;\mathrm{N}}{-600\;\mathrm{N/m}}=-0.05\;\mathrm{m}$$
Si se tira del bloque hacia abajo de modo que el muelle se extienda otro \( 0,15;\mathrm{m}) hasta( x_2 =-0,2\;\mathrm{m}). ¿Cuál será la velocidad y el desplazamiento máximos de la oscilación del bloque después de soltarlo?
En la posición estirada podemos calcular la energía total del sistema:
$$\text{Energía total}= \frac{ 1}{2}kx_2^2+mgx_2+\frac{ 1}{2}mv_2^2$$
Como se trata de un punto extremo, la velocidad es cero y se puede eliminar el término cinético: $$\text{Energía total}= \frac{ 1}{2}kx_2^2+mgx_2$$
Ahora sustituyamos los valores conocidos y simplifiquemos.
$$\text{Total Energy at }x_2=\frac{1}{2}\times600\;\mathrm{N/m}(-0.2\;\mathrm{m})^2+3\;\mathrm{kg\times10\;\mathrm{N/kg}\times-0.2\;\mathrm{m}}$$
$$\text{Energía total en }x_2=12 J$$
Cuando se suelta el bloque, la fuerza del muelle lo acelera hacia arriba. Sabemos que la velocidad de oscilación es mayor cuando pasa por el punto de equilibrio. Ya hemos calculado que la energía total del sistema es \( 12\;\mathrm{J} \), así que podemos utilizarla para hallar la velocidad \( v_1 \) en \( x_1=-0,05\;\mathrm{m} \):
$$12\;\mathrm{J} = \frac{1}{2}kx_1^2+mgx_1+\frac{1}{2}mv_1^ 2$$
$$12\;\mathrm{J} =\left(\frac12\times600\;\mathrm N/\mathrm m\times{(-0.05\;\mathrm m)}^2\right)+\left(3\;\mathrm{Kg}\times10\;\mathrm N/\mathrm{kg}\times-0.05\;\mathrm m\right)+\left(\frac12\times3\;\mathrm{kg}\times v_1^2\right)$$
$$12\;\mathrm{J} =0.75\;\mathrm{J}-1.5\mathrm{J}+1.5\;\mathrm{kg}\times v_1^2$$
$$ \sqrt{\frac{12,75;\mathrm{J}}{1,5;\mathrm{kg}}}=v_1 = 2,916;\mathrm{m/s} $$
También podríamos utilizar este método energético para hallar el desplazamiento máximo de la oscilación, pero hay una opción más directa: ¡sabemos que una característica clave del movimiento armónico simple es que la magnitud del desplazamiento en cualquier dirección desde el punto de equilibrio es igual!
En este ejemplo, nuestro desplazamiento mínimo está en \( x_2=-0,2\;\mathrm{m} \), y el punto de equilibrio está en \( x_1=-0,05\;\mathrm{m} \). Esto significa que la amplitud de oscilación \( A=0,15\;\mathrm{m} \). Podemos sumar la amplitud al punto de equilibrio para hallar el desplazamiento máximo de la oscilación:
$$x_1+A = -0.05\;\mathrm{m}+0.15\;\mathrm{m}=0.1\;\mathrm{m}$$
El oscilador muelle-bloque - Puntos clave
- Un oscilador muelle-bloque es un sistema formado por un muelle unido a un bloque/masa que se desliza sobre una superficie sin fricción. El bloque oscilará alrededor de una posición de equilibrio con movimiento armónico simple. Este experimento también se conoce como oscilador armónico simple lineal.
- El muelle produce una fuerza restauradora sobre el bloque que es inversamente proporcional a su desplazamiento, una característica clave del SHM.
- La relación entre la fuerza del muelle y su extensión viene definida por la ley de Hooke \( F=-kx \) mientras el muelle permanece dentro de su límite elástico.
- Podemos hallar la frecuencia angular natural, la frecuencia y el período de tiempo de un oscilador de muelle-bloque mediante las ecuaciones \( \omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}} \),\( f = \dfrac{1}{2\pi} \sqrt{\dfrac{k}{m}}) & \( T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}} \), respectivamente.
- Como ignoramos las pérdidas de energía al analizar el SHM, la energía total en el sistema oscilador muelle-bloque (suma de la energía cinética, la energía potencial del muelle y la energía potencial gravitatoria) debe ser constante en cualquier punto: \( PE_0+KE_0 = PE_1+KE_1 \).
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