- Definición de péndulo
- Partes de un péndulo
- Tipos de péndulos
- Péndulos Físicos
- Péndulos Simples
- Péndulos de torsión
- Fórmulas de los péndulos
- Péndulos físicos
- Péndulos simples
- Péndulos de torsión
- Período de los péndulos
- Energía mecánica en los péndulos
Definición de péndulo
La palabra "péndulo" procede del latín pendulus, que significa "colgando" o "suspendido".
Un péndulo es una masa suspendida de un pivote para que pueda oscilar libremente hacia delante y hacia atrás.
En este artículo, supondremos que ninguno de los péndulos tiene rozamiento.
Partes de un péndulo
Probablemente puedas adivinar qué partes componen un péndulo con sólo mirar la definición, pero repasémoslas rápidamente. Necesitamos una masa y un punto de fijación alrededor del cual la masa pueda pivotar o girar. Dependiendo del tipo de péndulo, puede que también necesitemos una cuerda para unir la varilla al punto de fijación. Básicamente, un péndulo se parece a la imagen siguiente.
Fig. 1 - Un péndulo general con una varilla (azul), una cuerda (verde) y un punto de giro (C).
Tipos de péndulos
Hay varios tipos de péndulos, pero nos centraremos en tres tipos principales: péndulos físicos, péndulos simples y péndulos de torsión.
Péndulos físicos
Un péndulo físico es el único tipo de péndulo que no necesita necesariamente una cuerda. Es un péndulo que consiste en un objeto rígido que cuelga de un punto de giro, como se ilustra a continuación.
Las magnitudes que describen este péndulo son el momento de inercia \(I\) de la varilla (con unidades \(\mathrm{kg\,m^2})), la distancia \(d\) del pivote al centro de masa de la varilla (con unidades \(\mathrm{m})), y la masa total \(m\) de la varilla (con unidades \(\mathrm{kg})).
Si cuelgas una pinza de tender la ropa en un tendedero, ¡estás creando un péndulo físico! El punto de giro está donde la pinza toca el tendedero, la pinza es completamente rígida y puede oscilar libremente hacia delante y hacia atrás, por lo que se trata de un péndulo físico.
Péndulos simples
Un péndulo simple es un péndulo que consiste en una masa puntual que cuelga de una cuerda unida a un punto de giro. Observa la siguiente ilustración.
Fig. 3 - Péndulo simple con una varilla (azul) que es una masa puntual de masa \(m\), una cuerda (verde) y un punto de giro (C).
Las magnitudes que describen este péndulo son la longitud \(l\) de la cuerda y la masa \(m\) de la varilla. La cuerda tiene una masa despreciable comparada con la masa de la varilla, por lo que puede ignorarse.
Un ejemplo de péndulo cercano a un péndulo simple es el péndulo de Foucault. Se trata de un gran péndulo que se encuentra en muchos museos de ciencia y que muestra la rotación de la Tierra alrededor de su eje. Su funcionamiento exacto queda fuera del alcance de este artículo, ¡pero sin duda es interesante leer sobre él!
Péndulos de torsión
Un péndulo de torsión es un péndulo que no oscila hacia delante y hacia atrás, sino que gira hacia delante y hacia atrás. Consiste en un cuerpo rígido que cuelga de una cuerda sujeta a un punto de giro, como se ilustra a continuación. Cuando la varilla gira en un sentido, la torsión de la cuerda ejerce un par que empuja a la varilla hacia la posición de equilibrio. Las magnitudes que describen este tipo de péndulo son el momento de inercia \(I\) de la varilla y la constante de torsión \(c\) de la cuerda.
La constante de torsión de una cuerda es la constante de proporcionalidad entre la cantidad de par que ejerce la cuerda y lo retorcida que está: en cierto sentido, describe la rigidez de la cuerda.
La constante de torsión describe la cantidad de torsión por radián, por lo que sus unidades son \(\mathrm{N\,m}\).
El balanceo de un neumático es un buen ejemplo de péndulo de torsión: cuando giras el neumático, la torsión de la cuerda hace que el neumático empiece a girar hacia atrás cuando lo sueltas, y entonces el neumático "sobrepasará" su posición de equilibrio y girará aún más hacia el otro lado, y así sucesivamente hasta que toda la energía del sistema se haya disipado y el neumático vuelva a su posición de reposo.
Fórmulas pendulares
Por supuesto, como físicos, queremos observar el comportamiento de estos péndulos de forma cuantitativa, por lo que buscamos algunas fórmulas que describan su movimiento. Todas estas fórmulas se derivarán en los respectivos artículos especializados de StudySmarter sobre estos temas, pero aquí se darán simplemente a modo de resumen. Todos los péndulos se describen mediante ecuaciones diferenciales, y estas ecuaciones diferenciales describen todo lo que es físicamente interesante (es decir, el período, la frecuencia angular y la amplitud) en relación con el péndulo, como verás en los ejemplos siguientes.
