Gráfico de Energía y Tiempo

Definición del Gráfico Energía-Tiempo

Empezaremos con una definición.

Fig. 2 - Aquí hay un bloque \(A\) que está unido a un muelle. El bloque oscila entre desplazamientos de \(-x\) y \(+x\)

Supongamos que tenemos un bloque \(A\) unido a un muelle. ¿Qué ocurre si lo comprimimos hasta la posición \(+x\) y luego lo soltamos? Cuando comprimimos el bloque hasta la posición \(+x\), ganará energía potencial elástica. Cuando el bloque vuelve al equilibrio, convierte su energía potencial en energía cinética. Lo mismo ocurrirá cuando se estire hasta la posición \(-x\); convertirá su energía cinética en energía potencial elástica. Al volver al estado original, la energía potencial se convierte de nuevo en energía cinética. La energía mecánica se conserva si el bloque está en un sistema cerrado, lo que significa que no hay disipación ni adición de energía. Por eso las energías cinética y potencial se convertirán sin parar, pero su valor total combinado será constante.

Gráficos de energía y tiempo de desplazamiento

Ahora, vamos a hacer un ejemplo de Movimiento Armónico Simple (MHS). A continuación se muestran dos gráficas que describen lo que le ocurre al bloque \(A\) (de la imagen anterior) mientras oscila hacia delante y hacia atrás.

Gráfica del tiempo de desplazamiento

Este gráfico muestra la posición del bloque \(A\) en función del tiempo.

Fig. 3 - Ésta es una Gráfica Posición-Tiempo que muestra el cambio de posición del bloque \(A\) en el tiempo. La gráfica parte de la posición \(+x\) porque el bloque se estira y se suelta. El bloque seguirá oscilando entre \(+x\) y \(-x\)

El movimiento traza una curva sinusoidal. Observa que tiene una amplitud de \(x\\) y un período de \(4\,\mathrm{s}\). Recuerda que la amplitud es la altura de la curva desde \(0\\) y el período es la cantidad de tiempo que tarda la curva en ir de un pico a otro pico.

Gráfica de energía cinética y potencial frente al tiempo

Este gráfico es el Gráfico Energía-Tiempo del bloque \(A\).

Fig. 4 - Este es el gráfico Energía-Tiempo del bloque \(A\). Mientras que la curva verde muestra la energía potencial elástica, la curva roja muestra la energía cinética

Con estos dos gráficos, podemos entender cómo se mueve el bloque y cómo transfiere su energía. Vayamos paso a paso.

1. Después de comprimir el bloque hasta la posición \(+x\) y soltarlo, primero pasa del punto de equilibrio, como indica la gráfica de posición-tiempo entre \(0-1\,\mathrm{seg}\). Aquí pierde toda su energía potencial y la convierte en energía cinética.
2. Al volver a la posición \(-x\) entre \(1-2\mathrm{seg}\), convierte su energía cinética en energía potencial al estirarse el muelle.
3. En \(t=2s\), el sentido de la marcha se invierte y el bloque es acelerado de nuevo hacia el punto de equilibrio.
4. Pasa de la posición de equilibrio convirtiendo su energía potencial en cinética entre los \(2-3\,\mathrm{seg}\).
5. Y una vez más, convierte su energía cinética en energía potencial entre \(4-5,\mathrm{seg}).

Este ciclo continúa eternamente, ya que en SHM se ignora el efecto de la fricción y la energía mecánica se conserva.

La fórmula de la energía del oscilador

Durante la oscilación, mientras que la energía mecánica es constante, las energías cinética y potencial pueden variar con el tiempo. Por ejemplo, la variación de la energía potencial de un oscilador lineal depende de lo comprimido o estirado que esté el muelle, que es \(x(t)\mathrm{.}\)

A partir de los principios del movimiento armónico simple, podemos expresar el desplazamiento en cualquier punto del tiempo como \(x(t)=x_\text{m} \cos{(\omega t + \phi )}\), donde \(x(t)\) es la función del desplazamiento con respecto al tiempo, \(x_\text{m} \) es el desplazamiento máximo, \(\omega \) es la velocidad angular, \(t) es el tiempo, y \(\phi \) es el desfase de la función coseno.

La energía potencial elástica se calcula como \(U=\frac{1}{2}\ kx^2 \), por lo que podemos insertar \(x(t)\) en la fórmula de la energía potencial de este modo:

$$U(t)=\frac{1}{2}\ kx^2 = \frac{1}{2}\k(x_\text{m} \cos{(\omega t + \phi )})^2$$

$$U(t) = \frac{1}{2}\k x_\text{m} ^2 \cos^2{(\omega t + \phi)}\mathrm{.}$$

Por otro lado, la variación de la energía cinética depende de la velocidad del bloque. Sabemos que la energía cinética puede hallarse a partir de \(K=\frac{1}{2}\ mv^2 \). Si \(x(t) = x_\text{m} \cos{(\omega t + \phi )}), podemos deducir la velocidad como \(V(t) = - \omega x_\text{m} \seno{(\omega t + \phi )}).

