La torsión es la fuerza de giro y rotación de las palancas, los ventiladores giratorios y los planetas en órbita. Cuando la torsión está desequilibrada, observamos cambios en el movimiento de rotación. En este artículo, repasaremos qué es el par, revisaremos las ecuaciones que utilizamos para calcular el par desequilibrado, discutiremos los tipos de problemas más comunes y veremos algunos ejemplos de par desequilibrado.
¿Qué es el par?
Empecemos nuestro debate sobre el par desequilibrado repasando la definición de par. Recordemos que el par es una fuerza que provoca algún tipo de movimiento de rotación, como un movimiento de torsión o de equilibrio.
El par es una fuerza aplicada a cierta distancia de un punto de giro, que provoca un cambio en el movimiento de rotación de un objeto.
El pares una cantidad vectorial medida en unidades de newton-metro, representada por el símbolo \(\mathrm{N\,m}\), o \(\mathrm{\frac{kg\,m^2}{s^2}\). En la vida cotidiana presencias, experimentas y aplicas la torsión con regularidad. Cada vez que utilizas la maneta de un grifo, el pomo de una puerta o el volante, estás aplicando una fuerza a una distancia que provoca un cambio en el movimiento.
Al empujar la puerta desde el lugar donde está el pomo, se aplica torsión, girando la puerta sobre sus bisagras, Wikimedia Commons CC BY-SA 3.0
Veamos cómo la torsión provoca el conocido movimiento de empujar una puerta para abrirla. Una puerta pivota sobre sus bisagras, la pequeña pieza de ferretería que sujeta la puerta a un marco y limita su amplitud de movimiento. Cuando giras el pomo de una puerta, la desenganchas de su marco, lo que te permite aplicar una fuerza de empuje. La distancia entre las bisagras y el punto en que aplicas esa fuerza se denomina brazo de palanca. El resultado de tu empuje es un par aplicado sobre las bisagras perpendicular a la fuerza aplicada con tu empuje, y la puerta se abre.
Un brazo de palanca es la distancia perpendicular (ángulo recto) desde el eje de rotación o fulcro hasta el lugar de una fuerza aplicada.
Esta distancia suele expresarse mediante las variables \(r\) o \(d\). La colocación de los pomos de las puertas en el lado opuesto a los puntos de giro no es un error: al aumentar la distancia entre el punto de giro y el lugar donde aplicamos la fuerza, se reduce la cantidad total de fuerza necesaria para girar la puerta. ¡Eso es torsión en acción! Prueba a empujar una puerta para abrirla a distintas distancias de las bisagras para comprobarlo por ti mismo.
Definiciones de par equilibrado y desequilibrado
Ahora que hemos repasado nuestra comprensión del par, definamos otros dos conceptos relacionados: par equilibrado y desequilibrado.
El parequilibrado se produce cuando los pares y las fuerzas a ambos lados de un punto de giro de un sistema son iguales, lo que da lugar al equilibrio estático del sistema, ya sea en reposo o con aceleración rotacional cero.
Matemáticamente, podemos escribir el par equilibrado como
\begin{align*} \Sigma \tau=\tau_{\mathrm{net}}=0\end{align*}
donde \(\tau_{mathrm{net}}) es el par neto, expresado con la letra griega minúscula tau.
En la vida cotidiana, el par equilibrado puede parecerse a una estantería inmóvil montada en una pared, apoyada en un soporte central. Colocar objetos de peso similar a ambos lados del soporte central mantendrá la estantería en equilibrio estático con pares equilibrados.
Contrastémoslo con el par desequilibrado, que definimos así:
El pardesequilibrado se produce cuando los pares y fuerzas de un sistema no se anulan, lo que provoca una aceleración rotacional en la dirección del par neto.
Matemáticamente, podemos escribir el par desequilibrado como
\iniciar{align*} \Sigma \tau &\neq 0 \tau_{\mathrm{net}}&\neq 0 \end{align*}
Basándonos en nuestro ejemplo de la estantería, podemos crear pares desequilibrados apilando un montón de objetos en el extremo izquierdo de la estantería y dejando vacío el extremo derecho. Si la longitud de la estantería es \(L\), entonces el peso de los objetos apilados debido a la gravedad aplica un par neto a una distancia de \(\frac{L}{2}\) del centro. El par desequilibrado provoca una aceleración rotacional y la estantería pivotará, suponiendo que la estantería pueda pivotar sobre su soporte y no se desprenda simplemente de la pared, por supuesto.
