velocidad

Definición de velocidad

La velocidad es una magnitud vectorial que sirve para describir la dirección del movimiento y la rapidez de un objeto. Suele caracterizarse por dos tipos: velocidad media y velocidad instantánea. La velocidad media es una cantidad vectorial que depende de la posición final e inicial de un objeto.

La velocidad instantánea es la velocidad de un objeto en un momento determinado.

Fórmula de la velocidad

La fórmula matemática correspondiente a la definición de velocidad media es

$$ v_{avg} = \frac{ \Delta x }{ \Delta t}, $$

donde \( \Delta x \) es el desplazamiento medido en metros \(( \mathrm{m} )\) y \( \Delta t \) es el tiempo medido en segundos \(( \mathrm{s} )\). Observa que si tomamos la derivada de esto, la ecuación se convierte en \( v = \frac{ \mathrm{d}x }{ \mathrm{d}t } \), donde \( dx \) es un cambio infinitamente pequeño en el desplazamiento y \( dt \) es un cambio infinitamente pequeño en el tiempo. Si dejamos que el tiempo sea cero, esta ecuación nos da ahora la fórmula matemática correspondiente a la definición de velocidad instantánea.

También se puede calcular la velocidad media en el tiempo utilizando los valores inicial y final de la velocidad.

$$v_{texto{avg}=\frac{v_o + v}{2}$$

donde \( v_o \) es la velocidad inicial y \ ( v \) es la velocidad final.

Esta ecuación se puede derivar de la ecuación cinemática de la distancia media de la siguiente manera:

$$\begin{aligned}\Delta{x}=& \frac{v_o+v}{2}(t) \frac{\Delta{x}}{t}= & \frac{v_o+v}{2} \\ v_{\text{avg}}= & \frac{v_o+v}{2}. \\ fin{alineado}$$

Unidad SI de la velocidad

Utilizando la fórmula de la velocidad, su unidad SI se calcula como sigue

$$ v_{\text{avg}}= \frac{ \Delta x }{ \Delta t } = \frac{ \mathrm{m} }{ \mathrm{m} } } {\mathrm{s} } $$

Por tanto, la unidad SI para la velocidad es \( \frac{ \mathrm{m} } { \mathrm{s} } \).

Cálculo de la velocidad media a partir de una gráfica aceleración-tiempo

Otra forma de calcular la velocidad media en el tiempo es mediante una gráfica de aceleración-tiempo. Al observar una gráfica de aceleración-tiempo, puedes determinar la velocidad del objeto, ya que el área bajo la curva de aceleración es el cambio de velocidad.

$$\text{Área}=\Delta{v}.$$

Porejemplo, la gráfica aceleración-tiempo de abajo representa la función, \( a(t)=0,5t+5 \) entre \(0\, \mathrm{s}\) y \(5\,\mathrm{s}\). Usando esto, podemos demostrar que el cambio de velocidad corresponde al área bajo la curva.

Figura 2: Determinación de la velocidad media a partir de una gráfica aceleración-tiempo.

Utilizando esta gráfica, podemos averiguar cuál será la velocidad después de un tiempo determinado, entendiendo que el cambio de velocidad es la integral de la aceleración

$$\Delta v=\int_{t_1}^{t_2}a(t)$$

donde la integral de la aceleración es el área bajo la curva y representa el cambio de velocidad. Por tanto

$$\begin{aligned}\Delta v&=\int_{t_1}^{t_2}a(t) \Delta v&=\int_{t_1=0}^{t_2=5}(0,5t +5)dt\Delta v&=\frac{0.5t^2}{2}+5t \\ \Delta v&=\left(\frac{0.5(5)^2}{2}+5(5)\right)-\left(\frac{0.5(0)^2}{2}+5(0)\right)\\ \Delta v&=31.25\,\mathrm{\frac{m}{s}}.\\\end{aligned}$$

Podemos comprobar este resultado calculando el área de dos formas distintas (un triángulo y un rectángulo), como muestra la primera figura.

Empieza calculando el área del rectángulo azul:

$$\begin{aligned}\text{Area}&=(\text{height})(\text{width})=hw \\\text{Area}&=(5)(5)\\ \text{Area}&=25.\\\end{aligned}$$

Calcula ahora el área del triángulo verde:

$$\begin{aligned}\text{Area}&=\frac{1}{2}\left(\text{base}\right)\left(\text{height}\right)=\frac{1}{2}bh \\\text{Area}&=\frac{1}{2}\left(5\right)\left(2.5\right)\\ \text{Area}&=6.25.\\\end{aligned}$$

Ahora, sumando estas dos, obtenemos el resultado del área bajo la curva:

$$\begin{aligned}\text{Area}_{\text{(curve)}}&=\text{Area}_{(\text{rec})}+ \text{Area}_{(\text{tri})} \text{Area}_{(\text{curva})}&= 25 + 6,25 \text{Area}_{(\text{curva})}&=31,25.\nd{aligned}$$

Los valores coinciden claramente, lo que demuestra que en la gráfica aceleración-tiempo, el área bajo la curva representa el cambio de velocidad.

Velocidad instantánea a partir de una gráfica

Podemos calcular la velocidad media y la velocidad instantánea mediante una gráfica posición-tiempo y una gráfica velocidad-tiempo. Vamos a familiarizarnos con esta técnica, empezando por la gráfica velocidad-tiempo que se muestra a continuación.

