Fuerza y Torque

Ecuaciones de Fuerza y Par

Motivado por el hecho de encontrar una explicación a cómo tú y tu amigo conseguisteis equilibrar el balancín, es una buena idea empezar nuestra discusión repasando el concepto de fuerza. En física, definimos una fuerza de la siguiente manera:

La definición anterior implica que siempre que un objeto experimenta un cambio en su estado de movimiento, intervienen fuerzas. Podemos expresar cuantitativamente esta idea mediante la segunda ley de Newton,

\[\vec{F} = m\vec{a},\]

donde \(\vec{F}\ ) es la fuerza que actúa sobre el objeto, \(m\) es su masa, y \(\vec{a}\) es la aceleración del objeto. Tanto la fuerza como la aceleración son magnitudes vectoriales con magnitud y dirección. Por eso, denotamos sus símbolos con una flecha pequeña. Para utilizar la segunda ley de Newton para resolver problemas de física, pensamos en la siguiente ayuda memoria:

\[\text{Fuerza} = \text{Masa} \text{Aceleración} por \text{Aceleración}].

Recordando el balancín, hemos observado que tanto tú como tu amigo estáis girando alrededor de un punto fijo: el centro del balancín. Por tanto, no os movéis exactamente en línea recta, sino que giráis alrededor de un eje. La presencia de rotación es esencial para el concepto de par, que definimos del siguiente modo:

La palabra par viene del término latino torquere, que significa torcer. Tomando como referencia la definición anterior, podemos apreciar fácilmente por qué a los físicos les gusta pensar en el par como el análogo rotacional de la fuerza lineal. De hecho, el par motor satisface su propia ecuación, que llamamos segunda ley de Newton para la rotación:

\[\vec{\tau} = I\vec{\alpha}.\]

En lo anterior, \ (\vec{\tau}\) denota el par, \(I\) es el momento de inercia, y \(\alpha) (la letra griega alfa) es la aceleración angular. Igual que antes, podemos resumir la ecuación anterior en palabras como sigue

\[\text{Torque} = \text{Momento de inercia} \por \text{Aceleración angular}.

Si no conoces el concepto de momento de inercia, no te preocupes. Todo lo que necesitas saber es que, al igual que la masa, el momento de inercia representa la tendencia de un objeto a resistir los cambios en su estado de movimiento. Sin embargo, a diferencia de la masa, el momento de inercia de un objeto varía en función de su geometría. En aplicaciones de ingeniería, el momento de inercia de un objeto es algo que buscarías en una tabla.

La buena noticia es que podemos resolver muchos problemas de física en los que interviene la torsión con una ecuación más sencilla:

\[\begin{align}\tau &= Fr_\perp \\\tu &= Fr\sin(\theta).\end{align}\tau].

El símbolo que hemos introducido en esta expresión, \(r_\perp\) se denomina brazo de palanca. El brazo de palanca es la distancia perpendicular desde el eje de rotación a la línea que se extiende desde la fuerza aplicada, como se muestra en la imagen inferior. En esta imagen, el vector de posición azul representa la varilla que gira cuando una fuerza, representada por el vector verde, actúa sobre su extremo. El ángulo \(\theta\) (la letra griega theta) es el ángulo entre los vectores de posición y de fuerza. Encontramos el brazo de palanca prolongando la línea del vector de fuerza hacia fuera, de modo que podamos trazar la línea perpendicular desde el eje de rotación hasta la línea de fuerza prolongada. Éste es el brazo de palanca. Algunos problemas de física que podemos resolver con esta ecuación son hallar el par necesario para abrir una puerta o apretar un tornillo con una llave inglesa y-lo has adivinado- hallarel punto de equilibrio de un balancín.

Fig. 2 - El momento de torsión se obtiene multiplicando la magnitud de la fuerza aplicada por el brazo de palanca.

Observa que, como el vector fuerza forma un ángulo con respecto al vector posición, el vector fuerza tiene una componente paralela al vector posición y una componente perpendicular al vector posición. La componente paralela no contribuye al par, ya que está en la misma dirección que el vector de posición; sólo la componente perpendicular contribuye al par. Imagina que utilizas una llave inglesa para apretar un tornillo. Si tiras de la llave hacia fuera, el tornillo no girará porque la fuerza es paralela a la llave. Debes aplicar una fuerza perpendicular a la llave para que el tornillo gire.

Teniendo en cuenta lo anterior, ahora es un buen momento para resolver cuantitativamente por qué tú y tu amigo encontrasteis el equilibrio estático después de que tu amigo se acercara a la palanca del balancín. El siguiente ejemplo pretende guiarte a través de la física implicada.

Fig. 3 - Dos personas sentadas en un balancín. El punto de giro está en el centro del balancín.

Dos personas se sientan en un balancín. A la izquierda hay una persona \(50\,\mathrm{kg}\) y a la derecha hay una persona \(75\,\mathrm{kg}\) . El balancín tiene \(1,2\mathrm{kg}) en total, con un pivote en el punto central. La persona de la izquierda se sienta a \(0,6\\mathrm{}\}) distancia del pivote. ¿A qué distancia tendrá que sentarse la persona \(75\mathrm{kg}\ ) para que el balancín esté en equilibrio estático?