Ecuaciones del par desequilibrado
Ya has visto la mayoría de las ecuaciones del par: el par está desequilibrado cuando el par neto (\tau_{\mathrm{net}}) es distinto de cero en un cálculo. Empecemos recordando la ecuación del par escrita como producto de la fuerza aplicada \(F\), la distancia radial entre el pivote y el punto de fuerza aplicada \(r\), y el ángulo \(\ta\) entre ambos:
\begin{align*} \tau=r_{\perp} F=rF\mathrm{sin\theta} \end{align*}
También tenemos la ecuación para resolver el par con el momento de inercia \(I\) y la aceleración rotacional \(\alpha\):
\Inicio \tau=I \alpha \end{align*}
donde las unidades para el momento de inercia están en \(\mathrm{kg\,m^2}) y las unidades para la aceleración rotacional están en \(\mathrm{\frac{rad}{s^2}). Como el par depende del momento de inercia, no podemos ignorar la forma de un objeto. Podemos utilizar estas dos ecuaciones para calcular el valor del par aplicado en un sistema desequilibrado. Pero recuerda que esto es válido para el par neto, ¡así que asegúrate de prestar atención a lo que estás calculando a lo largo de un problema! Tenemos un último conjunto de ecuaciones que podemos utilizar para calcular el par:
\begin{align*} \F_1r_2&=F_2r_2 \end{align*}
y, si la fuerza en cuestión es la fuerza gravitatoria
\in{align*} m_1gr_1&=m_2gr_2 \in{align*} m_1r_1&=m_2r_2 \end{align*}
Estas ecuaciones son útiles para averiguar qué masa o distancia radial se necesita para equilibrar un sistema con pares desequilibrados.
Rotación provocada por un par desequilibrado
Ahora que hemos visto las ecuaciones que subyacen a los problemas de par desequilibrado, vamos a entrar en más detalles sobre su aspecto conceptual. ¿Recuerdas la ecuación que introdujimos anteriormente, \(\tau=I \alpha\)? El momento de inercia, \(I\), es una medida de la resistencia a los cambios en la velocidad angular de un objeto. Se trata de una importante propiedad determinada por la masa y la distribución de ésta a partir del eje de rotación del objeto.
Si mantenemos constante el momento de inercia, es decir, la cantidad permanecerá invariable, tenemos la siguiente relación entre par y aceleración angular:
\Inicio \tau \propto \alfa \fin{align*}
o lo que es lo mismo, el par es proporcional a la aceleración angular. Esto significa que si el par aumenta, la aceleración angular también lo hará. Esta relación también deja claro que si el par neto es cero, ¡no puede haber aceleración angular!
La regla de la mano derecha muestra la dirección del vector de par. Señalando con los dedos índice y corazón en la dirección del radio y la fuerza aplicada mientras mantienes el pulgar hacia fuera, se mostrará la dirección del par, Wikimedia Commons CC BY-SA 3.0
Por tanto, cuando tenemos un par distinto de cero en un sistema, esta fuerza de torsión desequilibrada dará lugar a un cambio de aceleración rotacional, haciendo que el sistema gire sobre su eje de rotación en la dirección del vector par neto. La dirección del vector par es perpendicular a la fuerza y al radio \(r\) desde el eje. Si no estás seguro de la dirección del par, utiliza la regla de la mano derecha, un práctico truco para verificar la dirección de un vector perpendicular:
Apunta con el dedo índice en la dirección de la distancia radial.
Apunta con el dedo corazón en la dirección de la fuerza aplicada.
Mantén el pulgar estirado. Tu pulgar apuntará en la dirección del vector par.
Si la fuerza aplicada es de rotación alrededor de un eje central, en lugar de ello, curva los dedos desde la dirección de la distancia radial hacia la fuerza aplicada. Esto indicará un movimiento en sentido horario o antihorario. Si mantienes el pulgar hacia fuera, apuntarás en la dirección de la torsión.
Te encontrarás con la regla de la mano derecha a menudo a lo largo de tus estudios de física, así que toma nota de este truco ahora, ¡aunque aún no lo memorices! Es una herramienta importante para los productos cruzados, de los que aprenderás más en cálculo y en cursos de física más avanzados.
Cálculos de par desequilibrado y tipos de problemas
Es probable que te encuentres con algunos problemas de par desequilibrado durante tus estudios de física. Veamos un resumen de algunos tipos de problemas que puedes encontrarte y los pasos que tendrás que dar para abordar estos cálculos de par.
Para cualquier problema, deberás asegurarte de definir siempre cuál es tu sistema y considerar todos los componentes horizontales y verticales de las fuerzas implicadas. El par también puede ser positivo o negativo, así que ¡cuidado con las señales!
Equilibrar un balancín o una palanca en desequilibrio
Un problema clásico de física con par desequilibrado consiste en equilibrar un balancín, o un montaje similar con una tabla encima de un fulcro. Se te puede pedir que equilibres el balancín para que se mantenga en equilibrio rotacional paralelo al suelo, basándote en una serie de condiciones iniciales dadas.
