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Los molinos de viento son grandes estructuras que todos hemos visto, pero ¿sabías que se basan en la energía mecánica para hacer su trabajo? Los molinos de viento utilizan la energía mecánica y el trabajo para proporcionarnos electricidad mediante una serie de acontecimientos. Empezando por el viento, cuando sopla, posee cierta cantidad de energía cinética. Esta energía cinética, convertida posteriormente en energía mecánica, permite al viento realizar "trabajo" y hacer girar las grandes aspas del ventilador. Las aspas, conectadas a un engranaje que hace girar un generador, producen electricidad. Esta electricidad es convertida al voltaje correcto, para nuestros hogares, por un transformador. Una vez completada, la electricidad es almacenada o distribuida a nuestros hogares por la red eléctrica de la que tanto dependemos en nuestra vida cotidiana. Por tanto, utilicemos este ejemplo como punto de partida para comprender la energía mecánica, e introduzcamos definiciones y ejemplos que ayuden a ampliar nuestros conocimientos sobre el tema.
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Regístrate gratis¿Cuál de las siguientes fórmulas matemáticas corresponde a la definición de energía mecánica total?
Si la energía potencial total es negativa y su magnitud es mayor que la energía cinética total, la energía mecánica total será ____.
La energía potencial de un esquiador que desciende por una pendiente es ___.
¿Cuál de los siguientes tipos de energía está asociado a las fuerzas conservativas?
____ es la suma de toda la energía potencial y cinética de un sistema.
___ es la capacidad de un sistema para realizar un trabajo.
____ mide la cantidad de energía transferida como resultado del desplazamiento de un objeto a cierta distancia debido a una fuerza externa.
¿Cuál de las siguientes es la fórmula matemática correspondiente a la energía cinética?
La fórmula matemática correspondiente a la energía potencial, ¿cuál de las siguientes es?
Un sistema que contenga un único objeto tendrá tanto energía cinética como potencial.
¿Cuál de las siguientes fórmulas matemáticas corresponde a la definición de energía mecánica total?
Si la energía potencial total es negativa y su magnitud es mayor que la energía cinética total, la energía mecánica total será ____.
La energía potencial de un esquiador que desciende por una pendiente es ___.
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Un sistema que contenga un único objeto tendrá tanto energía cinética como potencial.
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Equipo de profesores de Energía Mecánica Total
Fig. 1 - Los molinos de viento utilizan energía mecánica para producir electricidad.
La energía es un término que oímos a menudo, pero quizá no estemos familiarizados con su definición técnica. Por tanto, antes de profundizar en la energía mecánica, definamos la energía.
Laenergía es la capacidad de un sistema para realizar un trabajo.
A partir de esta definición, pasamos directamente al"trabajo", sin juego de palabras.
Eltrabajo es la cantidad de energía transferida cuando un objeto se desplaza cierta distancia debido a una fuerza externa.
La energía y el trabajo, ambas cantidades escalares, tienen la misma unidad correspondiente en el SI, los julios denotados por J.
Energía es un término amplio que engloba muchas formas diferentes de energía. Sin embargo, en el marco de la mecánica newtoniana, la energía puede clasificarse en cinética o potencial.
Laenergía cinética es la energía asociada al movimiento.
Una forma fácil de recordar esta definición es recordar que la palabra cinética significa movimiento. Ahora bien, la fórmula correspondiente a esta definición es
$$K=\frac{1}{2}mv^2,$$
donde \( m \) es la masa medida en \( \mathrm{kg} \) y \( v \) es la velocidad medida en \( \mathrm{frac{m}{s}. \) Sin embargo, es importante comprender que esta fórmula corresponde a energía cinética traslacional, la energía debida al movimiento lineal. La energía cinética también puede expresarse en términos de movimiento de rotación. La fórmula correspondiente para la energía cinética rotacional es
$$K_{\text{rot}}=\frac{1}{2}I\omega^2,$$
donde \( I \) es el momento de inercia medido en \( \mathrm{kg\,m^2} \) y \( \omega \) es la velocidad angular medida en \( \mathrm{\frac{rad}{s}. \)
En cambio, la energía potencial se centra en la posición y no en el movimiento.
La energíapotencial es la energía debida a la posición de un objeto.
