¿Has visto alguna vez a alguien hacer puenting? Saltan desde un puente sobre un río, sujetos a una cuerda elástica que les hace oscilar hacia arriba y hacia abajo cuando casi alcanzan la superficie del río. En este caso, la fuerza que provoca las oscilaciones es la fuerza del muelle causada por la tensión de la cuerda elástica flexible. Cuando la persona empieza a oscilar hacia delante y hacia atrás, actuando como un péndulo, la fuerza que genera las oscilaciones es la gravedad. En este artículo hablaremos de las fuerzas restauradoras, de algunos ejemplos y de su importancia, ya que son un requisito previo para el movimiento armónico simple.
En física, se dice que un objeto está en equilibrio si no hay ninguna fuerza neta que actúe sobre él. Esto puede ocurrir cuando la magnitud y dirección de las fuerzas que actúan sobre el objeto están perfectamente equilibradas o simplemente porque no hay fuerzas que actúen sobre el objeto. No todas las fuerzas intentan devolver el objeto al equilibrio, pero las fuerzas que lo hacen se denominan fuerzas restauradoras.
Una fuerza restauradora es una fuerza que actúa contra el desplazamiento para intentar devolver el equilibrio al sistema.
La fuerza restauradora es una función que depende de la posición de un objeto o sistema. Este tipo de fuerza es la responsable de generar oscilaciones y es necesaria para que un objeto esté en movimiento armónico simple. La fuerza restauradora es la que provoca el cambio de aceleración de un objeto en movimiento armónico simple. Un desplazamiento desde la posición de equilibrio hace que el sistema almacene energía potencial.
La ecuación diferencial de segundo orden que describe el movimiento armónico simple en una dimensión surge de la Segunda Ley de Newton, de modo que , la aceleración del objeto, y la fuerza restauradora que actúa sobre el objeto que experimenta el movimiento armónico simple estarán relacionadas con , la frecuencia angular, y la posición del objeto oscilante de la siguiente manera:
Ejemplos: Muelles y péndulos
Cuando agarras un objeto sujeto a un muelle, tiras de él una distancia desde su posición de equilibrio, y lo sueltas, la fuerza restauradora tirará del objeto de vuelta al equilibrio. Para un sistema muelle-masa en una mesa horizontal, laúnica fuerza que actúa sobre la masa en la dirección del desplazamiento es la fuerza restauradora ejercida por el muelle.
Utilizandola Segunda Ley de Newtonpodemos establecer una ecuación para el movimiento del objeto. Es importante señalar que en este artículo no utilizaremos la forma vectorial de la segunda ley, ya que en este caso sólo estudiamos la magnitud de la fuerza restauradora en una dimensión. La dirección de la fuerza restauradora siempre será antiparalela al desplazamiento del objeto. Esto puede demostrarse experimentalmente y es una característica deLey de Hooke. La fuerza restauradora que actúa sobre el sistema muelle-masa depende de la constante del muelle y del desplazamiento del objeto desde la posición de equilibrio.
La expresión de la fuerza es
Sustituyendo la fuerza del muelle por y la por la segunda derivada respecto al tiempo obtenemos
Reordenando para la segunda derivada se obtiene la ecuación
donde es la masa del objeto en el extremo del muelle en kilogramos , es la aceleración del objeto en el en metros por segundo al cuadrado , es la constante del muelle que mide la rigidez del muelle en newtons por metro , y es el desplazamiento en metros .
La expresión anterior se parece mucho a la ecuación diferencial del movimiento armónico simple, por lo que el sistema muelle-masa es un oscilador armónico, en el que su frecuencia angular puede expresarse en la siguiente ecuación
o explícitamente como
Un muelle de \(12;\mathrm{cm}) tiene una constante de muelle de \(400;{\textstyle\frac{\mathrm N}{\mathrm m}}). ¿Cuánta fuerza se necesita para estirar el muelle hasta una longitud de \(14\ ;\mathrm{cm})?
El desplazamiento tiene una magnitud de
La fuerza del muelle tiene una magnitud de
El segundo ejemplo que vamos a tratar es el caso de un péndulo simple. Un péndulo simple consiste en una masa que oscila alrededor de una posición de equilibrio mientrascuelga de una varilla. La fuerza restauradora la ejerce la gravedad.
Como podemos ver en la imagen anterior, la fuerza restauradoraes la componente de la fuerza de la gravedad que es antiparalela al desplazamiento del péndulo. Esta ecuación se obtiene utilizando relaciones trigonométricas y la geometría del sistema.
Donde es la masa del péndulo en kilogramos, , es la aceleración debida a la gravedad en metros por segundo al cuadrado, , y es el ángulo entre la posición de equilibrio y la posición de desplazamiento en grados o radianes, .
Para que un objeto se considere un oscilador armónico, la fuerza restauradora debe ser proporcional al desplazamiento. En este caso, es proporcional a la fuerza de gravedad y al seno del ángulo de desplazamiento \(\theta\). Sin embargo, hay algunos casos en los que se considera que el movimiento de un péndulo simple se mueve en movimiento armónico simple.Cuando el ángulo de desplazamiento es muy pequeño, el seno del ángulo de desplazamiento puede aproximarse al propio ángulo,tal que \(\sin\izquierda(\theta\derecha)\aprox\theta\). En este caso, la fuerza restauradora es proporcional al desplazamiento.
Ahora podemos examinar la ecuación diferencial utilizada para describir el movimiento de un péndulo simple para un ángulo de desplazamiento pequeño. En primer lugar,debemos introducir el concepto de longitud de arco para resolver la ecuación diferencial.
La longitud de arco es la distancia entre dos puntos de una curva.
De nuevo, comenzamos el planteamiento con la Segunda Ley de Newton, que viene dada por
Sustituyendo la fuerza restauradora y la segunda derivada del desplazamiento respecto al tiempo obtenemos
donde
\d^2s}{dt^2}=-g-theta,\} y donde
La longitud del péndulo es constante, por lo que sólo cambiará con el tiempo el ángulo de desplazamiento. La ecuación se convierte entonces en
La expresión anterior se parece mucho a la ecuación diferencial del movimiento armónico simple, por lo que el péndulo simple con un ángulo de desplazamiento pequeño es un oscilador armónico, en el que su frecuencia angular se expresa como
o explícitamente como
Fuerzas restauradoras - Puntos clave
Una fuerza restauradoraes una fuerza que actúa contra el desplazamiento para intentar devolver el equilibrio al sistema.
Ladirección de la fuerza restauradora siempre seráantiparalelaal desplazamiento del objeto.
Para un sistema muelle-masa en una mesa horizontal, laúnica fuerza que actúa sobre la masa en la dirección del desplazamiento es la fuerza restauradora ejercida por el muelle, .
Para que un objeto se considere un oscilador armónico, la fuerza restauradora debe ser proporcional al desplazamiento.
Para un péndulo simple, la fuerza restauradora es la componente de la fuerza de gravedad que es antiparalela al desplazamiento del péndulo. El péndulo simple es un oscilador armónico sólo para ángulos de desplazamiento pequeños, .
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Lily Hulatt
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Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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