El momento angular es una cantidad que se conserva. El momento angular de un sistema no cambia con el tiempo si el par externo neto ejercido sobre el sistema es cero.
Ley de conservación del momento angular
Para entender la ley de conservación del momento angular, necesitamos comprender:
- velocidad angular
- inercia rotacional
- momento angular
- par.
Velocidad angular
La velocidad ang ular es la velocidad de rotación de un objeto. Se mide en radianes por segundo, \( \mathrm{\frac{rad}{s}} \). Podemos hallar la velocidad angular utilizando
- la velocidad en movimiento lineal, cuyas unidades son en metros por segundo, \( \mathrm{\frac{m}{s} \)
- el radio del objeto que gira alrededor de un eje, cuyas unidades están en segundos, \( \mathrm{s} \)
Esto nos da
$$\omega= \frac{v}{r}$$
Los radianes son adimensionales; son la relación entre la longitud de un arco en un círculo y el radio de ese círculo. Y así, las unidades de velocidad angular se cancelan en \( \frac{1}{s} \).
Inercia rotacional
La inerciarotacional es la resistencia de un objeto al cambio de velocidad angular. Un objeto con mucha inercia rotacional es más difícil de girar que un objeto con poca inercia rotacional. La inercia rotacional depende de cómo distribuyamos la masa de un objeto o sistema. Si tenemos un objeto con una masa puntual, \(m\), a una distancia, \(r\), del centro de rotación, la inercia rotacional es \( I=mr^2 \). La inercia rotacional de un objeto aumenta cuando se aleja del centro de rotación. La inercia rotacional tiene unidades de \( \mathrm{kg\,m^2} \).
- Una masa puntual es un objeto con una masa distinta de cero concentrada en un punto. Se utiliza en situaciones en las que la forma del objeto es irrelevante.
- El momento de inercia es análogo a la masa en el movimiento lineal.
Momento angular
El momentoangular es el producto de la velocidad angular, \( \omega \), y la inercia rotacional, \( I \). Escribimos el momento angular como \( L=I\omega \).
El momento angular tiene unidades de \( \mathrm{\frac{kg\,m^2}{s}\}).Antes de asignar el momento angular a una partícula, necesitamos definir un origen o punto de referencia.
Esta fórmula sólo puede utilizarse cuando el momento de inercia es constante. Si el momento de inercia no es constante, tenemos que buscar la causa del movimiento angular, el par, que es el equivalente angular de la fuerza.
Par de torsión
Representamos el par con la letra griega \tau \tau \tau.
El pares el efecto de giro de una fuerza.
Si tenemos una distancia, \( r \), desde un punto de giro hasta donde se aplica la fuerza, \( F \), la magnitud del par es \( \tau= rF\sin\theta. \Una forma diferente de expresar el par es en términos del brazo de palanca perpendicular, \( r_{\perp} \), donde \( r_{\perp} = r\sin\theta. \) Esto da el par como \( \tau=r_{\perp}F \). El par tiene unidades de \( \mathrm{N\,m} \) donde \( 1\,\mathrm{N\,m}=1,\mathrm{\frac{kg\,m}{s^2}}. \)
Par externo neto y conservación del momento angular
El par externo neto se expresa como el cambio de momento angular sobre el cambio de tiempo. Lo escribimos como $$\tau_{\mathrm{net}}=\frac{\Delta{L}}{\Delta{t}}.$$ Si el par externo neto que actúa sobre un sistema es cero, el momento angular permanece constante a lo largo del tiempo para un sistema cerrado/aislado. Esto significa que el cambio en el momento angular es cero o
$$\Delta{L}=\frac{\tau_{\mathrm{net}}}{\Delta{t}}=\frac{0}{\Delta{t}}=0$$
Otra forma de expresarlo sería considerar dos sucesos en un sistema. Llamemos al momento angular del primer suceso, \( L_1 \), y al momento angular del segundo suceso, \( L_2 \). Si el par exterior neto que actúa sobre ese sistema es cero, entonces
$$L_1=L_2$$
Observa que definimos el momento angular en función del momento de inercia con la siguiente fórmula
$$L = I\omega.$$
Utilizando esta definición, ahora podemos escribir
$$I_1{\omega_{1}}= I_2{\omega_{2}}.$$
En algunos casos, la conservación del momento angular se produce en un eje y no en otro. Digamos que el par exterior neto en un eje es cero. La componente del momento angular del sistema a lo largo de ese eje concreto no cambiará. Esto se aplica aunque se produzcan otros cambios en el sistema.
Algunas otras cosas a tener en cuenta
El momento angular es análogo al momento lineal. El momento lineal tiene una ecuación de \( p=mv \).
La conservación del momento angular es análoga a la de la conservación del momento también. La conservación del momento lineal tiene la ecuación \( p_1=p_2 \) o \( m_1v_1=m_2v_2. \)
La ecuación \( \tau_{\mathrm{net}}=\frac{\Delta{L}}{\Delta{t}} \) es la forma rotacional de la segunda ley de Newton.
En física, un sistema es un objeto o conjunto de objetos que queremos analizar. Los sistemas pueden ser abiertos o cerrados/aislados. Los sistemas abiertos intercambian cantidades conservadas con su entorno. En los sistemas cerrados/aislados, las cantidades conservadas son constantes.
Definir la conservación del momento angular
La conservación del momento en términos sencillos significa que el momento antes es igual al momento después. Más formalmente,
La ley de conservación del momento angular establece que el momento angular se conserva dentro de un sistema siempre que el par externo neto sobre el sistema sea cero.
Fórmula de la conservación del momento angular
La fórmula \( {I_1}\omega_1={I_2}\omega_2 \) corresponde a la definición de conservación del momento angular.
