Energía Cinética y Velocidad en sistemas MHS

En la mayoría de los casos, es casi intuitivo que la energía cinética y la velocidad están relacionadas. Por ejemplo, un coche viene hacia ti a \(\;5\; \mathrm{mph}\) mientras que otro viene a \ (\(\;100\;\mathrm{mph}\). Es obvio cuál de los coches lleva más energía cinética. En un ejemplo menos intuitivo, consideramos que las moléculas del aire se mueven y oscilan. Cuando sentimos aire caliente, significa que estas moléculas se mueven deprisa, por lo que tienen una gran energía cinética. Cuando el aire está frío, significa que estas moléculas no se mueven tan deprisa, por lo que tienen poca energía cinética. En los sistemas de movimiento armónico simple, la rigidez del objeto que ejerce la fuerza restauradora sobre el objeto oscilante afecta a la energía cinética del sistema. En este artículo comprenderemos cómo se comporta la energía cinética en un sistema que se mueve en movimiento armónico simple.

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    Energía cinética de un oscilador

    La energía cinética de un oscilador está asociada a la energía necesaria para su movimiento. La unidad de la energía cinética es el julio \((\mathrm J)\) o el newton-metro \((\mathrm N\;\mathrm m)\). Es importante observar que la energía cinética es una cantidad escalar, no vectorial, lo que significa que tiene magnitud, pero no depende de ninguna dirección dada. La velocidad es un vector, pero la magnitudde la velocidad es una cantidad escalar. Para hallar la expresión de la energía cinética de un oscilador, primero tenemos que hallar la velocidad de un oscilador. Sabemos que la energía cinética de una partícula está relacionada con su masa y el cuadrado de su velocidad, y viene dada por

    $$K=\frac12mv^2.$$

    En un artículo anterior, dedujimos la expresión de la energía potencial de un oscilador:

    $$U=\frac12\omega^2mx^2,$$

    donde \(\omega\) es la frecuencia angular del objeto en radianes por segundo \((\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm s})\).

    También hemos dicho que la energía se conserva en el movimiento armónico simple. Esto significa que en dos momentos cualesquiera de un ciclo de oscilación, la suma de las energías cinética y potencial debe ser igual:

    $$\begin{array}{rcl}K_i+U_i&=&K_f+U_f,\\\frac12mv_i^2+\frac12\omega^2mx_i^2&=&\frac12mv_f^2+\frac12\omega^2mx_f^2.\end{array}$$

    Inicialmente, estamos en el desplazamiento máximo, así que, \(v_i=0,\;x_i=A,v_f=v,\;y\;x_f=x\). Sustituimos los valores en la ecuación anterior y resolvemos la velocidad:

    $$\begin{array}{rcl}\frac12\omega^2mA^2&=&\frac12mv^2+\frac12\omega^2mx^2,\\v^2&=&\omega^2(A^2-x^2),\\v&=&\omega\sqrt{A^2-x^2}.\end{array}$$

    Ahora que conocemos la expresión de la velocidad del objeto que experimenta un movimiento armónico simple, podemos determinar la ecuación de la energía cinética de los osciladores armónicos simples:

    $$\begin{array}{rcl}K&=&\frac12mv^2,\\K&=&\frac12m\omega^2(A^2-x^2).\end{array}$$

    Como podemos ver en la ecuación anterior, hay muchos parámetros en un sistema que emprende un movimiento armónico simple que pueden afectar a la energía cinética. La energía cinética está relacionada con la masa del objeto oscilante, su frecuencia angular, su amplitud y su posición respecto al punto de equilibrio en cualquier momento del tiempo. La forma más fácil de demostrarlo experimentalmente es montando un sistema masa-muelle.

    Otra forma de expresar la energía cinética de un oscilador es utilizando la definición de la posición de un objeto en un sistema de movimiento armónico simple,

    $$x=A\cos\ izquierda(\omega t+\phi\ derecha).$$

    Sustituimos la ecuación anterior en nuestra expresión para la energía cinética,

    $$\begin{array}{rcl}K&=&\frac12m\omega^2\left(A^2-A^2\cos^2\left(\omega t+\phi\right)\right),\k&=&\frac12m\omega^2A^2\left(1-\cos^2\left(\omega t+\phi\right)\right).\end{array}$$

    Donde utilizamos la identidad trigonométrica \ (\cos^2\left(\theta\right)+\sin^2\left(\theta\right)=1\). Así pues, ahora tenemos una expresión para la energía cinética que consiste en una función seno elevada al cuadrado. Observa que el cuadrado de la función seno significa que la energía cinética siempre tomará valores positivos, como esperábamos, aunque la propia función seno tenga valor negativo. La energía cinética de un sistema que experimenta un movimiento armónico simple viene dada por,

    $$K=\frac12m\omega^2A^2\sin^2\left(\omega t+\phi\right).$$

    Ecuación de la energía cinética de un muelle

    En un sistema muelle-masa, cuando el muelle se descomprime, el muelle realiza un trabajo sobre el objeto para moverlo. Este trabajo es igual a la energía potencial almacenada en el muelle, y durante este momento la energía potencial se convierte en energía cinética, por lo que el objeto puede moverse.

    Siempre se están intercambiando, de modo que la energía total del sistema siempre es constante. La energía cinética será máxima cuando la energía potencial sea mínima y viceversa.

    En el caso de un sistema muelle-masa, sabemos que la expresión para la frecuencia angular viene dada por

    $$\omega=\sqrt{\frac km},$$

    donde \(k\) es la constante del muelle que mide la rigidez del muelle en newtons por metro \ ((\frac{\mathrm N}{\mathrm m})\).