La fórmula matemática de la energía potencial varía según las circunstancias de un sistema. Por ello, vamos a repasar algunas formas diferentes y a discutir sus fórmulas. Una de las formas más comunes es la energía potencial gravitatoria.
La energía potencialgravitatoria es la energía de un objeto debida a su altura vertical.
La energía potencial gravitatoria corresponde a la fórmula $$U=mgh,$$
donde \( m \) es la masa medida en \( \mathrm{kg} \), \( g \) es la aceleración debida a la gravedad, y \( h \) es la altura medida en \( \mathrm{m} \). Observa que la masa y la altura están directamente relacionadas con la energía potencial gravitatoria. Cuanto mayores sean los valores de masa y altura, mayor será el valor de la energía potencial.
Sin embargo, la energía potencial gravitatoria también puede definirse en términos de cálculo. La definición de cálculo describe la relación entre las fuerzas conservativas ejercidas sobre un sistema y la energía potencial gravitatoria, \( \Delta U =-\int \vec{F}(x)\cdot \mathrm{d}\vec{x}. \) Esta integral es igual al trabajo necesario para moverse entre dos puntos y describe el cambio en la energía potencial gravitatoria. Si utilizamos esto junto con nuestro conocimiento de que la energía potencial gravitatoria es igual a \( U=mgh \), podemos mostrar cómo se utiliza la definición de cálculo para derivar la ecuación más sencilla de la energía potencial gravitatoria:
$$\Delta U =-\int_{h_0}^h (-mg)\mathrm{d}y= (mgh-mgh_0).$$
Si \( h_0 \) se fija en cero para representar el suelo, la ecuación se convierte en
$$\Delta U= mgh,$$
la fórmula más sencilla para determinar la energía potencial gravitatoria.
Es importante observar que el signo negativo de la integral indica que la fuerza que actúa sobre el sistema es menos la derivada, \( F= -\frac{\mathrm{d}U(x)}{\mathrm{d}x} \), de la función de energía potencial gravitatoria, \( \Delta U \). Esto significa esencialmente que es menos la pendiente de una curva de energía potencial.
Otra forma bastante común de energía potencial es la energía potencial elástica.
La energía potencial elástica es la energía almacenada en un objeto debido a su capacidad de estirarse o comprimirse.
Su fórmula matemática correspondiente es $$U=\frac{1}{2}k\Delta{x}^2,$$
donde \( k \) es la constante del muelle y \( x \) es la compresión o elongación del muelle. La energía potencial elástica está directamente relacionada con la cantidad de estiramiento de un muelle. Cuanto mayor es el estiramiento, mayor es la energía potencial elástica.
Como ya hemos dicho, la energía potencial está asociada a las fuerzas conservativas, por lo que debemos hablar de ellas con más detalle. Una fuerza conservativa , como una fuerza gravitatoria o elástica, es una fuerza en la que el trabajo sólo depende de las configuraciones inicial y final del sistema. El trabajo no depende de la trayectoria que sigue el objeto que recibe la fuerza; sólo depende de las posiciones inicial y final del objeto. Si se aplica una fuerza conservativa al sistema, el trabajo puede expresarse en términos de, $$W_\text{conservativo}={-\Delta U} = {\Delta K},$$ donde ( -\Delta{U} \) es menos el cambio en la energía potencial y \( \Delta K \) es el cambio en la energía cinética.
También podemos definir las fuerzas conservativas en términos de cálculo como menos la derivada espacial del potencial. Ahora bien, esto puede parecer complicado, pero en esencia significa que podemos determinar qué fuerza conservativa actúa sobre el sistema a partir de la derivada espacial, \( -\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}x}= F(x). \) Esta derivada también puede escribirse en forma integral como, \( U(x)=-\int_{a}^{b}F(x)dx. \) que tomamos como definición de energía potencial. Hagamos un ejemplo rápido para ayudar a nuestra comprensión.
Si se deja caer una pelota desde una altura vertical, sabemos que tiene energía potencial gravitatoria, \( U=mgh. \) Ahora bien, si se nos pide que determinemos la fuerza conservativa que actúa sobre la pelota, podemos tomar la derivada espacial.
Solución
$$-\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}x}= {\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}h}}(mgh)=-mg=F$$
donde \( F=-mg, \) representa una fuerza gravitatoria que sabemos que es conservativa.