Péndulos físicos
Para ángulos de oscilación pequeños \(\theta<10^\circ\), la ecuación diferencial que rige el movimiento de un péndulo físico viene dada por
\[\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}=-\frac{mgd}{I}x,\]
donde \(x\) es la distancia desde el centro de masa de la bob hasta su posición de equilibrio (justo debajo del punto de giro).
¿Por qué tenemos que suponer ángulos de oscilación pequeños, te preguntarás? Como ya sabrás o verás en artículos más especializados, la ecuación diferencial real es
\[\frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2}=-\frac{mgd}{I}\sin\theta,\]
donde \(\theta\) es el ángulo que forma la cuerda con la vertical. El seno sale de calcular los triángulos del diagrama de cuerpo libre de este péndulo. Para ángulos pequeños \(\theta_\text{pequeña}\), tenemos \(\sin\theta_\text{pequeña}\aprox\theta_\text{pequeña}\), por lo que entonces la ecuación diferencial se convierte, con una buena aproximación en
\[\frac{\mathrm{d}^2\sin\theta}{\mathrm{d}t^2}=-\frac{mgd}{I}\sin\theta.\]
Multiplicando ambos lados por la longitud \(L\) de la cuerda y utilizando \(L\sin\theta=x\), llegamos a nuestra ecuación diferencial:
\[\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}=-\frac{mgd}{I}x.\]
No hay una forma realmente sistemática de llegar a la solución de una ecuación diferencial de este tipo, y adivinar las soluciones es difícil sin ninguna experiencia, por lo que nunca se espera que lo hagas. Por tanto, nos limitaremos a darte la solución de la ecuación diferencial:
\[x=x_\text{max}\sin\left(\sqrt{\frac{mgd}{I}}t\right).\]
Esto significa que la frecuencia angular \(\omega_\text{phys}\) del péndulo físico viene dada por
\[\omega_\text{phys}=\sqrt{\frac{mgd}{I}},\]
y que el período \(T_\text{phys}\) del péndulo físico es
\[T_\text{phys}=2\pi\sqrt{\frac{I}{mgd}}.\]
Recuerda que un movimiento armónico simple siempre se parece a \(x=A\sin(\omega t)\), así que a partir de cualquier fórmula sobre \(x\) podemos leer inmediatamente la frecuencia angular \(\omega\) mirando lo que hay dentro de la función seno. A su vez, a partir de la frecuencia angular \(\omega\), podemos calcular fácilmente el periodo \(T\) utilizando la fórmula que los relaciona: \(T=\frac{2\pi}{\omega}\).
En realidad, la forma general de la ecuación diferencial del movimiento armónico simple es
\[\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}=-\omega^2x,\]
por lo que ésta es otra forma de leer la frecuencia angular del movimiento resultante de la ecuación diferencial. En el caso del péndulo físico, vemos que
\[\omega^2=\frac{mgd}{I}\]
por lo que también podemos concluir por esta vía que la frecuencia angular es
\[\omega_\text{phys}=\sqrt{\frac{mgd}{I}}.\]
Estudiemos un ejemplo para ver cómo podemos utilizar estas ecuaciones en la práctica. Supongamos que nuestra pinza de la ropa, que cuelga libremente del tendedero, tiene un momento de inercia de \(3,0 veces 10^{-5},\mathrm{kg,m^2}), una masa de \(9,0,\mathrm{g}) y su centro de masa está a \(3,6,\mathrm{cm}) del punto de giro. Entonces el periodo de esta pinza es
\begin{align*}T_\text{clothespin}&=2\pi\sqrt{\frac{I}{mgd}}\\ xml-ph-0000@deepl.internal &=2\pi\sqrt{\frac{3.0\times 10^{-5}\,\mathrm{kg\,m}^2}{9.0\times 10^{-3}\,\mathrm{kg}\times 9.8\mathrm{\tfrac{m}{s^2}}\times 3.6\times 10^{-2}\,\mathrm{m}}}\\&=0.61\,\mathrm{s}.\end{align*}
Por tanto, la frecuencia angular de la pinza es
\[\omega_\text{clothespin}=\frac{2\pi}{T_\text{clothespin}}=10\,\mathrm{\frac{rad}{s}}.\]
Péndulos simples
Un péndulo simple no es más que un caso especial de péndulo físico, en el sentido de que podemos expresar la distancia del pivote al centro de masa de la biela como \(d=l\) y podemos expresar el momento de inercia de la biela como \(I=ml^2\). Esto significa que para ángulos de oscilación pequeños, tenemos
\[x=x_\text{max}\sin\left(\sqrt{\frac{g}{l}}t\right),\]
por lo que la frecuencia angular \(\omega_\text{simple}\) del péndulo simple es
\[\omega_\text{simple}=\sqrt{\frac{g}{l}}\]
y el período \(T_\text{simple}\) del péndulo simple es
\[T_\text{simple}=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}.\]
Péndulos de torsión
Un péndulo de torsión es diferente en el sentido de que medimos el desplazamiento angular \(\theta\) de la bobina y no su desplazamiento traslacional \(x\). Para ángulos de rotación suficientemente pequeños (que es todo bajo un desplazamiento angular máximo de alrededor de \(270^\circ\)), tenemos la siguiente ecuación diferencial:
\[\frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2}=-\frac{c}{I}\theta.\]
Observa que este momento de inercia es ahora alrededor de otro eje, concretamente alrededor del eje que se superpone a la cuerda.
