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Fig. 1: Demostración de la ley de Hooke utilizando un bolígrafo.
Definición de la Ley de Hooke
La ley de Hooke describe la relación lineal entre fuerza y desplazamiento. El ejemplo paradigmático de la ley de Hooke es el de una masa unida a un muelle ideal. Intuitivamente, esperarías que si tiras de la masa desde su posición de reposo y la sueltas, el muelle tirará de la masa hasta su posición de reposo original. Alternativamente, al empujar la masa se comprimirá el muelle que, al soltarse, empujará la masa de nuevo a su posición de reposo original.
Un aspecto clave de la ley de Hooke es que supone que el muelle considerado es ideal.
Un muelle ideal tiene una masa despreciable y ejerce una fuerza proporcional al cambio de su longitud, medida a partir de su longitud relajada.
Con este concepto en mente, llegamos al enunciado de la ley de Hooke como sigue:
Laley de Hooke establece que la fuerza necesaria para extender o comprimir un muelle ideal una cierta distancia es proporcional a dicha distancia.
Otro nombre para la ley de Hooke es ley de elasticidad de Hooke. La elasticidad es la capacidad de un objeto para estirarse o comprimirse.
Fórmula de la ley de Hooke
La fórmula matemática de la ley de Hooke es
$$F= -kx$$
donde \(F\) es la fuerza aplicada medida en newtons \(\mathrm{N}\), \(k\) es la constante del muelle medida en \(\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{}}), y \(x\) es el desplazamiento medido en metros \(\mathrm{}\}). El signo negativo indica que la fuerza restauradora, la fuerza que actúa sobre el objeto para devolverlo a su posición de equilibrio, está en la dirección opuesta al desplazamiento. Sin embargo, hay que tener en cuenta que esta fórmula sólo se aplica a los muelles ideales.
La constante elástica se refiere a la rigidez del muelle y variará en función del muelle. Una constante elástica mayor requiere una fuerza mayor para estirar el muelle una determinada distancia.
Gráfico de la Ley de Hooke
Al examinar los muelles, aplicamos la ley de Hooke. Para muchos muelles, el estiramiento o la compresión del muelle es proporcional a la fuerza aplicada y una gráfica de la fuerza aplicada a un muelle frente al desplazamiento del muelle muestra una región que es lineal. Ésta es la región en la que se cumple la suposición de que el muelle es ideal y, por tanto, se aplica la ley de Hooke. Sin embargo, si aplicamos al muelle una fuerza superior a este régimen, alcanzará el límite de proporcionalidad. Esto significa que el muelle se deforma permanentemente, ya que no puede volver a su forma normal, y acaba rompiéndose.
Fig. 2: Gráfico que representa la ley de Hooke.
Más allá del límite de proporcionalidad, la relación entre la fuerza aplicada a la masa y su desplazamiento respecto a su posición original deja de ser lineal y pasa a ser no lineal .
Experimento sobre la ley de Hooke
Podemos realizar un experimento parainvestigar y demostrar la validez de la ley de Hooke, consistente en un muelle que cuelga verticalmente, diferentes masas y una vara de medir. Para ello, primero debemos calcular el peso de la masa
\[W=mg \]
para determinar la fuerza que ejerce sobre el muelle. A continuación, calculamos el desplazamiento del muelle midiendo la posición del muelle antes y después de sujetarle la masa. La diferencia de posición del muelle es su desplazamiento. Para mantener organizada esta información, debemos construir una tabla como la siguiente.
| Masa (kg) | Fuerza (N) | Posición inicial (m) | Posición final (m) | Desplazamiento (m) |
Ten en cuenta que, como suponemos que el muelle es ideal, no incluimos su masa en la tabla de medidas. Utilizando diferentes masas para el peso unido al muelle, debemos repetir este proceso hasta que hayamos reunido suficientes puntos de datos. Una vez que hayamos terminado, podemos utilizar la información para construir una gráfica de fuerza frente a desplazamiento para comprobar si la ley de Hooke es correcta. Si la gráfica representa una línea recta de pendiente constante, indica que existe una relación lineal entre la fuerza y el desplazamiento.
Importancia de la ley de Hooke
La ley de Hooke es importante porque describe la relación lineal entre fuerza y desplazamiento. En consecuencia, ha desempeñado un papel en muchos aspectos diferentes, desde la invención de dispositivos modernos hasta la creación de nuevas disciplinas científicas. Algunos inventos comunes son los bolígrafos/lápices retráctiles y las balanzas de resorte que se ven en las tiendas de comestibles. Observa que la balanza de resorte mide la compresión o expansión del resorte y la traduce en peso. El desarrollo de la sismología, el estudio de los terremotos, fue resultado de la ley de Hooke. Los ingenieros incluso se basan en la ley de Hooke para calcular la tensión o el esfuerzo de puentes y rascacielos.
