péndulo

Definición de péndulo

La palabra "péndulo" procede del latín pendulus, que significa "colgando" o "suspendido".

En este artículo, supondremos que ninguno de los péndulos tiene rozamiento.

Partes de un péndulo

Probablemente puedas adivinar qué partes componen un péndulo con sólo mirar la definición, pero repasémoslas rápidamente. Necesitamos una masa y un punto de fijación alrededor del cual la masa pueda pivotar o girar. Dependiendo del tipo de péndulo, puede que también necesitemos una cuerda para unir la varilla al punto de fijación. Básicamente, un péndulo se parece a la imagen siguiente.

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Tipos de péndulos

Hay varios tipos de péndulos, pero nos centraremos en tres tipos principales: péndulos físicos, péndulos simples y péndulos de torsión.

Péndulos físicos

Un péndulo físico es el único tipo de péndulo que no necesita necesariamente una cuerda. Es un péndulo que consiste en un objeto rígido que cuelga de un punto de giro, como se ilustra a continuación.

Las magnitudes que describen este péndulo son el momento de inercia $I$ de la varilla (con unidades $\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2)),ladistancia\text{(}d$ del pivote al centro de masa de la varilla (con unidades $\mathrm{m})),ylamasatotal\text{(}m$ de la varilla (con unidades \(\mathrm{kg})).

Péndulos simples

Un péndulo simple es un péndulo que consiste en una masa puntual que cuelga de una cuerda unida a un punto de giro. Observa la siguiente ilustración.

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Las magnitudes que describen este péndulo son la longitud $l$ de la cuerda y la masa $m$ de la varilla. La cuerda tiene una masa despreciable comparada con la masa de la varilla, por lo que puede ignorarse.

Péndulos de torsión

Un péndulo de torsión es un péndulo que no oscila hacia delante y hacia atrás, sino que gira hacia delante y hacia atrás. Consiste en un cuerpo rígido que cuelga de una cuerda sujeta a un punto de giro, como se ilustra a continuación. Cuando la varilla gira en un sentido, la torsión de la cuerda ejerce un par que empuja a la varilla hacia la posición de equilibrio. Las magnitudes que describen este tipo de péndulo son el momento de inercia $I$ de la varilla y la constante de torsión $c$ de la cuerda.

La constante de torsión describe la cantidad de torsión por radián, por lo que sus unidades son $\mathrm{N}\mathrm{m}$.

Fórmulas pendulares

Por supuesto, como físicos, queremos observar el comportamiento de estos péndulos de forma cuantitativa, por lo que buscamos algunas fórmulas que describan su movimiento. Todas estas fórmulas se derivarán en los respectivos artículos especializados de StudySmarter sobre estos temas, pero aquí se darán simplemente a modo de resumen. Todos los péndulos se describen mediante ecuaciones diferenciales, y estas ecuaciones diferenciales describen todo lo que es físicamente interesante (es decir, el período, la frecuencia angular y la amplitud) en relación con el péndulo, como verás en los ejemplos siguientes.

Péndulos físicos

Para ángulos de oscilación pequeños $\theta <{10}^{\circ }$, la ecuación diferencial que rige el movimiento de un péndulo físico viene dada por

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}=-\frac{mgd}{I}x,$$

donde $x$ es la distancia desde el centro de masa de la bob hasta su posición de equilibrio (justo debajo del punto de giro).

No hay una forma realmente sistemática de llegar a la solución de una ecuación diferencial de este tipo, y adivinar las soluciones es difícil sin ninguna experiencia, por lo que nunca se espera que lo hagas. Por tanto, nos limitaremos a darte la solución de la ecuación diferencial:

$$x=x_{\text{max}}\sin \left(\sqrt{\frac{mgd}{I}}t\right).$$

Esto significa que la frecuencia angular ${\omega }_{\text{phys}}$ del péndulo físico viene dada por

$${\omega }_{\text{phys}}=\sqrt{\frac{mgd}{I}},$$

y que el período $T_{\text{phys}}$ del péndulo físico es

$$T_{\text{phys}}=2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}.$$

Péndulos simples

Un péndulo simple no es más que un caso especial de péndulo físico, en el sentido de que podemos expresar la distancia del pivote al centro de masa de la biela como $d=l$ y podemos expresar el momento de inercia de la biela como $I=m{l}^2$. Esto significa que para ángulos de oscilación pequeños, tenemos

$$x=x_{\text{max}}\sin \left(\sqrt{\frac{g}{l}}t\right),$$

por lo que la frecuencia angular ${\omega }_{\text{simple}}$ del péndulo simple es

$${\omega }_{\text{simple}}=\sqrt{\frac{g}{l}}$$

y el período $T_{\text{simple}}$ del péndulo simple es

$$T_{\text{simple}}=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}.$$

Péndulos de torsión

Un péndulo de torsión es diferente en el sentido de que medimos el desplazamiento angular $\theta$ de la bobina y no su desplazamiento traslacional $x$. Para ángulos de rotación suficientemente pequeños (que es todo bajo un desplazamiento angular máximo de alrededor de ${270}^{\circ }$), tenemos la siguiente ecuación diferencial:

$$\frac{{\mathrm{d}}^2\theta }{\mathrm{d}{t}^2}=-\frac{c}{I}\theta .$$

La solución de esta ecuación diferencial es

$$\theta ={\theta }_{\text{max}}\sin \left(\sqrt{\frac{c}{I}}t\right).$$

Esto significa que la frecuencia angular ${\omega }_{\text{torsión}}$ del movimiento armónico simple del péndulo de torsión es

$${\omega }_{\text{torsion}}=\sqrt{\frac{c}{I}}$$

y que el período $T_{\text{torsión}}$ del péndulo de torsión es

$$T=2\pi \sqrt{\frac{I}{c}}.$$

Período de los péndulos

Recapitulando, el periodo $T_{\text{phys}}$ de un péndulo físico es

$$T_{\text{phys}}=2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}},$$

el periodo $T_{\text{simple}}$ de un péndulo simple es

$$T_{\text{simple}}=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}},$$

y el periodo $T_{\text{torsión}}$ de un péndulo de torsión es

$$T_{\text{torsion}}=2\pi \sqrt{\frac{I}{c}}.$$

Energía mecánica en los péndulos

Como los péndulos son sistemas oscilantes que presentan un movimiento armónico simple, podemos calcular fácilmente la energía mecánica total de un péndulo. Lo hacemos buscando un momento en el tiempo en el que la energía potencial sea cero: esto ocurre siempre en la posición de equilibrio. De este modo, la energía cinética $K$ en ese momento es igual a la energía mecánica total del péndulo.