Fig. 1 - El balanceo de un neumático es un ejemplo clásico de péndulo de torsión.
Definición de péndulo de torsión
Un péndulo de torsión es muy parecido a un péndulo normal, excepto en que presenta movimiento de rotación en lugar de movimiento de traslación.
Un péndulo de torsión es una bobina que cuelga de una cuerda de modo que puede girar libremente.
Mira también la siguiente ilustración. Para poner en movimiento un péndulo de torsión, tienes que girar un poco la bobina y soltarla. La varilla empezará a girar de vuelta a su posición de equilibrio, tras lo cual se "sobrepasará" y girará fuera de su posición de equilibrio en la otra dirección en la que la habías girado originalmente. Su rotación se ralentizará de nuevo, y la bobina seguirá girando de esta forma oscilatoria.
Teoría del péndulo torsional
La teoría del funcionamiento de un péndulo de torsión se reduce al hecho de que nuestra cuerda tiene cierta rigidez. Es decir, si introducimos una torsión en nuestra cuerda, ésta tendrá la tendencia a desenroscarse si dejamos que todo siga su curso y dejamos que la cuerda haga lo suyo. De hecho, la cuerda tiende a destorcerse más si la retorcemos más, y esta relación es exactamente lineal.
La cuerda de un péndulo de torsión ejerce una torsión que es proporcional al ángulo con el que se gira el extremo inferior de la cuerda mientras el extremo superior permanece fijo.
Ahora también podemos ver el parecido con un péndulo normal: el equivalente rotacional de la fuerza (par) es proporcional al equivalente rotacional del desplazamiento (ángulo). Por tanto, podríamos preguntarnos si presentaría o no un movimiento armónico simple. Averigüemos si es así planteando algunas ecuaciones y resolviéndolas.
Ecuaciones del péndulo de torsión
Para hablar de un péndulo de torsión, suponemos que el par ejercido por la cuerda sobre la varilla es proporcional al desplazamiento angular de la varilla. Esto significa que la cuerda tiene una determinada constante de torsión, \(c,\) que es igual al par ejercido por la cuerda dividido por el desplazamiento angular de la varilla. Como habrás podido deducir de su definición, la constante de torsión \(c\) se mide en \(\mathrm{\tfrac{N,m}{rad}}). Cuanto más rígida sea la cuerda, mayor será la constante de torsión. Ahora podemos establecer la siguiente ecuación:
\[\vec{\tau}=-c\vec{\theta},\]
donde \(\vec{\tau}\) es la torsión ejercida por la cuerda y \(\vec{\theta}\) es el desplazamiento angular de la bobina. El signo menos está ahí para indicar que el par ejercido por la cuerda es en dirección opuesta al desplazamiento angular de la barra: al fin y al cabo, la cuerda quiere desenroscarse. Por tanto, podemos decir que se trata de un par restaurador en el mismo sentido en que la fuerza en un péndulo clásico es una fuerza restauradora.
Quizá recuerdes la segunda ley de Newton en forma angular, que implica que el par ejercido sobre nuestra bobina es igual al momento de inercia de la bobina \(I\) multiplicado por su aceleración angular, \( \alpha \), por lo que tenemos la siguiente ecuación diferencial:
\begin{aligned}I\textcolor{#00b695}{\alpha} & = \textcolor{#56369f}{\tau}\\[8pt]I\textcolor{#00b695}{\frac{\mathrm{d}^2\vec{\theta}}{\mathrm{d}t^2}} &=\textcolor{#56369f}{-c\vec{\theta}},\end{aligned}
donde \(t\) es el tiempo.
A medida que nuestra bobina gira hacia delante y hacia atrás, cambia el sentido del vector de desplazamiento angular de la bobina y del par. Utilizando la regla del pulgar derecho, podemos ver que la dirección del desplazamiento angular es verticalmente hacia arriba cuando gira hacia la derecha, y verticalmente hacia abajo cuando se desenrosca (gira hacia la izquierda). Esto nos indica la dirección del par de torsión, porque sabemos que actúa en sentido contrario como \( \vec{tau} = -c\vec{\theta}. \) Sin embargo, en ambos casos el par de torsión está orientado verticalmente. Por tanto, tenemos la garantía de que el movimiento se produce en el mismo plano horizontal. Puesto que es así, podemos dejar de lado la notación vectorial, que es complicada e innecesaria para este caso. En su lugar, podemos continuar utilizando una ecuación diferencial escalar en la que el signo algebraico mantiene toda la información necesaria para describir el movimiento del péndulo.
\[\frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2}=-\frac{c}{I}\theta.\]
Esto se parece sospechosamente mucho a la ecuación diferencial que rige el movimiento armónico simple del péndulo regular, y de hecho, la solución de esta ecuación describe el movimiento armónico simple:
\[\theta(t)=\theta_\text{max}\sin\left(\sqrt{\frac{c}{I}}t\right),\]
donde \(\theta_\text{max}\) es la amplitud angular o el desplazamiento angular máximo de la barra.