Para que el balancín esté en equilibrio estático, el par neto sobre el sistema debe ser cero. Consideremos el par de cada persona en el balancín, eligiendo el centro del balancín como origen. Observa que los brazos de palanca de cada persona serán simplemente la distancia a la que se encuentran del centro del balancín, porque cuando el balancín está equilibrado, la fuerza de la gravedad tira de ellos hacia abajo en un ángulo de \(90^{circ}\). Por tanto, el par de la persona de la izquierda es

\[\begin{align*}\tau_1&=r_\perp F_1\\\&=-d_1 m_1 g,\end{align*}]

y el par de la persona de la derecha es

\[\begin{align*}\tau_2&=r_\perp F_2\\\&=d_2 m_2 g.\end{align*}]

A continuación, podemos resolver la segunda distancia estableciendo el par neto igual a cero:

\[\begin{align*}\sum\tau&=0\\\tau_1+\tau_2&=0\\-d_1m_1g+d_2m_2g&=0\\d_1m_1g&=d_2m_2g\\d_1m_1&=d_2m_2\\d_2&=\frac{d_1m_1}{m_2}\\&=\frac{(50\,\mathrm{kg})(0.6\,\mathrm{m})}{75\,\mathrm{kg}}\\&=0.4\,\mathrm{m}.\end{align*}\]

Diferencia entre fuerza y par

Si comparas las definiciones de fuerza y par que hemos dado antes, te darás cuenta de que comparten características similares. Lo mismo ocurre con sus ecuaciones. En ambos casos, calculamos la cantidad que buscamos tomando el producto de dos cosas. Pero, al preguntarnos por lo que estamos multiplicando en cada caso, llegamos a la diferencia fundamental entre fuerza y par. Mientras que la fuerza se aplica al movimiento de avance en línea recta, el par se aplica al movimiento de rotación. De hecho, por eso hablamos de aceleración angular cuando pensamos en el par motor.

Pero, ¿en qué se diferencia la aceleración angular de la lineal? Bien, recuerda que definimos la aceleración como la tasa de cambio de la velocidad con respecto al tiempo:

\[\vec{a} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}.\]

Contrasta esto con la aceleración angular, que definimos como el índice de cambio de la velocidad angular con respecto al tiempo:

\[\vec{{alfa} = \frac{{Delta \vec{\omega}}{{Delta t}.\]

Como es el caso, la velocidad angular \(\omega\) (letra griega omega) se relaciona con la velocidad mediante la siguiente expresión:

\[\omega = \frac{v}{r}.\]

Si insertamos esto en la definición de aceleración angular

\[\vec{align} \vec{{alfa} &= \frac{{Delta \vec{\omega}}{{Delta t} \\ y= \frac {delta (vec {v}/r)} {delta t} \\ &= \frac{1}{r}\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} \\ y= frac {vec{a}}{r} \fin]]

siempre que \(r\) permanezca fijo. Así, siempre que el objeto en rotación sea rígido, tenemos la siguiente relación simple entre aceleración lineal y aceleración angular:

\[\vec{a} = r\vec{alfa}.\}

Esta relación implica otro dato importante sobre la diferencia entre fuerza y par: su diferencia de unidades.

Recuerda que la unidad de fuerza es el newton:

\[1 \;\mathrm{N} = 1 \;\mathrm{kg}\cdot\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}.\]

Esto tiene sentido, ya que la fuerza es masa por aceleración, la masa tiene unidades de kilogramos y la aceleración tiene unidades de metros por segundo al cuadrado. Por otro lado, el par es momento de inercia por aceleración angular. Las unidades del momento de inercia son kilogramos por metros al cuadrado, donde este último proviene de la forma del objeto. De lo anterior se deduce que la aceleración angular es el producto de la distancia al eje de rotación por la aceleración. La combinación de estos dos hechos nos permite determinar las unidades de par:

\π[I πderecha]πdot πleft[ \alfa \derecha] \\\frac{a}{r} \derecha] \frac{a}{r} \derecha] \frac{a}{r} \frac{a}{r} \derecha] \frac{a}{r} \frac{a} \frac{a}{r} \frac{a}{r} \frac{a} \frac{a}{r} \frac{a}{r} \frac{a} \frac= \left(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^2 \right) \cdot \left(\frac{1}{mathrm{m}} \cdot \frac{mathrm}{m}{mathrm{s}^2}\right)\cdot \mathrm{kg} \cdot \frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^2} \\y = N \fin].

Por tanto, la fuerza y el par también son diferentes porque no tienen las mismas unidades.

Relación entre Fuerza y Par

Ya hemos visto anteriormente que el par es el análogo rotacional de la fuerza lineal. Por eso, podemos decir que la relación entre fuerza y par es de dependencia lógica. Con esto queremos decir que, como magnitud física, podemos derivar el par del concepto de fuerza. Lo haremos en el próximo apartado. Antes de eso, destacaremos una característica clave común a la fuerza y al par: el hecho de que la segunda ley de Newton tiene un análogo rotacional.

