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La atracción del péndulo aplica un movimiento armónico de ida y vuelta. Cuando está en el nivel más alto, se detiene durante algún tiempo y luego empieza a moverse hacia abajo aumentando la velocidad. Después, vuelve a alcanzar su nivel máximo, se detiene de nuevo y empieza a moverse más rápido otra vez, repitiendo el ciclo. ¿A qué se debe? Este artículo responderá a esa pregunta explicando cómo utilizar el Gráfico Energía-Tiempo. A lo largo de los próximos párrafos, exploraremos la definición de una Gráfica Energía-Tiempo, compararemos una Gráfica Desplazamiento-Tiempo con una Gráfica Energía Potencial y Cinética-Tiempo, y haremos algunos cálculos y ejemplos.
Definición del Gráfico Energía-Tiempo
Empezaremos con una definición.
Un Gráfico Energía-Tiempo es un modelo utilizado para mostrar cómo cambia la energía de un objeto a lo largo del tiempo.
Supongamos que tenemos un bloque \(A\) unido a un muelle. ¿Qué ocurre si lo comprimimos hasta la posición \(+x\) y luego lo soltamos? Cuando comprimimos el bloque hasta la posición \(+x\), ganará energía potencial elástica. Cuando el bloque vuelve al equilibrio, convierte su energía potencial en energía cinética. Lo mismo ocurrirá cuando se estire hasta la posición \(-x\); convertirá su energía cinética en energía potencial elástica. Al volver al estado original, la energía potencial se convierte de nuevo en energía cinética. La energía mecánica se conserva si el bloque está en un sistema cerrado, lo que significa que no hay disipación ni adición de energía. Por eso las energías cinética y potencial se convertirán sin parar, pero su valor total combinado será constante.
Gráficos de energía y tiempo de desplazamiento
Ahora, vamos a hacer un ejemplo de Movimiento Armónico Simple (MHS). A continuación se muestran dos gráficas que describen lo que le ocurre al bloque \(A\) (de la imagen anterior) mientras oscila hacia delante y hacia atrás.
Gráfica del tiempo de desplazamiento
Este gráfico muestra la posición del bloque \(A\) en función del tiempo.
El movimiento traza una curva sinusoidal. Observa que tiene una amplitud de \(x\\) y un período de \(4\,\mathrm{s}\). Recuerda que la amplitud es la altura de la curva desde \(0\\) y el período es la cantidad de tiempo que tarda la curva en ir de un pico a otro pico.
Gráfica de energía cinética y potencial frente al tiempo
Este gráfico es el Gráfico Energía-Tiempo del bloque \(A\).
Con estos dos gráficos, podemos entender cómo se mueve el bloque y cómo transfiere su energía. Vayamos paso a paso.
- Después de comprimir el bloque hasta la posición \(+x\) y soltarlo, primero pasa del punto de equilibrio, como indica la gráfica de posición-tiempo entre \(0-1\,\mathrm{seg}\). Aquí pierde toda su energía potencial y la convierte en energía cinética.
- Al volver a la posición \(-x\) entre \(1-2\mathrm{seg}\), convierte su energía cinética en energía potencial al estirarse el muelle.
- En \(t=2s\), el sentido de la marcha se invierte y el bloque es acelerado de nuevo hacia el punto de equilibrio.
- Pasa de la posición de equilibrio convirtiendo su energía potencial en cinética entre los \(2-3\,\mathrm{seg}\).
- Y una vez más, convierte su energía cinética en energía potencial entre \(4-5,\mathrm{seg}).
Este ciclo continúa eternamente, ya que en SHM se ignora el efecto de la fricción y la energía mecánica se conserva.
Cuando el objeto está en la posición de equilibrio, toda su energía es energía cinética; cuando está en los desplazamientos máximos, toda es energía potencial.
La fórmula de la energía del oscilador
Durante la oscilación, mientras que la energía mecánica es constante, las energías cinética y potencial pueden variar con el tiempo. Por ejemplo, la variación de la energía potencial de un oscilador lineal depende de lo comprimido o estirado que esté el muelle, que es \(x(t)\mathrm{.}\)
A partir de los principios del movimiento armónico simple, podemos expresar el desplazamiento en cualquier punto del tiempo como \(x(t)=x_\text{m} \cos{(\omega t + \phi )}\), donde \(x(t)\) es la función del desplazamiento con respecto al tiempo, \(x_\text{m} \) es el desplazamiento máximo, \(\omega \) es la velocidad angular, \(t) es el tiempo, y \(\phi \) es el desfase de la función coseno.