Figura 3: Gráfica velocidad-tiempo que representa una velocidad constante.

En esta gráfica velocidad-tiempo, podemos ver que la velocidad es constante con respecto al tiempo. En consecuencia, esto nos dice que la velocidad media y la velocidad instantánea son iguales porque la velocidad es constante. Sin embargo, esto no siempre es así.

Figura 4: Gráfica velocidad-tiempo que muestra un caso en el que la velocidad no es constante con respecto al tiempo.

Al observar este gráfico de velocidad-tiempo, podemos ver que la velocidad no es constante, ya que es diferente en distintos puntos. Esto nos indica que la velocidad media y la velocidad instantánea no son iguales. Sin embargo, para comprender mejor la velocidad instantánea, utilicemos la gráfica posición-tiempo que aparece a continuación.

Figura 5: Una gráfica posición-tiempo que representa la velocidad instantánea como pendiente.

Supongamos que la línea azul del gráfico anterior representa una función de desplazamiento. Ahora, utilizando los dos puntos que se ven en la gráfica, podríamos hallar la velocidad media mediante la ecuación, \( v_{avg}=\frac{\Delta{x}}{\Delta{t}} \) que es simplemente la pendiente entre esos puntos. Sin embargo, ¿qué ocurrirá si hacemos de un punto un punto fijo y variamos el otro, de modo que se aproxime gradualmente al punto fijo? En términos sencillos, ¿qué ocurrirá a medida que hagamos el cambio de tiempo cada vez más pequeño? Pues la respuesta es la velocidad instantánea. Si variamos un punto, veremos que a medida que el tiempo se acerca a cero, el intervalo de tiempo se hace cada vez más pequeño. Por tanto, la pendiente entre esos dos puntos se acerca cada vez más a la recta tangente al punto fijo. Por tanto, la recta tangente al punto es, en realidad, la velocidad instantánea.

Diferencia entre velocidad y rapidez

En el lenguaje cotidiano, la gente suele considerar las palabras velocidad y rapidez como sinónimos. Sinembargo, aunque ambas palabras se refieren al cambio de posición de un objeto enrelación con el tiempo, en física las consideramos dos términos claramente distintos. Para distinguir uno de otro, hay que comprender estos 4 puntos clave de cada término.

La velocidad corresponde a larapidez con que se mueve un objeto, representa toda la distancia que recorre un objeto en un periodo de tiempo determinado, es una cantidad escalar y no puede ser cero.

La velocidad corresponde a la rapidez con la dirección, sólo tiene en cuenta la posición inicial y final de un objeto en un periodo de tiempo determinado, es una cantidad vectorial y puede ser cero. Sus fórmulas correspondientes son las siguientes

\Inicio \mathrm{Velocidad} &= \mathrm{\frac{Total,Distancia}{Tiempo}} \\ Velocidad y = Desplazamiento en el tiempo = Posición final - Posición inicial en el tiempo.

Una forma sencilla de pensar en la rapidez y la velocidad es caminando. Digamos que caminas hasta la esquina de tu calle a \( 2\,\mathrm{\frac{m}{s}} \). Esto sólo indica la velocidad, porque no hay dirección. Sin embargo, si vas hacia el norte \( 2\,\mathrm{\frac{m}{s}}) hasta la esquina, entonces esto representa la velocidad, ya que incluye la dirección.

Velocidad instantánea y rapidez instantánea

Al definir la velocidad y la rapidez, también es importante comprender los conceptos de velocidad instant ánea y rapidez instantánea. Tanto la velocidad instantánea como la rapidez instantánea se definen como la rapidez de un objeto en un momento determinado. Sin embargo, la definición de velocidad instantánea también incluye la dirección del objeto. Para entenderlo mejor, consideremos el ejemplo de un corredor de atletismo. Un corredor de atletismo que corre una carrera de 1000 m tendrá cambios en su velocidad en momentos concretos a lo largo de toda la carrera. Estos cambios pueden ser más notables hacia el final de la carrera, en los últimos 100 m, cuando los corredores empiezan a aumentar su velocidad para cruzar primero la línea de meta. En este momento concreto, podríamos calcular la velocidad instantánea y la velocidad instantánea del corredor y estos valores serían probablemente superiores a la velocidad y la velocidad calculadas del corredor a lo largo de toda la carrera de 1000 m.

Ejemplos de problemas de velocidad

Para resolver problemas de velocidad, hay que aplicar la ecuación de la velocidad. Por tanto, ya que hemos definido la velocidad y discutido su relación con la rapidez, vamos a trabajar con algunos ejemplos para familiarizarnos con el uso de las ecuaciones. Ten en cuenta que antes de resolver un problema, debemos recordar siempre estos sencillos pasos:

1. Lee el problema e identifica todas las variables que aparecen en él.
2. Determina qué pide el problema y qué fórmulas se necesitan.
3. Aplica las fórmulas necesarias y resuelve el problema.
4. Haz un dibujo si es necesario para ayudar a ilustrar lo que ocurre y proporcionarte una ayuda visual.

Ejemplos

Utilicemos nuestros nuevos conocimientos sobre la velocidad para completar algunos ejemplos relacionados con la velocidad media y la velocidad instantánea.

Ahora vamos a completar un ejemplo un poco más difícil que implicará algo de cálculo.