Pensemos en los pasos que tendríamos que dar para abordar este tipo de problema.
¿De qué información disponemos? Es probable que te den tres valores, con una masa o distancia radial desconocidas.
¿Qué cantidad intentamos resolver? Determina cuál es la cantidad que falta, y recuerda que el objetivo es equilibrar el par en ambos lados del balancín. Dibuja un diagrama si es necesario.
¿Qué ecuación debemos utilizar? Depende de la información dada inicialmente. En muchos casos, será \(m_1r_1=m_2r_2\), ¡pero presta atención a las variables con las que empiezas!
Aísla la variable desconocida y resuelve.
Equilibrar el par en un móvil
Equilibrar un móvil es un tipo de problema similar a equilibrar un balancín, pero a menudo con varios niveles de masas colgantes, siendo cada nivel su propia palanca. En un problema móvil, el número de objetos que cuelgan de cada barra puede no ser el mismo. Estos tipos de cálculos de torsión son esencialmente una extensión del simple escenario del balancín.
Crear un móvil implica equilibrar masas colgantes en diferentes brazos de palanca, Daniel X. O'Neil vía Flickr CC BY 2.0
¿Cómo podríamos resolver este tipo de problema? De nuevo, consideremos los distintos componentes y lo que tenemos que hacer para equilibrar los pares.
Dibuja o examina un diagrama del móvil. En estos problemas, siempre se te darán las longitudes de las varillas, así como los brazos de palanca (la distancia de la cuerda a cada objeto colgante). Los brazos de palanca no siempre serán iguales a la mitad de la longitud de las barras. También se te dará el peso de un lado de la grada inferior a ser.
Ignora el peso de cada varilla y trozo de cuerda y considera sólo el peso de los objetos que cuelgan de las varillas. Recuerda que la fuerza en cuestión es la gravedad, así que si nos dan el peso para empezar, querremos utilizar la forma \(F_1r_1=F_2r_2\) de la ecuación del par.
Empezando por la grada colgante más baja, aplica la ecuación de equilibrio de la torsión y resuelve el peso que falta.
Sube por cada grada y calcula el siguiente peso que mantendrá el móvil en equilibrio. A medida que vayas subiendo, asegúrate de utilizar el peso total de la hilera anterior para hallar el valor del siguiente nivel.
Rellena el diagrama con cada valor hasta que hayas calculado todos los pesos. ¡Ya has equilibrado el móvil colgante!
Problemas de la segunda ley con par e inercia rotacional
Un último tipo de problemacon el que probablemente te encuentres es análogo ala segunda ley de Newton. Recuerda quela segunda ley del movimiento de Newton establece que la suma de las fuerzas es proporcional a la aceleración e inversamente proporcional a la masa de un objeto:
\begin{align*} a=\frac{F_{\mathrm{net}}}{m} \fin{align*}
donde \(a\) es la aceleración lineal.La segunda ley de Newtonpuede ampliarse fácilmente para formar la segunda ley del movimiento de rotación, sabiendo que la suma de los pares es proporcional a la aceleración angular e inversamente proporcional al momento de inercia:
\begin{align*} a=\frac{\tau_{\mathrm{net}}}{I} \fin{align*}
En este tipo de problemas, esprobable que trabajes con información diferente para empezar. Aún podemos equilibrar los pares, aunqueno empecemos conociendo las masas y las distancias radiales -recuerdaque siempre y cuando los pares de ambos lados sean iguales entre sí:
\begin{align*} \tau_1=\tau_2 fin
entonces podemos resolver la incógnita que quede.
En muchos problemas de torsión no equilibrarás un sistema hasta alcanzar el equilibrio estático. En su lugar, tendrás que encontrar el par neto conociendo la forma del objeto y la información sobre la aceleración rotacional o alguna otra variación de este cálculo del par.
Ejemplos de par desequilibrado
Terminemos nuestra discusión sobre el par desequilibrado con un ejemplo, empezando por el problema de un balancín desequilibrado.
Un niño que pesa \(\mathrm{30\,kg}) está sentado en un extremo de un balancín de \(\mathrm{2,5\,m}) de longitud. El punto de apoyo del balancín está situado exactamente en el centro. ¿A qué distancia del pivote debe sentarse un segundo niño que pese \(\mathrm{42\},kg) para equilibrar el balancín paralelo al suelo?
Queremos resolver para que los pares sean iguales a ambos lados de la ecuación:
\begin{align*} F_1r_1=F_2r_2 \end{align*}
y como nos dan el peso, podemos introducir estos números para la fuerza gravitatoria que causa los pares. Recuerda que, en el lenguaje cotidiano, solemos expresar el peso en kilogramos o libras. Sin embargo, el peso debido a la gravedad es en realidad newtons o libras-fuerza. Otro componente en el que hay que pensar es el ángulo; en este caso, el ángulo para que el balancín sea paralelo al suelo es \(\theta=90^\circ\), y como \(\mathrm{sin(90^\circ)=1}\), el ángulo no cambia nuestro cálculo.
