Péndulo Simple

El movimiento de los péndulos simples

Para muchos temas diferentes, a menudo resulta útil identificar una versión simplificada de una forma más compleja de movimiento, tanto para comprender el sistema como para resolver problemas. Entonces, ¿cómo podemos analizar el movimiento de un péndulo simple? Basarnos únicamente en lo que sabemos de la cinemática sería difícil. Sin embargo, si podemos demostrar que los péndulos simples presentan un movimiento armónico simple, podemos aplicar las mismas herramientas que hemos aprendido del movimiento armónico simple.

Empecemos por considerar el caso en que un péndulo simple presenta un movimiento armónico simple. Esto significa que la fuerza restauradora$F_r$debe ser proporcional al desplazamiento$d$. Matemáticamente, podemos escribir esta relación como :

$F_r\propto d$.

Un péndulo simple presenta un movimiento de rotación. En nuestro caso, esto significa que el desplazamiento es igual al ángulo, o$\theta$veces el radio. Para nuestro péndulo simple, el radio es sólo la longitud de la cuerda$L$:

$F_r\propto L\theta$.

Sin embargo, como la longitud de la cuerda es constante, sólo nos interesa la dependencia theta de nuestro péndulo. Por lo tanto, podemos eliminar el término de longitud de nuestra proporcionalidad, ya que todavía no estamos resolviendo una ecuación:

$F_r\propto \theta$.

Ahora, deberíamos tener información suficiente para dibujar un diagrama de cuerpo libre y determinar si nuestra fuerza restauradora muestra esta relación con el ángulo. Las únicas fuerzas que actúan sobre nuestro péndulo simple son la fuerza de la gravedad que actúa hacia abajo y la tensión de la cuerda que mantiene a nuestro péndulo en su movimiento de rotación.

Diagrama de cuerpo libre de un péndulo simple, StudySmarter Originals

Podemos dividir nuestra fuerza de gravedad en sus componentes x e y para obtener nuestra fuerza restauradora. La gravedad proporciona la fuerza restauradora porque, de nuevo, la tensión de la cuerda mantiene el movimiento de rotación de nuestra masa.

Diagrama de cuerpo libre de un péndulo con los componentes individuales de las fuerzas implicadas esbozados, StudySmarter Originals

Aquí, la gravedad en la dirección x es la fuerza restauradora, la fuerza que actúa contra su dirección de movimiento. Observa aquí que, independientemente de dónde se encuentre nuestra masa en el arco del péndulo, la tensión es perpendicular al movimiento. Por eso es la gravedad la que proporciona la fuerza restauradora y no la tensión. A continuación, tenemos que resolver$F_{g_x}$en términos de$\theta$:

$\begin{array}{rcl}\sin \left(\theta \right)& =& \frac{F_{g_x}}{F_g}\\ F_{g_x}& =& F_g\sin \left(\theta \right)\\ F_{g_x}& =& -mg\sin \left(\theta \right)\end{array}$.

Aquí$m$es la masa y$g$es la aceleración debida a la gravedad. Por tanto, nuestra fuerza restauradora es proporcional a$\sin \left(\theta \right)$y no$\theta$¡! Sin embargo, disponemos de una poderosa herramienta matemática que nos simplifica esta relación.

En otras palabras, esto significa que no necesitamos evaluar el valor de$\sin \left(\theta \right)$en un cálculo siempre que$\theta$sea pequeño. Por tanto, para ángulos pequeños, ¡un péndulo simple presenta un movimiento armónico simple! Veamos un ejemplo en el que se utiliza la aproximación de ángulos pequeños para ver esta herramienta en acción.

Veamos las fórmulas más importantes que debemos conocer para trabajar con péndulos simples.

Fórmulas del péndulo simple

Ahora que hemos demostrado que la aproximación de ángulos pequeños es válida para los péndulos simples siempre que el ángulonosea demasiado grande, podemos relacionar los péndulos simples con el movimiento armónico simple explorando algunas de sus propiedades. Consideremosprimeronuestra nueva fuerza restauradora suponiendo la aproximación de ángulo pequeño:

$\begin{array}{rcl}{F}_{g_x}& \approx & -mg\theta \\ F_{g_x}& \approx & -mg\left(\frac{x}{L}\right)\\ F_{g_x}& \approx & -\left(\frac{mg}{L}\right)x\end{array}$.

Recordemos que el movimiento armónico simple obedece alaley de Hooke, la teoría que establece una proporcionalidad lineal entre el desplazamiento y un factor constante de proporcionalidad (como la rigidez) con la fuerza:

$F=-kx$.

Así, comparando la ecuación de la fuerza restauradora conlaley de Hooke, podemos ver que nuestra constante de fuerza$k$es :

$k=\frac{mg}{L}$.