A partir de esta ecuación, vemos que la frecuencia angular \(\omega\) viene dada por
\[\omega=\sqrt{\frac{c}{I}}.\]
La frecuencia angular del movimiento armónico simple del péndulo de torsión no debe confundirse con la velocidad angular de la propia bobina. Esta última es igual a \(\tfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}) y cambia con el tiempo; por ejemplo, es cero cuando la bobina se tuerce hasta el desplazamiento angular máximo antes de cambiar de dirección para empezar a desenroscarse. Por otro lado, la frecuencia angular es constante e indica la rapidez con que cambia el argumento de la función seno. Está directamente relacionada con la frecuencia y el periodo de las oscilaciones.
El periodo \(T\) del movimiento oscilatorio viene dado por
\begin{aligned}&T=\frac{2\pi}{\omega}\\[6pt]&\boxed{T=2\pi\sqrt{\frac{I}{c}}}.\end{aligned}
Siempre podemos hacer una comprobación de cordura y ver si las unidades funcionan en expresiones complicadas. El momento de inercia se mide en \(\mathrm{kg\,m^2}) y la constante de torsión se mide en \(\mathrm{\tfrac{N\,m}{rad}}), por lo que el lado derecho de la ecuación para el periodo se mide en
\[\sqrt{\frac{\mathrm{kg\,m^2\,rad}}{\mathrm{N\,m}}}=\sqrt{\mathrm{\frac{kg\,m}{N}}}=\sqrt{\mathrm{\frac{kg\,m}{\tfrac{kg\,m}{s^2}}}}=\mathrm{s}.\]
Energía en un péndulo de torsión
Podemos encontrar una expresión para la energía potencial almacenada en un péndulo de torsión. Podemos definir la energía potencial como menos el trabajo realizado por la cuerda sobre la bobina desde su posición de equilibrio hasta su posición actual. El trabajo \(W\) realizado por un par de torsión \(\vec{\tau}\) es igual a \(\int\vec{\tau}\cdot\mathrm{d}\vec{\theta}\), por lo que la energía potencial \(E_\text{pot}\) en el péndulo de torsión puede expresarse de la siguiente manera:
\begin{align*}&E_\text{pot}=-W\\ xml-ph-0000@deepl.internal &E_\text{pot}=-\int\vec{\tau}\cdot\mathrm{d}\vec{\theta}\\ xml-ph-0001@deepl.internal &E_\text{pot}=-\int(-c\vec{\theta})\cdot\mathrm{d}\vec{\theta}\\ xml-ph-0000@deepl.internal &\boxed{E_\text{pot}=\frac{1}{2}c\theta^2}.\fin{align*}
Observa que la energía potencial del péndulo de torsión no depende en absoluto del momento de inercia de la varilla. Sólo depende de la constante de torsión, \(c\) (la rigidez de la cuerda), y del desplazamiento angular de la varilla, \(\theta\) (el grado de torsión de la cuerda). En resumen, la energía potencial sólo depende de la cuerda y no de la barra.
Experimento del péndulo de torsión
Tú mismo puedes hacer un experimento con un péndulo de torsión si tienes dos cosas a tu disposición: un columpio de neumáticos y un día sin viento.
Para que realmente el par ejercido por la cuerda sea proporcional al desplazamiento angular del neumático, debemos utilizar una amplitud angular inicial no mayor que \(270^\circ\). Eso significa que no debes girar el neumático más de 3/4 de vuelta completa desde su posición de equilibrio. Ahora suelta el neumático y mide el periodo de oscilación con un cronómetro. La mejor forma de hacerlo es midiendo el tiempo que tarda el neumático en ir de un punto estacionario al siguiente punto estacionario: por supuesto, será la mitad de un período.
¿Has conseguido medir el periodo de este movimiento armónico simple? ¡Muy bien! Ahora, si suponemos un valor típico del momento de inercia de un neumático de coche de \(I_\text{neumático}=0,4\,\mathrm{kg\,m^2}\), ¡puedes calcular la constante de torsión de la cuerda utilizando la fórmula del periodo del movimiento! Si manipulas esta ecuación correctamente, deberías obtener
\[c=I\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2.\]
Reloj de péndulo torsional
Fig. 3 - Un reloj de aniversario es otro ejemplo típico de péndulo torsional.