El niño de un extremo se encuentra a una distancia de \(\mathrm{\frac{2,5\,m}{2}=1,25\,m}\). Uniendo todo esto, encontramos
\[\begin{align} r_2 &= \frac{F_1r_1}{F_2} |mathrm{0,89\\},m} &= \mathrm{\frac{30\},N\cdot1,25\},m}{42\},N}. \fin]]
Por tanto, el segundo niño tendrá que sentarse mucho más cerca del centro del balancín para reducir el par causado por su peso y hacer que el sistema sea estable.
Veamos otro ejemplo, esta vez calculando el par neto de un objeto en rotación con aceleración distinta de cero.
Una esfera maciza con masa \(m=3,0,\mathrm{kg}\) y radio \(r=0,50,\mathrm{m}\) tiene un momento de inercia de \(I=\frac{2}{5}mr^2\). Si el par neto sobre la esfera es \(50\,\mathrm{N\,m}\), ¿cuál es la aceleración angular?
Para este problema, utilizaremos la siguiente ecuación de par:
\begin{align*} \tau_{mathrm{net}} &=I{alpha} \tau_{mathrm{frac{\tau_{net}}&=I{alpha} \end{align*}
Introduciendo nuestros valores conocidos, hallamos
\Inicio \alpha &= \mathrm{\frac{50\,\frac{kg\,m^2}{s^2}}{\frac{2}{5}(3\,kg\cdot(0.5\,m)^2)}} \\ &= \mathrm{83,\frac{rad}{s^2} \fin{align}
Recuerda que los radianes son unidades adimensionales, por lo que nuestras unidades se cancelan a \(\mathrm{\frac{1}{s^2}}).
Veamos otro ejemplo rápido sobre cómo influye la forma de un objeto en la aceleración rotacional y el par.
Soltamos tres objetos desde el reposo en la cima de una colina: una esfera hueca (cascarón esférico delgado), un cascarón cilíndrico delgado de grosor despreciable y un cilindro macizo. Los momentos de inercia de estos objetos son \(I_{mathrm{sph.\}, cáscara}=\frac{2}{3}mr^2), \(I_{mathrm{cyl.\}, cáscara}=mr^2), y \(I_{mathrm{solid.\}, cilindro}=\frac{1}{2}mr^2). ¿Qué objeto llegará primero al fondo? ¿Qué objeto llegará el último?
Para este problema, queremos comparar los momentos relativos de inercia. Recuerda las relaciones entre la aceleración angular, el momento de inercia y el par:
\begin{align*} \tau &\propto \tau &\propto \frac{1}{I} \fin{align*}
Sabiendo esto, esperamos que el objeto con menor momento de inercia llegue más rápido al pie de la colina. Uniendo todo esto, obtenemos
\begin{align*} I_{\mathrm{sólido}, cil.}} &\geq I_{\mathrm{esf.\}, cáscara}} \y la concha. \\ & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ≥ \y el término Alfa Matrm Sólido, Cil. \fin{align*}
Como el cilindro macizo tiene la mayor masa cerca de su eje de rotación, el cilindro macizo acelerará más rápido y llegará primero al fondo. La envoltura cilíndrica tiene toda su masa a una distancia \(r\) de su eje de rotación y tiene el mayor momento de inercia.
Cuando calcules el par y resuelvas problemas de equilibrio estático, ten en cuenta que el par se calcula en un punto de giro concreto. En condiciones de equilibrio estático, el par neto siempre será cero sobre todos los puntos de giro, lo que significa que tenemos libertad para elegir un punto de giro en el que los cálculos sean más sencillos, ¡como cuando algunos pares ya están anulados!
Par desequilibrado - Puntos clave a tener en cuenta
- El par es una magnitud vectorial que mide una fuerza de torsión aplicada a un cuerpo, que provoca un cambio en el movimiento de rotación.
- El par equilibrado se produce cuando las fuerzas que actúan a ambos lados de un fulcro o punto de rotación son iguales, por lo que no se produce ningún cambio en el movimiento.
- El par desequilibrado se produce cuando las fuerzas aplicadas no se equilibran y tienen una fuerza neta en una dirección, lo que provoca cambios en la aceleración rotacional.
- Algunos tipos comunes de problemas que implican un par desequilibrado incluyen equilibrar un balancín, equilibrar un móvil colgante de varios niveles y otras aplicaciones de la segunda ley de Newton para el movimiento de rotación.
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