El oscilador masa-resorte

El experimento del oscilador muelle-masa

Un modelo sencillo de un sistema que presenta Movimiento Armónico Simple (MHS) es el oscilador muelle-masa, también llamado oscilador armónico simple lineal. Como se muestra a continuación, consiste en un muelle horizontal conectado a una masa \( m \) que se desliza sobre una superficie imaginaria sin fricción. El oscilador se describe como lineal porque la fuerza producida por el muelle es directamente proporcional a \( x \).

Diagrama del experimento del oscilador armónico simple lineal mediante un muelle unido a una masa. En su posición de equilibrio, el desplazamiento del bloque es 0, mientras que el desplazamiento máximo A en los extremos de oscilación también está marcado. Originales de StudySmarter

A partir del estudio de la cinemática del movimiento armónico simple, tenemos ecuaciones para el desplazamiento, la velocidad y la aceleración del bloque oscilante:

$$\text{Desplazamiento } \quad x(t)=A\cos\left( (\omega t)+ \phi \right)$$

$$\text{Veloctiy} \cuadrado v(t)=-A\omega\sin\izquierda( (\omega t)+ \phi \derecha)$$

$$\text{Aceleración} \cuadratura a(t)=-A\omega^2\cosquierda( (\omega t)+ \phi \derecha)$$

En estas ecuaciones cinemáticas para SHM, las variables son las siguientes:

• \( A \) es la amplitud máxima de la oscilación en metros \( \mathrm{(m)} \).

• \( \omega \) es la velocidad angular de la oscilación del SHM, expresada en radianes por segundo \( \mathrm{(rad/s)} \).

• \( t \) es el tiempo (instante en el que deben calcularse los valores), medido en segundos \( \mathrm{(s)} \).

• \( \phi \) es la constante de fase de la oscilación, que es un valor que representa la posición de la oscilación en \( t=0\;\mathrm{s} \). Se expresa en radianes.

Fórmula del oscilador muelle-masa

Por la segunda ley de Newton, sabemos que la fuerza sobre un objeto es igual a su masa multiplicada por su aceleración debida a la fuerza:

$$F=ma$$

Y, por tanto, la fuerza del muelle puede equipararse a la aceleración de la masa

$$F=(-k)x=ma$$

$$F=ma=(-m)A\omega^2\cos\left( (\omega t )+\phi \right)$$

$$F = (-k)x=(-k) A\cos\izquierda( (\omega t) + \phi \derecha)$$

A continuación, se pueden igualar para obtener

$$(-m)A\omega^2\cos\left( (\omega t )+\phi \right)=(-k) A\cos\left( (\omega t) + \phi \right)$$

Los factores \( A \) y \( \cos\left( (\omega t )+\phi \right) \) de esta ecuación se anulan junto con un factor \( -1 \), con lo que tenemos:

$$m\omega^2=k$$

$$\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$$

Esta ecuación nos indica la frecuencia angular natural de un sistema oscilador muelle-bloque, que podemos ver que es independiente de la amplitud de oscilación. Las unidades de frecuencia angular son radianes por segundo, y una rotación de \( 2\pi \) radianes representa una oscilación completa. También podemos utilizar esto para averiguar la frecuencia y el periodo de tiempo de la oscilación. Esto se debe a que la frecuencia angular está directamente relacionada con la frecuencia de oscilación y el periodo de tiempo:

$$f= \frac{\omega}{2\pi}$$

$$T=\frac{1}{f}=2\pi\omega$$

Donde la frecuencia de oscilación \( f \) tiene unidades de hercios \( \mathrm{(Hz)} \), y el periodo de tiempo \( T \) se mide en segundos \( \mathrm{(s)} \).

Esto significa que para el oscilador de bloque de muelles

$$f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$$

$$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$

Ecuación de la energía para la oscilación de un muelle-bloque

Examinar cómo se transfiere la energía en el oscilador muelle-bloque es útil para comprender plenamente lo que ocurre en el sistema y por qué presenta SHM. La energía potencial en un muelle comprimido o extendido puede calcularse considerando el trabajo necesario para comprimir o extender el muelle hasta esa posición:

$$W = \bar{F}x$$

Recuerda que la fuerza del muelle varía a medida que se comprime, pero como varía linealmente, podemos utilizar una fuerza media y obtener el mismo resultado. La fuerza media \( \bar{F} \)viene dada por:

$$\bar{F}=\frac{1}{2}\left( F_1+F_0\right)$$

Donde \( F_0 \) y \( F_1 \) son la fuerza del muelle (en Newtons) producida por el muelle no comprimido y comprimido, respectivamente.

La distancia \( x \) a la que se comprime (o estira) el muelle es la diferencia entre los desplazamientos \( x_1 \) comprimido y \( x_0 \) sin comprimir:

$$x = x_1-x_0$$

Podemos sustituir la ley de Hooke por las fuerzas del muelle ( F_1 \) y \( F_0 \) , lo que nos da:

$$W=\bar{F}s=\left[ \frac{1}{2}(F_1+F_0) \right]x =\left[ \frac{1}{2}(kx_1+kx_0) \right]x $$

Podemos simplificar esta ecuación expandiendo los términos:

$$W=-\frac{1}{2}\left( kx_1x+kx_0x \right)$$

Como el desplazamiento no comprimido \( x_0=0\;\mathrm{m} \), esto implica que \( x_1=x \). Esto significa también que todos los términos que contienen \( x_0 \) se reducen a cero. Aplicando esto a la ecuación del trabajo realizado para comprimir el muelle, obtenemos

$$PE_{\text{spring}}=\frac{1}{2}kx^2$$

Del estudio de la cinemática del SHM sabemos que la velocidad de oscilación es máxima cuando pasa por el punto de equilibrio y nula en los puntos extremos de desplazamiento. Como al estudiar el SHM ignoramos las pérdidas de energía, sabemos que toda la energía potencial almacenada en el muelle cuando se estira o se comprime debe transferirse a la energía cinética de la oscilación cuando el muelle se descomprime, y que la energía total \( PE+KE \) del sistema es constante.

$$PE_0+KE_0=PE_1+KE_1$$

$$\frac{1}{2}kx_0^2+\frac{1}{2}mv_0^2+\frac{1}{2}kx_1^2+\frac{1}{2}mv_1^2$$

Podemos utilizar esta relación para predecir la velocidad máxima de oscilación cuando un muelle se estira una cierta cantidad. Como la velocidad \( v_1=0 \) en el punto extremo de desplazamiento \( x_1 \) , y el desplazamiento \( x_0=0 \) a medida que la oscilación pasa por el punto de equilibrio, pueden eliminarse algunos términos, quedando:

$$\frac{1}{2}kx_1^2=\frac{1}{2}mv_0^2$$

$$kx_1^2=mv_0^2$$

$$v_0=\sqrt{\frac{kx_1^2}{m}}$$

Pongamos esto en práctica.

Oscilador vertical muelle-masa

Si ajustamos el experimento del muelle-bloque de modo que ahora el bloque cuelgue verticalmente del muelle, como se muestra en el diagrama siguiente, se introduce el efecto de la gravedad. Afortunadamente, podemos utilizar un enfoque similar de análisis energético para comprender el comportamiento de este sistema.

La energía total del sistema sigue siendo constante para un oscilador vertical muelle-masa. Entonces, sólo tenemos que añadir un término para la energía potencial gravitatoria a nuestra ecuación energética:

$$PE_0+KE_0=PE_1+KE_1$$

$$\frac12kx_0^2+mgx_0+\frac12mv_0^2=\frac12kx_1^2+mgx_1+\frac12mv_1^2$$