Energía Cinética y Velocidad en sistemas MHS

Energía cinética de un oscilador

La energía cinética de un oscilador está asociada a la energía necesaria para su movimiento. La unidad de la energía cinética es el julio \((\mathrm J)\) o el newton-metro \((\mathrm N\;\mathrm m)\). Es importante observar que la energía cinética es una cantidad escalar, no vectorial, lo que significa que tiene magnitud, pero no depende de ninguna dirección dada. La velocidad es un vector, pero la magnitudde la velocidad es una cantidad escalar. Para hallar la expresión de la energía cinética de un oscilador, primero tenemos que hallar la velocidad de un oscilador. Sabemos que la energía cinética de una partícula está relacionada con su masa y el cuadrado de su velocidad, y viene dada por

$$K=\frac12mv^2.$$

En un artículo anterior, dedujimos la expresión de la energía potencial de un oscilador:

$$U=\frac12\omega^2mx^2,$$

donde \(\omega\) es la frecuencia angular del objeto en radianes por segundo \((\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm s})\).

También hemos dicho que la energía se conserva en el movimiento armónico simple. Esto significa que en dos momentos cualesquiera de un ciclo de oscilación, la suma de las energías cinética y potencial debe ser igual:

$$\begin{array}{rcl}K_i+U_i&=&K_f+U_f,\\\frac12mv_i^2+\frac12\omega^2mx_i^2&=&\frac12mv_f^2+\frac12\omega^2mx_f^2.\end{array}$$

Inicialmente, estamos en el desplazamiento máximo, así que, \(v_i=0,\;x_i=A,v_f=v,\;y\;x_f=x\). Sustituimos los valores en la ecuación anterior y resolvemos la velocidad:

$$\begin{array}{rcl}\frac12\omega^2mA^2&=&\frac12mv^2+\frac12\omega^2mx^2,\\v^2&=&\omega^2(A^2-x^2),\\v&=&\omega\sqrt{A^2-x^2}.\end{array}$$

Ahora que conocemos la expresión de la velocidad del objeto que experimenta un movimiento armónico simple, podemos determinar la ecuación de la energía cinética de los osciladores armónicos simples:

$$\begin{array}{rcl}K&=&\frac12mv^2,\\K&=&\frac12m\omega^2(A^2-x^2).\end{array}$$

Como podemos ver en la ecuación anterior, hay muchos parámetros en un sistema que emprende un movimiento armónico simple que pueden afectar a la energía cinética. La energía cinética está relacionada con la masa del objeto oscilante, su frecuencia angular, su amplitud y su posición respecto al punto de equilibrio en cualquier momento del tiempo. La forma más fácil de demostrarlo experimentalmente es montando un sistema masa-muelle.

Otra forma de expresar la energía cinética de un oscilador es utilizando la definición de la posición de un objeto en un sistema de movimiento armónico simple,

$$x=A\cos\ izquierda(\omega t+\phi\ derecha).$$

Sustituimos la ecuación anterior en nuestra expresión para la energía cinética,

$$\begin{array}{rcl}K&=&\frac12m\omega^2\left(A^2-A^2\cos^2\left(\omega t+\phi\right)\right),\k&=&\frac12m\omega^2A^2\left(1-\cos^2\left(\omega t+\phi\right)\right).\end{array}$$

Donde utilizamos la identidad trigonométrica \ (\cos^2\left(\theta\right)+\sin^2\left(\theta\right)=1\). Así pues, ahora tenemos una expresión para la energía cinética que consiste en una función seno elevada al cuadrado. Observa que el cuadrado de la función seno significa que la energía cinética siempre tomará valores positivos, como esperábamos, aunque la propia función seno tenga valor negativo. La energía cinética de un sistema que experimenta un movimiento armónico simple viene dada por,

$$K=\frac12m\omega^2A^2\sin^2\left(\omega t+\phi\right).$$