Conservación del momento angular en las colisiones inelásticas
Una colisión inelástica es una colisión caracterizada por la pérdida de parte de la energía cinética. Esta pérdida se debe a la conversión de parte de la energía cinética en otras formas de energía. Si se pierde la mayor cantidad de energía cinética, es decir, los objetos chocan y se pegan, la llamamos colisión perfectamente inelástica. A pesar de la pérdida de energía, el momento se conserva en estos sistemas. Sin embargo, las ecuaciones que utilizamos a lo largo del artículo se modifican ligeramente cuando hablamos de la conservación del momento angular en las colisiones perfectamente inelásticas. La fórmula pasa a ser
$$ {I_1}\omega_1 + {I_2}\omega_2= (I_1 +I_2)\omega$$
debido a que los objetos chocan y se pegan. Como resultado, ahora consideramos los dos objetos individuales como un único objeto.
Ejemplos de conservación del momento angular
Puedes utilizar las ecuaciones correspondientes para resolver problemas de conservación del momento angular. Ya que hemos definido el momento angular y discutido la conservación del momento angular, vamos a trabajar con algunos ejemplos para comprender mejor el momento. Ten en cuenta que antes de resolver un problema, nunca debemos olvidar estos sencillos pasos:
- Lee el problema e identifica todas las variables que aparecen en él.
- Determina qué pide el problema y qué fórmulas se necesitan.
- Haz un dibujo si es necesario para tener una ayuda visual.
- Aplica las fórmulas necesarias y resuelve el problema.
Ejemplos
Apliquemos las ecuaciones de conservación del momento angular a algunos ejemplos.
Fig. 2 - Un patinador sobre hielo puede aumentar sus giros estirando los brazos
En el ejemplo omnipresente de un patinador sobre hielo, éste gira con los brazos extendidos a \( 2,0,\mathrm{\frac{rev}{s}). Su momento de inercia es \( 1,5,\mathrm{kg\,m^2} \). Tiran de sus brazos, y esto aumenta su velocidad de giro. Si su momento de inercia es de ( 0,5\mathrm{kg\,m^2} \) después de tirar de sus brazos, ¿cuál es su velocidad angular en términos de revoluciones por segundo?
La conservación del momento angular establece que
$$I_1{\omega_{1}}= I_2{\omega_{2}},$$
Así pues, sólo tenemos que reescribir esto para hallar \(\omega_2.\)
$$\begin{aligned}{\omega_{2}} &= \frac{I_1{\omega_{1}} {I_2} \\ xml-ph-0000@deepl.internal {\omega_{2}} &= \frac{\left(1.5\,\mathrm{kg\,m^2}\right)\left(2.0\,\mathrm{\frac{rev}{s}}\right)}{0.5\,\mathrm{kg\,m^2}} \\\omega_2 &= 6,0,\mathrm{frac{rev}{s}\end{aligned}$$
Supongamos que queremos poner un cohete en una órbita elíptica alrededor de Marte. El punto más cercano del cohete a Marte está a 5 veces 10^6, y se mueve a 10 veces 10^3, y se mueve a 10 veces 10^3, y se mueve a 10 veces 10^3, y se mueve a 10 veces 10^3, y se mueve a 10 veces 10^3, y se mueve a 10 veces 10^3, y se mueve a 10 veces 10^3, y se mueve a 10 veces 10^3, y se mueve a 10 veces 10^3, y se mueve a 10 veces 10^3. El punto más alejado de Marte del cohete está a 2,5 veces 10^7,{mathrm{m}}. ¿Cuál es la velocidad del cohete en el punto más alejado? El momento de inercia de una masa puntual es \( I=mr^2 \).
La conservación del momento angular establece que
$$I_1{\omega_{1}}= I_2{\omega_{2}}$$
Suponiendo que nuestro satélite es diminuto comparado con el radio de su órbita en cualquier punto, lo tratamos como una masa puntual, por lo que \( I=mr^2 \). Recordemos que \( \omega=\frac{v}{r} \) también, por lo que nuestra ecuación se convierte en:
$$\begin{aligned}I_1{\omega_{1}} &= I_2{\omega_{2}} \\mr_{1}v_{1} &= mr_{2}v_{2}\end{aligned}$$Las masas de ambos lados se anulan, así que
$$\begin{aligned}v_2 &= \frac{r_1v_1}{r_2} \\ xml-ph-0000@deepl.internal v_2 &= \frac{\left(5.0\times\,10^6\,\mathrm{m}\right)\left(10\times10^3\,\mathrm{m}\right) }{2.5\times10^7\,\mathrm{\frac{m}{s}}} \\v_2 &= 2000\,\mathrm{frac{m}{s}\end{aligned}$$
Conservación del momento angular - Puntos clave
- El momento angular es el producto de la inercia rotacional y la velocidad angular. Expresamos el momento angular como \( L=I{\omega}\).
- El par es el efecto de giro de una fuerza. Si tenemos una distancia desde un punto de giro hasta donde se aplica la fuerza, la magnitud del par es \( \tau=rF\sin\theta \)
- El momento angular es una magnitud que se conserva. El momento angular de un sistema es constante en el tiempo si el par externo neto ejercido sobre el sistema es cero. Expresamos esto como $$\Delta{L}=\frac{\tau_{\mathrm{net}}}{\Delta{t}}=\frac{0}{\Delta{t}}=0.$$
Referencias
- Fig. 2- Patinador sobre hielo (https://pixabay.com/photos/sarah-hecken-skater-rink-figure-84391/) by Pixabay ( www.pixabay.com) is licensed by CC0 1.0 Universal.
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