La ley de Hooke debe su nombre al físico experimental inglés Robert Hooke, que descubrió la relación entre fuerza y desplazamiento. Sin embargo, ¿sabías que además de este descubrimiento también contribuyó a otras disciplinas científicas como la biología y la astronomía? Su contribución a la biología se produjo cuando descubrió y acuñó el concepto de "células" a través de sus observaciones de la materia vegetal viva. En el campo de la astronomía, se le acredita como uno de los primeros científicos en construir un telescopio gregoriano operativo.
Ejemplos de la Ley de Hooke
Para resolver problemas relacionados con la ley de Hooke, se puede aplicar la ecuación
\[ F= -kx \]
a distintas situaciones. Ya que hemos definido la ley de Hooke y discutido la relación lineal entre fuerza y desplazamiento, vamos a trabajar con algunos ejemplos para avanzar en nuestra comprensión. Ten en cuenta que, antes de resolver un problema, debemos recordar siempre estos sencillos pasos:
- Lee el problema e identifica todas las variables que aparecen en él.
- Determina qué pide el problema y qué fórmulas se necesitan.
- Haz un dibujo si es necesario para tener una ayuda visual.
- Aplica las fórmulas necesarias y resuelve el problema.
Ejemplo 1
Apliquemos la ley de Hooke para calcular la constante del muelle de un sistema.
Un muelle es estirado \( 0,83\mathrm{m} \) por una masa \( 1,5\mathrm{kg} \). Calcula la constante del muelle del sistema. Observa que la masa que extiende el muelle está en equilibrio entre la gravedad y la tensión, y que la fuerza de tensión que contrarresta la atracción de la gravedad es suministrada por el muelle.
Fig. 3: Utilización de una masa de muelle ideal para calcular la constante del muelle. StudySmarter Original
Después de leer el problema, nos dan la masa y el desplazamiento.
Por tanto, antes de aplicar la ley de Hooke para determinar la constante del muelle, debemos calcular primero la fuerza de la siguiente manera:
$$\begin{align}F &= mg\\ F &= \left(1,5,\mathrm{kg}\right)\left(9,8,\mathrm{\frac{m}{s}^2}}\right)\\\ F&= 14,7,\mathrm{N}.\\\final{align}$$
Utilizando ahora la ley de Hooke, nuestros cálculos procederán como sigue:
$$\begin{align}F&= -kx\ 14,7,{\mathrm{N} &= -k \left(0,83,{\mathrm{N}\right)\frac{14,7,{\mathrm{N}}{ 0,83,{\mathrm{N}}.83,{\mathrm{m}} &= -k\-k & = 17,7,{\mathrm{\tfrac{N}}}\k & = -17,7,{\mathrm{\tfrac{N}}}.end{align}$$
La constante de resorte del sistema es \( k = -17,7\,\mathrm{{frac{N}{m}}. \)
Ejemplo 2
Apliquemos la ley de Hooke para determinar el desplazamiento de un sistema.
Se aplica una fuerza de \( 12\,\mathrm{N} \) a un muelle, con una constante de muelle de \( 23\,\mathrm{\frac{N}{m}}. \) ¿Cuál es el desplazamiento del muelle?
Fig. 4: Uso de un muelle ideal para calcular el desplazamiento. StudySmarter Original
Después de leer el problema, nos dan la fuerza y la constante del muelle.
Por tanto, aplicando la ley de Hooke para determinar el desplazamiento, nuestros cálculos son los siguientes:
$$\begin{align}F&= -kx\ 12,\mathrm{N} & = -23,\mathrm{{\tfrac{N}{m}} \frac{12,\mathrm{N}}{ -23,\mathrm{\frac{N}{m}} &= x\x & = -0,52,\mathrm{m}.\\\\\end{align}$$.
El desplazamiento del muelle es \( x =-0,52,\mathrm{m}. \)
Ley de Hooke - Puntos clave
- La ley de Hooke es un principio de la física que establece que la fuerza necesaria para extender o comprimir un muelle ideal una cierta distancia es proporcional a esa distancia.
- La fórmula matemática de la ley de Hooke es \( F= -kx. \)
- El gráfico de la ley de Hooke muestra que la relación lineal entre fuerza y desplazamiento sólo se aplica hasta que el muelle alcanza el límite de proporcionalidad.
- Los experimentos demuestran y prueban la relación lineal entre fuerza y desplazamiento, es decir, la ley de Hooke.
- Desde la invención de los dispositivos modernos hasta la creación de disciplinas científicas y la ayuda a los ingenieros en la construcción de sistemas complejos, la ley de Hooke desempeña un papel importante.
Referencias
- Figura 1: Demostración de la ley de Hooke utilizando un bolígrafo. (https://pixabay.com/photos/arm-hand-write-planner-planning-1284248/) de Pixabay. Licencia CC0 1.0 Universal.
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