Podemos insertar esto en la fórmula de la energía cinética,

$$K(t)=\frac{1}{2}\ m(v(t))^2 = \frac{1}{2}\ m(-\omega x_\text{m} \sin{(\omega t + \phi )})^2$$

$$K(t) = \frac{1}{2}\ m \omega ^2 x_\text{m} ^2 \sin^2{(\omega t +\phi )}\mathrm{,}$$

y como \(\omega ^2 = \frac{k}{m}), podemos transformar la fórmula de la energía cinética en

$$K(t) = \frac{1}{2}\ k x_\text{m} ^2 \sin^2{(\omega t + \phi )}\mathrm{.}$$

Durante la oscilación, la energía mecánica total \(E\) se conserva. Por tanto, la suma de la energía cinética y la energía potencial es igual a la energía mecánica:

$$E=U+K$$

$$E=\frac{1}{2}\ k x_\text{m} ^2 \cos^2{(\omega t + \phi )} + \frac{1}{2}\ k x_\text{m} ^2 \sin^2{(\omega t +\phi )}\mathrm{.}$$

Como \(\frac{1}{2}\ k x_\text{m} ^2 \) es la parte común de la ecuación, podemos reescribir la suma como

$$E=\frac{1}{2}\ k x_\text{m} ^2 (\cos^2{(\omega t + \phi )} + \sin^2{(\omega t + \phi )})\mathrm{.}$$

Es importante saber que \(\sin^2{a} + \cos^2{a} = 1\). Por tanto, la suma será igual a \(E=frac{1}{2}\k x_\text{m} ^2 \).

Gráfico energía-tiempo del condensador

Hasta ahora, en realidad sólo hemos mostrado cómo los Gráficos Energía-Tiempo pueden ayudarnos a comprender los osciladores. Pero no es su única utilidad. Los Gráficos Energía-Tiempo también pueden ayudarnos a modelar la energía de los condensadores.

Cálculo de la energía dada por la gráfica Energía-Tiempo

No hay ninguna aplicación real para el área bajo una Gráfica Energía-Tiempo, a menos que hablemos de física cuántica y cambios de fase. Supongo que el único conocimiento que tienes sobre física cuántica procede de Vengadores: Endgame (que está todo mal: ¡sorpresa!), así que no entraremos en esa madriguera de conejo.

Sin embargo, la pendiente de una Gráfica Energía-Tiempo nos dice algo útil. Pero, antes de entrar en ello, necesitamos un poco de información general.

La potencia es igual a la tasa de energía en el tiempo. Por tanto, la potencia nos da una cantidad de la fuerza de nuestros paquetes de energía. Un poco de energía durante mucho tiempo nos dará poca fuerza. Mientras que una gran cantidad de energía en poco tiempo nos dará una fuerza descomunal. Una ecuación relevante para este principio es

$$P=\frac{\Delta E}{\Delta t}\\\mathrm{.} $$

¡De este conocimiento deducimos que la pendiente de una gráfica Energía-Tiempo es igual a la potencia! Recuerda que la pendiente es la tasa de cambio de \(y\) sobre la tasa de cambio de \(x\). Puesto que la energía es la \(y\) y el tiempo es la \(x\), al introducirlos en la ecuación de la pendiente se obtiene

$$m=\frac{\Delta E}{\Delta t}\$$

donde \(m\) es la pendiente. Ésa es la ecuación exacta de la potencia. Para ilustrar este principio, repasaremos a continuación la gráfica Energía-Tiempo.

Fig. 6 - La pendiente de una Curva Energía-Tiempo es la potencia

La Fig. 6 muestra que la pendiente de una Gráfica Energía-Tiempo es igual a la potencia. Para hallar la potencia de la función anterior de la energía con respecto al tiempo, sólo necesitamos hallar la pendiente:

$$\begin{align*} m&=\frac{\felta y}{\felta x} m&=\frac{100,\mathrm{J}-0,\mathrm{J}}{1,\mathrm{s}-0,\mathrm{s}} = 100,\mathrm{\frac{J}{s} \\ m&=\text{Power}=100\,\mathrm{\frac{J}{s}.} |final{align*}$$

Gráfica Energía Cinética vs. Tiempo y Movimiento Armónico Simple

Ahora, es el momento de algunos ejemplos.

¡Fue todo un viaje en montaña rusa! Ha habido muchas idas y venidas, algunas subidas y bajadas, e incluso más paradas y caídas. Esperemos que a estas alturas no tengas náuseas de tanto frenesí físico y estés preparado para asimilar las claves esenciales de nuestro artículo sobre los Gráficos Energía-Tiempo.