Conservación del Momento Angular

Ley de conservación del momento angular

Para entender la ley de conservación del momento angular, necesitamos comprender:

• velocidad angular
• inercia rotacional
• momento angular
• par.

Velocidad angular

La velocidad ang ular es la velocidad de rotación de un objeto. Se mide en radianes por segundo, \( \mathrm{\frac{rad}{s}} \). Podemos hallar la velocidad angular utilizando

• la velocidad en movimiento lineal, cuyas unidades son en metros por segundo, \( \mathrm{\frac{m}{s} \)
• el radio del objeto que gira alrededor de un eje, cuyas unidades están en segundos, \( \mathrm{s} \)

Esto nos da

$$\omega= \frac{v}{r}$$

Los radianes son adimensionales; son la relación entre la longitud de un arco en un círculo y el radio de ese círculo. Y así, las unidades de velocidad angular se cancelan en \( \frac{1}{s} \).

Inercia rotacional

La inerciarotacional es la resistencia de un objeto al cambio de velocidad angular. Un objeto con mucha inercia rotacional es más difícil de girar que un objeto con poca inercia rotacional. La inercia rotacional depende de cómo distribuyamos la masa de un objeto o sistema. Si tenemos un objeto con una masa puntual, \(m\), a una distancia, \(r\), del centro de rotación, la inercia rotacional es \( I=mr^2 \). La inercia rotacional de un objeto aumenta cuando se aleja del centro de rotación. La inercia rotacional tiene unidades de \( \mathrm{kg\,m^2} \).

Momento angular

El momentoangular es el producto de la velocidad angular, \( \omega \), y la inercia rotacional, \( I \). Escribimos el momento angular como \( L=I\omega \).

El momento angular tiene unidades de \( \mathrm{\frac{kg\,m^2}{s}\}).Antes de asignar el momento angular a una partícula, necesitamos definir un origen o punto de referencia.

Par de torsión

Representamos el par con la letra griega \tau \tau \tau.

Si tenemos una distancia, \( r \), desde un punto de giro hasta donde se aplica la fuerza, \( F \), la magnitud del par es \( \tau= rF\sin\theta. \Una forma diferente de expresar el par es en términos del brazo de palanca perpendicular, \( r_{\perp} \), donde \( r_{\perp} = r\sin\theta. \) Esto da el par como \( \tau=r_{\perp}F \). El par tiene unidades de \( \mathrm{N\,m} \) donde \( 1\,\mathrm{N\,m}=1,\mathrm{\frac{kg\,m}{s^2}}. \)

Par externo neto y conservación del momento angular

El par externo neto se expresa como el cambio de momento angular sobre el cambio de tiempo. Lo escribimos como $$\tau_{\mathrm{net}}=\frac{\Delta{L}}{\Delta{t}}.$$ Si el par externo neto que actúa sobre un sistema es cero, el momento angular permanece constante a lo largo del tiempo para un sistema cerrado/aislado. Esto significa que el cambio en el momento angular es cero o

$$\Delta{L}=\frac{\tau_{\mathrm{net}}}{\Delta{t}}=\frac{0}{\Delta{t}}=0$$

Otra forma de expresarlo sería considerar dos sucesos en un sistema. Llamemos al momento angular del primer suceso, \( L_1 \), y al momento angular del segundo suceso, \( L_2 \). Si el par exterior neto que actúa sobre ese sistema es cero, entonces

$$L_1=L_2$$

Observa que definimos el momento angular en función del momento de inercia con la siguiente fórmula

$$L = I\omega.$$

Utilizando esta definición, ahora podemos escribir

$$I_1{\omega_{1}}= I_2{\omega_{2}}.$$

En algunos casos, la conservación del momento angular se produce en un eje y no en otro. Digamos que el par exterior neto en un eje es cero. La componente del momento angular del sistema a lo largo de ese eje concreto no cambiará. Esto se aplica aunque se produzcan otros cambios en el sistema.

Algunas otras cosas a tener en cuenta

• El momento angular es análogo al momento lineal. El momento lineal tiene una ecuación de \( p=mv \).

• La conservación del momento angular es análoga a la de la conservación del momento también. La conservación del momento lineal tiene la ecuación \( p_1=p_2 \) o \( m_1v_1=m_2v_2. \)

• La ecuación \( \tau_{\mathrm{net}}=\frac{\Delta{L}}{\Delta{t}} \) es la forma rotacional de la segunda ley de Newton.

Definir la conservación del momento angular

La conservación del momento en términos sencillos significa que el momento antes es igual al momento después. Más formalmente,

Fórmula de la conservación del momento angular

La fórmula \( {I_1}\omega_1={I_2}\omega_2 \) corresponde a la definición de conservación del momento angular.

Conservación del momento angular en las colisiones inelásticas

Una colisión inelástica es una colisión caracterizada por la pérdida de parte de la energía cinética. Esta pérdida se debe a la conversión de parte de la energía cinética en otras formas de energía. Si se pierde la mayor cantidad de energía cinética, es decir, los objetos chocan y se pegan, la llamamos colisión perfectamente inelástica. A pesar de la pérdida de energía, el momento se conserva en estos sistemas. Sin embargo, las ecuaciones que utilizamos a lo largo del artículo se modifican ligeramente cuando hablamos de la conservación del momento angular en las colisiones perfectamente inelásticas. La fórmula pasa a ser

$$ {I_1}\omega_1 + {I_2}\omega_2= (I_1 +I_2)\omega$$

debido a que los objetos chocan y se pegan. Como resultado, ahora consideramos los dos objetos individuales como un único objeto.

Ejemplos de conservación del momento angular

Puedes utilizar las ecuaciones correspondientes para resolver problemas de conservación del momento angular. Ya que hemos definido el momento angular y discutido la conservación del momento angular, vamos a trabajar con algunos ejemplos para comprender mejor el momento. Ten en cuenta que antes de resolver un problema, nunca debemos olvidar estos sencillos pasos:

1. Lee el problema e identifica todas las variables que aparecen en él.
2. Determina qué pide el problema y qué fórmulas se necesitan.
3. Haz un dibujo si es necesario para tener una ayuda visual.
4. Aplica las fórmulas necesarias y resuelve el problema.

Ejemplos

Apliquemos las ecuaciones de conservación del momento angular a algunos ejemplos.