El reloj de péndulo torsional es una aplicación del péndulo torsional y se inventó unos 50 años después de la invención del péndulo torsional. Este tipo de reloj también se llama "reloj de aniversario" o "reloj de 400 días" porque puede durar un año con una sola cuerda. Esto es posible porque son mucho más eficientes que los relojes tradicionales de péndulo normal: hay menos fricción mecánica en el pivote, pero también menos resistencia del aire en la masa oscilante. La otra cara de estos relojes es que la constante de torsión de la cuerda depende mucho de factores ambientales como la temperatura, por lo que su cronometraje es menos preciso que el de los relojes tradicionales de péndulo normal.
Ejemplo de cálculo de un péndulo de torsión
Para terminar, veamos algunos ejemplos de cálculos con péndulos de torsión.
Supongamos que tenemos un reloj de péndulo de torsión que tiene un período de \(T=10,0,\mathrm{s}) y una cuerda con una constante de torsión de \(c=4\times 10^{-4},\mathrm{frac{N\,m}{rad}}). Si la bobina está formada por tres masas iguales que se encuentran a una distancia de \(d=4,\mathrm{cm}) de la cuerda, ¿cuál es la masa \(m\) de una de esas masas?
Solución
Conocemos el período y la constante de torsión, y sabemos que si los introducimos en nuestra ecuación para el período, podemos averiguar el momento de inercia, que está relacionado con la masa del sistema. Por tanto, el primer paso es resolver \( I \):
\begin{align*}T&=2\pi\sqrt{\frac{I}{c}}\\[6pt]\implies I&=\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2c\\[6pt]&=\left(\frac{10.0\,\mathrm{s}}{2\pi}\right)^2\times 4\times 10^{-4}\,\mathrm{\frac{N\,m}{rad}}\\[6pt]&=0.001\,\mathrm{kg\,m^2}.\end{align*}
Recordemos que podemos expresar el momento de inercia en función de las masas
\inicio{alineado} I& = \suma_i m_i (d_i)^2\[6pt]I&=3md^2,\end{align}
por lo que el valor de masa de cada una de estas masas viene dado por
\[m=\frac{I}{3d^2}=\frac{0.001\,\mathrm{kg\,m^2}}{3\times (0.4\,\mathrm{m})^2}=0.2\,\mathrm{kg}.\]
Por tanto, cada uno de ellos tiene un valor de masa de \(m=0,2\mathrm{kg}\).
Péndulo de torsión - Puntos clave
- Un péndulo de torsión es una bobina que cuelga de una cuerda de modo que puede girar libremente.
- La cuerda de un péndulo de torsión ejerce un par proporcional al ángulo con el que gira el extremo inferior de la cuerda mientras el extremo superior permanece fijo. La constante de proporcionalidad es la constante de torsión \(c\):\[\vec{\tau}=-c\vec{\theta}.\]
- Como la torsión es proporcional al desplazamiento angular y de sentido opuesto, actúa como una torsión de resorte que hace que el sistema muestre un movimiento armónico.
- Un péndulo torsional presenta un movimiento armónico simple, y podemos describirlo con la ecuación \[\theta(t)=\theta_texto{máxima}sin(\sqrt{frac{c}{I}t(derecha)].
- La frecuencia angular asociada es \(\omega=\sqrt{\frac{c}{I}}) y el periodo es \(T=2\pi\sqrt{\frac{I}{c}}).
- La energía potencial de un péndulo torsional se almacena en la torsión de la cuerda y viene dada por \(E_\text{pot}=\frac{1}{2}c\theta^2\).
- Ejemplos de péndulos torsionales son un columpio de neumático y un reloj de péndulo torsional.
Referencias
- Fig. 1 - Columpio de neumáticos, Mulberry Street, Over-the-Rhine, Cincinnati, OH (47588664081) (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tire_Swing,_Mulberry_Street,_Over-the-Rhine,_Cincinnati,_OH_(47588664081).jpg) de Warren LeMay (https://www.flickr.com/people/59081381@N03) con licencia de Dominio Público.
- Fig. 2 - Ilustración de un péndulo de torsión, StudySmarter Originals.
- Fig. 3 - Regla de la mano derecha aplicada a un péndulo de torsión, StudySmarter Originals.
- Fig. 4 - Reloj de aniversario de péndulo de torsión Haller (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Haller_torsion_pendulum_anniversary_clock.jpg) por Graham Evans, bajo licencia CC BY-SA 2.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/deed.en).
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