Segunda Ley de Newton en Forma Angular

Par y fuerza

El par es el análogo rotacional de la fuerza, porque es la medida de la fuerza necesaria para que un objeto empiece a girar alrededor de un eje. Al igual que en el movimiento lineal, donde una fuerza provoca la aceleración de un objeto, el par provoca la aceleración angular de un objeto.

El par puede definirse mediante tres fórmulas.

1. Fórmula del producto cruzado,
2. Fórmula de la Magnitud,
3. Fórmula de la Segunda Ley de Newtons.

Fórmula del producto cruzado

La definición de producto cruzado del par se expresa mediante la ecuación

$$\vec{\tau}=\vec{r} \veces \vec{F}$$

donde \ ( \vec{r} \) es el brazo de palancamedido en \( \mathrm{m}\) y \( \vec{F} \) es la fuerza aplicada medida en \( \mathrm{N}. \)

Es importante reconocer que producto cruzado es otro término para producto vectorial, lo que indica que tanto \( r \) como \( F \) son cantidades vectoriales.

Fórmula de la magnitud

Como resultado del producto cruzado, la definición de magnitud del par se expresa mediante la ecuación

$$\tau=rF\sin\theta$$

donde \( r \ ) es el brazo de palanca, \ ( F \) es la fuerza aplicada, y \ ( \theta \) es el ángulo entre el brazo de palanca y la fuerza aplicada. Las variables \ ( r \) y \( F \) ya no representan vectores, sino que corresponden a la magnitud de cada vector.

Aceleración angular y aceleración lineal

La aceleración angular es el equivalente rotacional de la aceleración lineal.

Esta relación se expresa mediante la fórmula \( a=\alfa{r} \) que puede reescribirse como \( \alfa=\frac{a}{r} \) donde \( r \) representa el radio.

La fórmula matemática correspondiente a esta definición es

$$\alpha=\frac{\Delta{\omega}}{\Delta{t}}$$ donde \( \omega \) es la velocidad angular y \( t \) es el tiempo.

Momento de inercia y masa

El análogo rotacional de la masa es la inercia. El momento de inercia de un objeto describe cómo se distribuye la masa respecto al eje de rotación. Por su parte, la masa describe la cantidad de materia que contiene un objeto.

Las fórmulas relativas al momento de inercia de un objeto variarán en función de la forma del objeto. Por ejemplo, el momento de inercia de una masa puntual a una distancia \(r\) del eje de rotación viene dado por \( I=mr^2. \) Esta fórmula es importante porque es la base de todas las demás fórmulas de inercia, ya que los objetos pueden construirse a partir de conjuntos de masas puntuales.

Fórmula de la segunda ley de Newton para la rotación

La ecuación de la segunda ley de Newton en forma angular se expresa como

$$\tau =I\alfa$$

donde \ ( \tau \) es el par neto total medido en \( \mathrm{N,m} \), \( I \) es el momento de inercia medido en \( \mathrm{kg},{m^2} \) y \ ( \alpha \) es la aceleración angular medida en \( \mathrm{frac{rad}{s^2}. \)

Significado de la Segunda Ley de Newton en forma angular

La segunda ley de Newton en forma angular establece que la aceleración angular es proporcional al par e inversamente proporcional al momento de inercia. Esta relación puede verse si se reescribe la ecuación en términos de aceleración angular como \( \alpha= \frac{\tau}{I} \). Esto significa que un par mayor implica una aceleración angular mayor, y un momento de inercia mayor implica una aceleración angular menor. ¡Esto último es lo que ocurre con tu carrito de la compra!

Demostración de la Segunda Ley de Newton en forma angular

Para demostrar que la segunda ley de Newton puede escribirse en forma angular, consideremos este ejemplo. Un objeto de masa \( m\) gira alrededor de un eje y se ejerce una fuerza a una distancia \( r \) del eje. Sabemos que el objeto está constreñido a girar en un movimiento circular como consecuencia del eje fijo y suponemos que la fuerza es tangente al círculo. Por tanto, el uso de esta información junto con la relación entre la aceleración lineal y la angular, \( a=\alpha{r} \), permite reescribir la ecuación de la siguiente manera:

\[\begin{align*}F&=ma,\\\ rF&=rma,\\ rF&=rm(\alpha r),\ rF&=(mr^2)\alpha,\tau&=I\alpha.\end{align*}]

Así, podemos derivar la forma angular de la segunda ecuación de Newton a partir de la forma lineal.

Aplicaciones habituales de la segunda ley de Newton

Una aplicación habitual de la segunda ley de Newton en forma angular es un tiovivo.

Figura 2: Un tiovivo como ejemplo de la segunda ley de Newton en forma angular.

Si alguna vez has llevado a un niño al parque, habrás demostrado la segunda ley de Newton en forma angular utilizando el tiovivo.Hacer gir arun tiovivo vacío es mucho más fácil que hacer girar uno con niños. ¿Por qué? La respuesta es la segunda ley de Newton en forma angular. Cuando hacemos girar el tiovivo, agarramos su borde y empezamos a aplicar una fuerza perpendicular al radio del tiovivo. Esto nos permite aplicar la máxima cantidad de par necesaria para que el tiovivo acelere. Sin embargo, en cuanto se añade más masa, es decir, los niños se suben a él, el tiovivo acelera con menos facilidad porque la masa adicional da lugar a un momento de inercia mayor. Si quisiéramos aumentar la aceleración angular, tendríamos que aplicar más par (y, por tanto, más fuerza si seguimos agarrados al borde).

Ejemplos de par con la segunda ley de Newton en forma angular

Para resolver problemas relativos a la segunda ley de Newton en forma angular, se puede utilizar la ecuación del par y aplicarla a diferentes problemas. Como hemos definido el par y discutido su relación con el movimiento de rotación, así como con múltiples variables, trabajemos con algunos ejemplos para familiarizarnos con las ecuaciones.

Ten en cuenta que antes de resolver un problema, debemos recordar siempre estos sencillos pasos.

1. Lee el problema e identifica todas las variables que aparecen en él.
2. Determina qué pide el problema y qué fórmulas se necesitan.
3. Aplica las fórmulas necesarias y resuelve el problema.
4. Haz un dibujo si es necesario para proporcionar una ayuda visual.

Ejemplos

Apliquemos nuestros nuevos conocimientos sobre la segunda ley de Newton en forma angular a algunos ejemplos.

Ahora, completemos un ejemplo similar en el que resolvamos el momento de inercia en lugar del par.

Por último, terminemos con un ejemplo algo más complicado utilizando la fórmula del momento de inercia correspondiente a una esfera sólida.