La solución de esta ecuación diferencial es
\[\theta=\theta_\text{max}\sin\left(\sqrt{\frac{c}{I}}t\right).\]
Esto significa que la frecuencia angular \(\omega_\text{torsión}\) del movimiento armónico simple del péndulo de torsión es
\[\omega_\text{torsion}=\sqrt{\frac{c}{I}}\]
y que el período \(T_\text{torsión}\) del péndulo de torsión es
\[T=2\pi\sqrt{\frac{I}{c}}.\]
La frecuencia angular del movimiento armónico simple del péndulo de torsión no debe confundirse con la velocidad angular de la propia varilla. Esta última cambia con el tiempo (y es igual a \(\tfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t})), mientras que la primera es constante y sólo nos indica en qué parte de un ciclo completo nos encontramos. La frecuencia angular del péndulo de torsión es simplemente \(2\pi/T\), que efectivamente es constante.
Período de los péndulos
Recapitulando, el periodo \(T_\text{phys}\) de un péndulo físico es
\[T_\text{phys}=2\pi\sqrt{\frac{I}{mgd}},\]
el periodo \(T_\text{simple}\) de un péndulo simple es
\[T_\text{simple}=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}},\]
y el periodo \(T_\text{torsión}\) de un péndulo de torsión es
\[T_\text{torsion}=2\pi\sqrt{\frac{I}{c}}.\]
Energía mecánica en los péndulos
Como los péndulos son sistemas oscilantes que presentan un movimiento armónico simple, podemos calcular fácilmente la energía mecánica total de un péndulo. Lo hacemos buscando un momento en el tiempo en el que la energía potencial sea cero: esto ocurre siempre en la posición de equilibrio. De este modo, la energía cinética \(K\) en ese momento es igual a la energía mecánica total del péndulo.
La energía cinética de la varilla del péndulo de torsión es \(K=\frac{1}{2}I\omega^2\), ¡donde \(\omega\) es ahora la velocidad angular de la propia varilla y no la frecuencia angular del movimiento del péndulo! Así pues
\[\omega=\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=\theta_\text{max}\sqrt{\frac{c}{I}}\cos\left(\sqrt{\frac{c}{I}}t\right).\]
En la posición de equilibrio, la velocidad angular es máxima, por lo que
\[K_\text{eq}=\frac{1}{2}I\left(\theta_\text{max}\sqrt{\frac{c}{I}}\right)^2=\frac{1}{2}c\theta_\text{max}^2.\]
Vemos una vez más que toda la energía de este péndulo se almacena en la cuerda: ¡el momento de inercia de la bobina no tiene ningún efecto sobre la energía mecánica total del péndulo torsional!
Péndulo - Puntos clave
- Un péndulo es un peso suspendido de un pivote para que pueda oscilar hacia delante y hacia atrás bajo la influencia de la gravedad.
- Un péndulo físico es un objeto extendido que cuelga de un punto de pivote desplazado del centro de masa, alrededor del cual el objeto es libre de girar.
- Un péndulo simple es un caso especial de péndulo físico que resulta cuando el objeto colgante puede modelarse como una masa puntual a una distancia l del punto de pivote.
- Para pequeñas amplitudes de movimiento, el período de un péndulo físico se obtiene de la aplicación de la segunda ley de Newton en forma rotacional.
- El periodo de un péndulo es el tiempo que tarda el péndulo en realizar una oscilación completa de vaivén.
Referencias
- Fig. 1 - Un péndulo general, StudySmarter Originals.
- Fig. 2 - Una pinza de la ropa como péndulo físico, StudySmarter Originals.
- Fig. 3 - Un péndulo simple, StudySmarter Originals.
- Fig. 4 - Un péndulo de torsión, StudySmarter Originals.
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