Ahora podemos aplicar todas nuestras fórmulas para el movimiento armónico simple a un péndulo simple. Empecemos por considerar el periodo, el tiempo que tarda en completarse un ciclo de movimiento. El periodo$T$viene dado por:

$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.

El periodo se mide en unidades de tiempo, normalmente segundos,$\mathrm{s}$. Si introducimos el valor de la constante de fuerza$k$se obtiene el periodo de un péndulo simple:

$\begin{array}{rcl}T& =& 2\pi \sqrt{\frac{m}{\left(\frac{mg}{L}\right)}}\\ T& =& 2\mathrm{\pi }\sqrt{\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{g}}}\end{array}$.

La frecuencia, o número de ocurrencias de un acontecimiento periódico por unidad de tiempo, es simplemente la inversa del periodo:

$\begin{array}{rcl}ƒ& =& \frac{1}{T}\\ ƒ& =& \frac{1}{2\mathrm{\pi }}\sqrt{\frac{g}{L}}\end{array}$.

La frecuencia se mide en unidades de tiempo inverso, normalmente en segundos inversos,$\frac{1}{\mathrm{s}}$también conocido como Hertz,$\mathrm{Hz}$. Ahora podemos utilizar la fórmula del periodo de un péndulo para resolver la frecuencia angular$\omega$la frecuencia de un acontecimiento periódico. Recuerda que la fórmula del periodo viene dada por:

$T=\frac{2\mathrm{\pi }}{\mathrm{\omega }}$.

Por tanto, la frecuencia angular es :

$\begin{array}{rcl}\omega & =& \frac{2\pi }{T}\\ \omega & =& \frac{2\pi }{2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}}\\ \omega & =& \sqrt{\frac{g}{L}}\end{array}$.

La frecuencia angular suele medirse en radianes por segundo,$\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}$. Una cosa interesante a tener en cuenta es que ninguna de estas fórmulas depende delángulo de desplazamiento ni de la masa de nuestro péndulo. Dentro de los límites de la aproximación del ángulo pequeño, no importa lo grande que sea la amplitud que demos a nuestros péndulos, el período y la frecuencia seguirán siendo los mismos, ¡siempre que la longitud del péndulo permanezca constante!

En resumen, éstas son las fórmulas que deberías estar preparado para utilizar en problemas de péndulos sencillos:

• Podemos hallar el período de un péndulo simple mediante la fórmula$\begin{array}{rcl}T& =& 2\mathrm{\pi }\sqrt{\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{g}}}\end{array}$.
• Encontramos la frecuencia de un péndulo simple utilizando la inversa de la fórmula anterior,${ƒ}_m=\frac{1}{2\mathrm{\pi }}\sqrt{\frac{g}{L}}$(o más fácilmente, la inversa de la respuesta que encuentres para el periodo).
• Podemos hallar la frecuencia angular de un péndulo simple mediante la fórmula$\begin{array}{rcl}\omega & =& \sqrt{\frac{g}{L}}\end{array}$.

Aplicaciones del péndulo simple

Las aplicaciones de los péndulos simples son más comunes en la vida cotidiana de lo que crees. Ya hemos reconocido que los relojes antiguos, en particular los "relojes del abuelo", son una aplicación clásica de un péndulo en acción. También hemos considerado brevemente que el movimiento de vaivén en un columpio, una bola de demolición o el lanzamiento de una bola de bolos pueden aproximarse como simples péndulos. Cada uno de estos movimientos implica una sujeción aproximadamente rígida a un punto fijo y una oscilación repetitiva.

¿Cuáles son otras aplicaciones? Considera la clásica atracción de parque de atracciones de un barco pirata oscilante:

La atracción del barco oscilante muestra el movimiento de balanceo de un péndulo simple , Dominio público

En esta atracción, el barco muestra un movimiento armónico simple al oscilar de un lado a otro entre dos alturas extremas sobre su rígida sujeción metálica a una viga central de soporte. Los metrónomos, la herramienta que utilizan los músicos para mantener un ritmo y un tiempo precisos mientras tocan un instrumento, también obedecen al comportamiento de un péndulo simple, con la gravedad actuando sobre contrapesos para la fuerza restauradora.

Ejemplos de péndulos simples

Vamos a trabajar con un ejemplo resolviendo algunas variables del movimiento periódico dada la longitud de un péndulo.

Recorramos otro ejemplo de péndulo simple, esta vez examinando cómo difiere este tipo de movimiento en diferentes superficies de gravedad.

Los péndulos simples son otra forma de movimiento armónico simple, un movimiento periódico que puede encontrarse en muchos escenarios cotidianos. Aunque hacemos aproximaciones para analizar estos sistemas, nuestros cálculos simplificados siguen siendo valiosos para comprender este tipo de movimiento.