    Ahora podemos expresar la ecuación de la energía cinética de un muelle. Cuanto más rígido sea el muelle, mayor será la energía cinética del sistema. Nos daremos cuenta de ello cuando sustituyamos el valor de \(\omega^2\) para un muelle en la expresión de la energía cinética,

    $$\begin{array}{rcl}K&=&\frac12m\omega^2\left(A^2-x^2\right),\\K&=&\frac12\cancel m\left(\frac k{\cancel m}\right)\left(A^2-x^2\right),\\K&=&\frac12k\left(A^2-x^2\right).\fin{array}$$

    Considera dos sistemas, ambos tienen la misma amplitud y desplazamiento respecto a la posición de equilibrio. ¿Qué sistema tendrá mayor energía cinética?

    El sistema con la mayor constante elástica tendrá una energía cinética mayor, ya que la mayor constante elástica significa que este muelle será más rígido.

    Energía cinética mínima y máxima de un muelle

    Hay tres momentos en un ciclo de oscilación en los que la energía cinética estará en su mínimo. Esto ocurre cuando el objeto se encuentra en el desplazamiento máximo. En estos momentos, la velocidad del objeto es cero, ya que cambia su dirección de movimiento. Además, durante estos momentos, el desplazamiento es igual a la amplitud. Estos momentos corresponden a \(t=0,\frac{\;T}{2,\;T}}):

    $$\begin{array}{rcl}v_\min&=&\sqrt{\frac km}\sqrt{A^2-A^2},\\v_\min&=&0,\\K_\min&=&\frac12m{(0)}^2,\\K_\min&=&0\end{array}$$

    Por otra parte, la energía cinética será máxima en dos momentos de un ciclo de oscilación. Estos momentos se producen cuando el objeto pasa por la posición de equilibrio. Estos momentos corresponden a \$(t=\frac T4,\$;\frac{3T}4\$):

    $$\begin{array}{rcl}v_\max&=&\sqrt{\frac km}\sqrt{A^2-{(0)}^2},\\v_\max&=&A\sqrt{\frac km},\\K_\max&=&\frac12k(A^2-{(0)}^2),\\K_\max&=&\frac12kA.\end{array}$$

    Considera un sistema muelle-masa. Desplazamos la masa de su posición de equilibrio a dos distancias diferentes. Durante el primer tiempo, la amplitud de las oscilaciones es \(3, 0;\mathrm{cm}\), mientras que en el segundo tiempo, la amplitud de las oscilaciones es \ (6,0;\mathrm{cm}\). Haz una comparación del periodo, la frecuencia y la velocidad máxima del sistema para estos dos casos.

    Para un oscilador armónico simple, el período y la frecuencia son independientes de la amplitud. Sin embargo, la velocidad máxima del bloque será mayor en el segundo caso que en el primero. Sabemos que la velocidad máxima es proporcional a la amplitud, de modo que \(v_\max=A\sqrt{\frac km}\) es dos veces mayor en el segundo caso que en el primero.

    Energía cinética y velocidad en los sistemas SHM - Puntos clave

    • La energía cinética está asociada a laenergía necesaria para acelerar un objeto desde el reposo hasta una velocidad determinada.
    • Launidad de la energía cinética es el julio \(( \mathrmJ)\) o el newton metro \((\mathrm N\;\mathrm m)\).
    • Es importante observar que la energía cinética es una cantidad escalar, no vectorial, lo que significa que tiene magnitud, pero no depende de la dirección. La velocidad es un vector, pero el cuadrado de la velocidad es una cantidad escalar.
    • La energía cinética está relacionada con la masa del objeto oscilante, su frecuencia angular, su amplitud y su posición desde el punto de equilibrio en cualquier momento del tiempo, \(K=\frac12m\omega^2(A^2-x^2)\).
    • Otra expresión para la energía cinética de un oscilador es la que se comporta como una función seno al cuadrado, \(K=\frac12m\omega^2A^2\sin^2\left(\omega t+\phi\right)\).
    • En un sistema de movimiento armónico simple, no hay ningún momento en el que las energías cinética y potencial sean iguales.
    • Cuanto más rígido sea el muelle, mayor será la energía cinética del sistema, \(K=\frac12k(A^2-x^2)\).
    • La energía cinética mínima se producirá cuando la velocidad del objeto sea cero, ya que cambia su dirección de movimiento. Durante este momento, el desplazamiento máximo es igual a la amplitud, \(v_\\min=\sqrt{\frac km}\sqrt{A^2-A^2}=0\).
    • La energía cinética máxima se produce cuando el objeto pasa por la posición de equilibrio, \(K_\max=\frac12k(A^2-{(0)}^2)=\frac12kA\).
    Preguntas frecuentes sobre Energía Cinética y Velocidad en sistemas MHS
    ¿Qué es la energía cinética en un MHS?
    La energía cinética en un Movimiento Armónico Simple (MHS) es la energía que tiene el objeto debido a su movimiento.
    ¿Cómo se calcula la velocidad en un MHS?
    La velocidad en un MHS se calcula usando la derivada de la función de posición respecto al tiempo y depende de la amplitud y la fase del movimiento.
    ¿Qué factores afectan la energía cinética en un MHS?
    La energía cinética en un MHS se ve afectada por la masa del objeto y su velocidad. Depende de su desplazamiento y posición en su trayectoria.
    ¿Qué relación hay entre la energía cinética y la potencial en un MHS?
    En un MHS, la energía cinética es máxima cuando la potencial es mínima y viceversa. La suma de ambas es constante.
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