La energía potencial elástica se calcula como \(U=\frac{1}{2}\ kx^2 \), por lo que podemos insertar \(x(t)\) en la fórmula de la energía potencial de este modo:
$$U(t)=\frac{1}{2}\ kx^2 = \frac{1}{2}\k(x_\text{m} \cos{(\omega t + \phi )})^2$$
$$U(t) = \frac{1}{2}\k x_\text{m} ^2 \cos^2{(\omega t + \phi)}\mathrm{.}$$
Por otro lado, la variación de la energía cinética depende de la velocidad del bloque. Sabemos que la energía cinética puede hallarse a partir de \(K=\frac{1}{2}\ mv^2 \). Si \(x(t) = x_\text{m} \cos{(\omega t + \phi )}), podemos deducir la velocidad como \(V(t) = - \omega x_\text{m} \seno{(\omega t + \phi )}).
Podemos insertar esto en la fórmula de la energía cinética,
$$K(t)=\frac{1}{2}\ m(v(t))^2 = \frac{1}{2}\ m(-\omega x_\text{m} \sin{(\omega t + \phi )})^2$$
$$K(t) = \frac{1}{2}\ m \omega ^2 x_\text{m} ^2 \sin^2{(\omega t +\phi )}\mathrm{,}$$
y como \(\omega ^2 = \frac{k}{m}), podemos transformar la fórmula de la energía cinética en
$$K(t) = \frac{1}{2}\ k x_\text{m} ^2 \sin^2{(\omega t + \phi )}\mathrm{.}$$
Durante la oscilación, la energía mecánica total \(E\) se conserva. Por tanto, la suma de la energía cinética y la energía potencial es igual a la energía mecánica:
$$E=U+K$$
$$E=\frac{1}{2}\ k x_\text{m} ^2 \cos^2{(\omega t + \phi )} + \frac{1}{2}\ k x_\text{m} ^2 \sin^2{(\omega t +\phi )}\mathrm{.}$$
Como \(\frac{1}{2}\ k x_\text{m} ^2 \) es la parte común de la ecuación, podemos reescribir la suma como
$$E=\frac{1}{2}\ k x_\text{m} ^2 (\cos^2{(\omega t + \phi )} + \sin^2{(\omega t + \phi )})\mathrm{.}$$
Es importante saber que \(\sin^2{a} + \cos^2{a} = 1\). Por tanto, la suma será igual a \(E=frac{1}{2}\k x_\text{m} ^2 \).
En SHM, ¡la energía mecánica total es independiente del tiempo! Sólo depende de la constante del muelle y de la amplitud.
Gráfico energía-tiempo del condensador
Hasta ahora, en realidad sólo hemos mostrado cómo los Gráficos Energía-Tiempo pueden ayudarnos a comprender los osciladores. Pero no es su única utilidad. Los Gráficos Energía-Tiempo también pueden ayudarnos a modelar la energía de los condensadores.
Aunque Física AP 2 se centra sobre todo en la electricidad y el magnetismo, sigue siendo útil saber que los Gráficos Energía-Tiempo tienen otros usos además de modelizar problemas de mecánica. Una Gráfica Energía-Tiempo para un condensador suele ser logarítmica o exponencial. A continuación se muestra un ejemplo de una posible Energía \(U\) frente al Tiempo \(t\) para un condensador mientras se carga.
A partir de esta gráfica, podemos ver que un condensador gana energía a un ritmo decreciente a medida que se acerca a su carga máxima.
Cálculo de la energía dada por la gráfica Energía-Tiempo
No hay ninguna aplicación real para el área bajo una Gráfica Energía-Tiempo, a menos que hablemos de física cuántica y cambios de fase. Supongo que el único conocimiento que tienes sobre física cuántica procede de Vengadores: Endgame (que está todo mal: ¡sorpresa!), así que no entraremos en esa madriguera de conejo.
Sin embargo, la pendiente de una Gráfica Energía-Tiempo nos dice algo útil. Pero, antes de entrar en ello, necesitamos un poco de información general.
La potencia es igual a la tasa de energía en el tiempo. Por tanto, la potencia nos da una cantidad de la fuerza de nuestros paquetes de energía. Un poco de energía durante mucho tiempo nos dará poca fuerza. Mientras que una gran cantidad de energía en poco tiempo nos dará una fuerza descomunal. Una ecuación relevante para este principio es
$$P=\frac{\Delta E}{\Delta t}\\\mathrm{.} $$
¡De este conocimiento deducimos que la pendiente de una gráfica Energía-Tiempo es igual a la potencia! Recuerda que la pendiente es la tasa de cambio de \(y\) sobre la tasa de cambio de \(x\). Puesto que la energía es la \(y\) y el tiempo es la \(x\), al introducirlos en la ecuación de la pendiente se obtiene
$$m=\frac{\Delta E}{\Delta t}\$$
donde \(m\) es la pendiente. Ésa es la ecuación exacta de la potencia. Para ilustrar este principio, repasaremos a continuación la gráfica Energía-Tiempo.