Para los objetos que experimentan un movimiento de traslación, encontramos las ecuaciones del movimiento a partir de la segunda ley de Newton, que establece que la fuerza neta que actúa sobre el objeto es igual a la masa multiplicada por la aceleración,

\[\suma \vec{F}=m\vec{a}.\]

El análogo rotacional de la segunda ley de Newton para un objeto en rotación es que el par neto que actúa sobre el objeto es igual al momento de inercia multiplicado por la aceleración angular,

\[\sum \vec{\tau}=I\vec{\alpha}.\]

Cuando escribimos la segunda ley de Newton para un objeto en movimiento de traslación, consideramos primero todas las fuerzas que contribuyen a la fuerza neta. De forma similar, para la segunda ley de Newton en movimiento de rotación debemos considerar todas las fuerzas que aplican par al objeto. El equilibrio estático y dinámico se aplica tanto a la fuerza como al par, lo que significa que cuando un objeto está en reposo o en movimiento con velocidad constante/velocidad angular, la fuerza/par netos son iguales a cero.

Tanto la fuerza como el par son también magnitudes vectoriales con magnitud y dirección. Anteriormente definimos la magnitud del par mediante la ecuación

\[\begin{align}\tau &= Fr_\perp.\final{align}\tau].

Al considerar el par como un vector, debemos utilizar en su lugar la definición vectorial:

\[\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}.\]

Esta ecuación nos dice que el vector par es igual al producto cruzado de los vectores fuerza y posición. La dirección del vector par es a lo largo del eje de rotación, y su signo depende del sentido de rotación; la rotación en sentido antihorario y horario corresponde a un par positivo y negativo respectivamente, suponiendo que la dirección positiva sea hacia arriba.

Derivación del par a partir de la fuerza

Veamos ahora cómo derivamos la ecuación del par partiendo de la segunda ley de Newton con fuerzas. Para esta derivación, consideraremos la rotación de una partícula de masa \(m\) alrededor de un eje de rotación. Empezaremos sustituyendo la relación entre la aceleración y la aceleración angular, \(\vec{a}=\vec{alfa}\veces\vec{r},\) en la segunda ley de Newton del movimiento de traslación:

\[\begin{align} \&= m\vec{a} &= m\vec{alfa}\tiempos\vec{r}. \fin].

Ahora, tomamos el producto cruzado de ambos lados con el vector de posición:

\[\vec{r}\times\vec{F} = m\vec{r}\times(\vec{\alpha}\times\vec{r}).\]

Podemos simplificar esta ecuación utilizando la siguiente identidad de producto cruzado:

\[\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=(\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}.\]

Utilizando esta regla obtenemos

\[\vec{r}\times\vec{F} = m(\vec{r}\cdot\vec{r})\vec{\alpha}-m(\vec{r}\cdot\vec{\alpha})\vec{r} .\]

El primer producto escalar, \(\vec{r}\cdot\vec{r},\) se convierte en la magnitud del vector posición al cuadrado, \(r^2.\) Como el vector aceleración, \(\vec{alpha},\) apunta a lo largo del eje de rotación, y el vector posición, \(\vec{r}\) apunta perpendicular a él a lo largo del plano de rotación, el producto escalar entre ambos es cero: \(\vec{r}\cdot\vec{\alpha}=0.\) Así, nuestra ecuación se convierte en:

\[\vec{r}\veces\vec{F} = mr^2\vec{\alpha}.\]

Reconocemos \(mr^2\) como el momento de inercia de la partícula en torno a su eje de rotación, por lo que podemos escribir:

\[\begin{align*}\vec{r}\times\vec{F} &= I\vec{\alpha}\\&=\vec{\tau}.\end{align*}\]

Por tanto, el momento de torsión sobre la partícula en torno al eje de rotación es

\[\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}.\]

Podemos utilizar otra regla de producto cruzado para llegar a la ecuación que hemos utilizado antes en términos del brazo de palanca. La identidad de producto cruzado que utilizamos es

\[\vec{a} \vec{b} = \lvert \vec{a} \rvert \lvert \vec{b} \rvert \sin(\theta),\] por lo que la ecuación del par puede escribirse:

\[\begin{align*}\vec{\tau}&=\vec{r}\times\vec{F}\\&=\lvert \vec{r} \rvert \lvert \vec{F} \F, F, F, F, F, F, F, F, F, F, F, F, F, F, F, F, F, F, F, F, F, F, F, F, F, F, F, F, F, F, F, F, F, F, F, F, F, F, F, F, F, F, F, F, F, F, F, F, F, F.

Mediciones de fuerza y par

Podemos realizar mediciones de fuerza y par utilizando determinados instrumentos en un laboratorio. Para medir la fuerza, un medidor de fuerza habitual es el medidor de muelle. Contiene un muelle y un gancho para sujetarlo al objeto que se va a medir, y proporciona la fuerza necesaria (en newtons) para estirar el muelle. Las mediciones de par pueden realizarse utilizando un sensor de par. Los sensores de par utilizan un sensor o transductor para medir el par sobre un objeto y emiten el par en newtonmetros.

Fig. 4 - Un sensor de fuerza utilizado para medir la fuerza aplicada.