Este artículo introducirá los conceptos de par y movimiento de rotación. Antes de ver algunos ejemplos, definiremos el par y el movimiento de rotación y cómo se relacionan entre sí y con el momento angular.
¿Cuáles son las definiciones y descripciones del par y el movimiento de rotación?
A continuación veremos un par de definiciones y descripciones aplicables al par y al movimiento de rotación.
Par de torsión
La definición de par es la siguiente
El símbolo \(\tau\) representa el par de torsión, que es la cantidad de fuerza aplicada a un objeto que hará que gire alrededor de un eje.
La fórmula matemática del par es
$$ \tau = r F \sin{\theta} $$
donde \(r\) representa el radio medido en metros, \(\mathrm{m}), \(F\) representa la fuerza medida en newtons, \(\mathrm{N}), y \(\theta) representa el desplazamiento angular. La unidad SI para el par es el newton metro, \(\mathrm{N},\mathrm{m}).
Como el par es un vector, tiene magnitud y dirección, y su sentido puede ser horario o antihorario. La cantidad de par aplicada a un objeto dependerá siempre de dos factores:
- La cantidad de fuerza aplicada
- La distancia perpendicular al eje de rotación
Movimiento de rotación
En el movimiento de rotación, los componentes de velocidad, aceleración y desplazamiento tienen la misma forma que sus equivalentes en el movimiento lineal; sin embargo, los definimos en términos de variables asociadas al movimiento de rotación.
El movimiento derotación es un tipo de movimiento asociado a objetos que se desplazan siguiendo una trayectoria circular. La fuerza que hace que estos objetos se desplacen en una trayectoria circular se denomina par.
A continuación mostramos las fórmulas de la velocidad angular, la aceleración angular y el desplazamiento angular:
Velocidad angular, \(\omega\)
$$ \omega=\frac{\theta}{t} $$
donde la velocidad angular se mide en radianes por segundo, \(\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}).
La derivada da la ecuación $$\omega=\frac{d\theta}{dt}$$, que es la definición de velocidad instantánea.
Aceleración angular, \(\alfa)
$$ \alpha=\frac{\omega}{t} $$
donde la aceleración angular se mide en radianes por segundo al cuadrado, \(\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}^2}).
La derivada da la ecuación $$\alpha=\frac{d\omega}{dt}$$, que es la definición de aceleración instantánea.
Desplazamiento angular, \(\theta\)
$$ \theta = \omega t $$
donde medimos el desplazamiento angular en radianes, \(\mathrm{rad}\).
Relación entre el par y el movimiento de rotación y la fórmula del par de rotación
En el movimiento lineal, sabemos que los objetos se mueven debido a una fuerza. Sin embargo, la fuerza que hace que los objetos se muevan en el movimiento de rotación se conoce como par. Como resultado, podemos escribir la ecuación del par en la misma forma que la segunda ley de Newton, \(F=ma\), y mostramos la fórmula del par a continuación:
$$ \tau = I\alpha $$
donde \(I\) es el momento de inercia y \(\alpha\) es la aceleración angular.
¿Puede relacionarse el momento angular con el par rotacional?
Además de resolver problemas con la ecuación del par de rotación, también podemos utilizarla para determinar la relación entre variables simplemente reordenando los términos. Por ejemplo, si nos preguntan cuál es la relación entre la aceleración angular y el par, podemos reordenar esta ecuación para resolver la aceleración angular y obtener lo siguiente
$$ \alpha = \frac{\tau}{I} $$
Como resultado, podemos determinar que la aceleración angular es proporcional al par e inversamente proporcional al momento de inercia. Ahora podemos ir un paso más allá reescribiendo las variables en términos de otras variables. Por ejemplo, si sabemos que la aceleración angular es igual a \(\alfa = \frac{\omega}{t}\) e insertamos esto en la ecuación del par, obtendremos lo siguiente
$$ \tau = I \frac{\omega}{t} = \frac{I \omega}{t} $$
Como resultado, podemos ver otro término reconocible asociado al movimiento de rotación. El término \(I\omega\) representa el momento angular. Por tanto, podemos reescribir la ecuación del par en términos de momento angular como sigue
$$ \tau = \frac{L}{t} $$
Por tanto, sin hacer ningún cálculo matemático, podemos determinar las distintas relaciones entre las variables asociadas al movimiento de rotación.