La Fig. 6 muestra que la pendiente de una Gráfica Energía-Tiempo es igual a la potencia. Para hallar la potencia de la función anterior de la energía con respecto al tiempo, sólo necesitamos hallar la pendiente:
$$\begin{align*} m&=\frac{\felta y}{\felta x} m&=\frac{100,\mathrm{J}-0,\mathrm{J}}{1,\mathrm{s}-0,\mathrm{s}} = 100,\mathrm{\frac{J}{s} \\ m&=\text{Power}=100\,\mathrm{\frac{J}{s}.} |final{align*}$$
Laenergía es igual al área bajo una Gráfica de Potencia vs. Tiempo porque la potencia es igual a la energía sobre el tiempo, por tanto, la energía es igual a la potencia por el tiempo:
$$\Delta E = P\Delta t.$$
Gráfica Energía Cinética vs. Tiempo y Movimiento Armónico Simple
Ahora, es el momento de algunos ejemplos.
Supongamos que el bloque del diagrama siguiente tiene una masa de \(m=2,00\,\mathrm{kg}\) y está diseñado para oscilar en el extremo de un muelle con una frecuencia \(f=20,0\,\mathrm{Hz}\) y una amplitud \(x_m = 50,0\,\mathrm{cm}\).
a) ¿Cuál es la energía mecánica total \(E\) del sistema muelle-bloque?
b) ¿Cuál es la velocidad del bloque al pasar por la posición de equilibrio?
Solución
a) La energía mecánica depende de la constante del muelle y de la amplitud, y puede visualizarse con el gráfico siguiente.
En el ejemplo, se dan la frecuencia y la masa del bloque para que podamos calcular la constante del muelle mediante \(\omega ^2 = \frac{k}{m}\\\). Además, \(\omega \) depende de la frecuencia y es igual a \(\omega = 2\pi f\). Por tanto, podemos calcular
$$(2\pi f)^2 =\frac{k}{m}\\$$
$$4\pi ^2 f^2 = \frac{k}{2}\\$$
para darnos una respuesta de
$$k=8\pi ^2(20,0\,\mathrm{Hz})^2=3,16 \times 10^4 \,\mathrm{\frac{N}{m}\}mathrm{.}$$
Ahora que hemos hallado la constante del muelle \(k\), podemos calcular la energía mecánica (¡sin olvidar convertir la amplitud en unidades de metros!):
$$E=\frac{1}{2}\\ k x_m ^2 $$
$$E=\frac{1}{2}\\(3.16\times 10^4 \,\mathrm{\frac{N}{m}\\})(0.500\,\mathrm{m})^2$$
$$E=3,95 veces 10^3 \,\mathrm{J}\mathrm{.}$$
b) Cuando el bloque pasa por la posición de equilibrio, su energía potencial se convierte en energía cinética. Por tanto, la energía mecánica será igual a la energía cinética:
$$\frac{1}{2}\k x_m ^2 = \frac{1}{2}\ mv^2\mathrm{.}$$
A partir de esa ecuación, podemos hallar la velocidad.:
$$3.95\times 10^3 \,\mathrm{J}=\frac{1}{2}\\(2.00\,\mathrm{kg})v^2$$
$$3,95 veces 10^3 μ,μmathrm{J}=v^2$$
$$$3,95 veces 10^3 μmathrm{J}}=$$3,95 veces 10^3 μmathrm{J}}=$$$qrt{v^2}$$
$$v=62.8\,\mathrm{\frac{m}{s}\\}\mathrm{.}$$
¡Fue todo un viaje en montaña rusa! Ha habido muchas idas y venidas, algunas subidas y bajadas, e incluso más paradas y caídas. Esperemos que a estas alturas no tengas náuseas de tanto frenesí físico y estés preparado para asimilar las claves esenciales de nuestro artículo sobre los Gráficos Energía-Tiempo.
Gráfico Energía-Tiempo - Puntos clave
Los sistemas con estructura interna tienen energía potencial. Un sistema puede tener energía potencial si los objetos que lo componen interactúan con fuerzas conservativas.
Si cambia la composición del sistema, puede cambiar la energía potencial. Un ejemplo de ello son los osciladores masa-resorte.
En un sistema cerrado, la energía mecánica es constante durante la oscilación.
La energía mecánica es independiente del tiempo.
La energía mecánica depende de la amplitud y de la constante del muelle.
Las energías cinética y potencial dependen del tiempo y se convierten entre sí durante la oscilación.
Las energías cinética y potencial de un sistema constituyen la energía interna del sistema.
Como la energía es constante en un sistema cerrado, los cambios en la energía potencial de un sistema pueden dar lugar a cambios en la energía cinética del sistema.
No existe una aplicación real para el área bajo una Gráfica Energía-Tiempo.
La potencia es la pendiente de una Gráfica Energía-Tiempo.
Podemos utilizar las Gráficas Energía-Tiempo para modelizar la energía de un condensador.
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