El par aplicado a la vida cotidiana
Las personas demuestran el concepto de par casi todos los días de su vida y puede que ni siquiera lo sepan. Cada vez que abrimos una puerta, utilizamos el concepto de par al hacer que la puerta gire sobre sus bisagras. A partir de la fórmula del par, definida anteriormente, sabemos que el par está directamente relacionado con el radio y la fuerza. Utilizando este conocimiento, podemos entender por qué colocamos las manillas en el punto más alejado de las bisagras de la puerta. Supongamos que para abrir una puerta se necesita \( 100,\mathrm{N},\mathrm{m}) de par, y que la distancia de las bisagras a la manilla es \( 2,\mathrm{m}\}). Podemos concluir entonces que se necesitaría \(50,\mathrm{N}) de fuerza para abrir la puerta. Ahora, si movemos la manilla al centro de la puerta, el radio pasa a ser \(1,\mathrm}), y entonces tendríamos que aplicar una fuerza de \(100,\mathrm}) para abrir la puerta. Este cambio demuestra por qué el radio es importante para la torsión y por qué las manillas de las puertas se sitúan en el punto más alejado de las bisagras. Las manillas situadas en el punto más alejado permiten un radio máximo, lo que nos permite abrir las puertas con facilidad, ya que podemos aplicar menos fuerza. Las manillas situadas en el centro de la puerta nos dificultarían la apertura, porque un radio menor significa que tenemos que hacer más fuerza para que la puerta se abra.
Problemas con el par y el movimiento de rotación
Para resolver problemas de par y movimiento de rotación, la ecuación del par puede aplicarse a distintos problemas. Ya que hemos definido el par y discutido su relación con el movimiento de rotación, vamos a trabajar con algunos ejemplos para comprender mejor la energía mecánica total. Ten en cuenta que antes de resolver un problema, debemos recordar siempre estos sencillos pasos:
- Lee el problema e identifica todas las variables que aparecen en él.
- Determina qué pide el problema y qué fórmulas se aplican.
- Aplica las fórmulas necesarias para resolver el problema.
- Haz un dibujo si es necesario para proporcionar una ayuda visual.
Siguiendo estos pasos, trabajemos ahora con algunos ejemplos.
Ejemplo 1
Un fontanero utiliza una llave de \(2,5,\mathrm{m}) para aflojar un tornillo. Si aplica \(65\,\mathrm{}}) de fuerza, calcula cuánto par es necesario para aflojar el tornillo.
Ejemplo de llave dinamométrica. Adaptado de Cdang, Wikimedia Commons, GFDL
Después de leer el problema, se nos pide que calculemos el par necesario para aflojar un tornillo y se nos da el radio de la llave, así como la cantidad de fuerza que se aplica. Por tanto, utilizando la fórmula del par de torsión, nuestros cálculos son los siguientes
$$ \begin{aligned} \tau &= rF\sin{\theta} \tau &= \left(2\,\mathrm{m}\right)\left(65\,\mathrm{N}\right)\sin{90} \tau &= 130,\mathrm{N},\mathrm{m} \fin{alineado} $$
La cantidad de par necesaria para que la llave gire y afloje el tornillo es (130, N, m).
Observa que el fontanero está aplicando una fuerza perpendicular a la llave, creando así un ángulo de \(90^{circ}\}).Ejemplo 2
Un objeto, cuyo momento de inercia es \(45\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^2\), gira con una aceleración angular de \(3\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}^2\). Calcula el par necesario para que este objeto gire alrededor de un eje.
Un ejemplo de objeto giratorio con par de torsión, StudySmarter Originals
Después de leer el problema, se nos pide que calculemos el par necesario para que un objeto gire alrededor de un eje y se nos da la aceleración angular y el momento de inercia del objeto. Por tanto, utilizando la fórmula del par, nuestros cálculos son los siguientes
$$ \begin{aligned} \tau &= I\alpha \tau &= \left( 45\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^2 \right) \left( 3\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}^2 \right) \tau &= 135\,\mathrm{N},\mathrm{m} \end{aligned} $$
La cantidad de par necesaria para hacer girar el objeto alrededor de un eje es \(135,\mathrm{N},\mathrm{m}).
Par y movimiento de rotación - Puntos clave
- El par es la fuerza necesaria para que un objeto gire alrededor de un eje.
- El movimiento de rotación es el movimiento de los objetos que se desplazan en una trayectoria circular.
- El movimiento de rotación se asocia con la velocidad angular, \(\omega), la aceleración angular, \(\alfa), y el desplazamiento angular, \(\eta).
- Escribimos la fórmula del par en términos de radio y fuerza, \(\tau = r F \sin{\theta}\), y de aceleración angular y momento de inercia, \(\tau = I\alpha\).
- El par se produce en nuestra vida cotidiana cuando abrimos puertas.
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