Como hemos definido varios tipos de energía, también debemos discutir un concepto clave correspondiente a la energía. Este concepto es la conservación de la energía , que afirma que la energía no puede crearse ni destruirse.
Conservación de la energía: La energía mecánica total, que es la suma de toda la energía potencial y cinética, de un sistema permanece constante cuando se excluyen las fuerzas disipativas.
Las fuerzas disipativas son fuerzas no conservativas, como la fricción o las fuerzas de arrastre, en las que el trabajo depende de la trayectoria que recorre un objeto.
Al calcular la energía mecánica total de un sistema, se utiliza la siguiente fórmula:
$$K_\mathrm{i} + U_\mathrm{i}= K_\mathrm{f} + U_\mathrm{f}$$
donde \( K \) es la energía cinética y \( U \) es la energía potencial. Esta ecuación no se aplica a un sistema formado por un solo objeto porque, en ese tipo concreto de sistema, los objetos sólo tienen energía cinética. Esta fórmula sólo se utiliza para sistemas en los que las interacciones entre objetos están causadas por fuerzas conservativas, fuerzas en las que el trabajo es independiente de la trayectoria que recorre un objeto, porque entonces el sistema puede tener tanto energía cinética como potencial.
Ahora bien, si un sistema está aislado, la energía total del sistema permanece constante porque se excluyen las fuerzas no conservativas y el trabajo neto realizado sobre el sistema es igual a cero. Sin embargo, si un sistema está abierto, la energía se transforma. Aunque la cantidad de energía de un sistema permanece constante, la energía se transforma en formas diferentes cuando se realiza trabajo. El trabajo realizado sobre un sistema provoca cambios en la energía mecánica total debidos a la energía interna.
La energía interna total es la suma de todas las energías que componen un objeto.
La energía interna total cambia debido a las fuerzas disipativas. Estas fuerzas hacen que aumente la energía interna de un sistema al tiempo que hacen que disminuya la energía mecánica total del sistema. Por ejemplo, una caja, sometida a una fuerza de rozamiento, se desliza a lo largo de una mesa, pero finalmente se detiene porque su energía cinética se transforma en energía interna. Por tanto, para calcular la energía mecánica total de un sistema en el que se realiza trabajo, se utiliza la fórmula
\( K_\mathrm{i} + U_\mathrm{i}= K_\mathrm{f} + U_\mathrm{f} + {\Delta{E} \), para tener en cuenta esta transferencia de energía. Observa que \( {\Delta{E}} \) representa el trabajo realizado sobre el sistema que provoca un cambio en la energía interna.
Ahora que ya hemos hablado a fondo de la energía, identificado los distintos tipos de energía y discutido la conservación de la energía, vamos a sumergirnos en el concepto de energía mecánica total.
La energía mecánica total es la suma de toda la energía potencial y cinética de un sistema.
La fórmula matemática correspondiente a la definición de energía mecánica total es
\E_{texto{total}&= K + U,E_{texto{total}= K_{texto{inicial}} + U_{texto}{inicial} &= K_{texto}{final} + U_{\text{final}},\\\end{align}
donde \( K \) representa la energía cinética y \( U \) representa la energía potencial. La energía mecánica total puede ser positiva o negativa. Sin embargo, ten en cuenta que la energía mecánica total sólo puede ser negativa si la energía potencial total es negativa, y su magnitud es mayor que la energía cinética total.
La unidad SI correspondiente a la energía mecánica total son los julios, denotados por \( \mathrm{J}\).
Para construir un gráfico que represente la energía mecánica total de un sistema, utilicemos el ejemplo de un pequeño esquiador atrapado en una bola de nieve, como el genio de Aladino de Disney, que se desliza por una pendiente en la que no se tiene en cuenta la fricción.
Fig. 2 - Gráfico que representa la energía mecánica total de un esquiador.
En la parte superior de la pendiente, el esquiador tendrá una energía potencial elevada porque la altura está en su valor máximo. Sin embargo, a medida que el esquiador se desliza hacia la parte inferior de la pendiente, su energía potencial disminuye a medida que disminuye la altura. En comparación, el esquiador comienza con una energía cinética baja porque inicialmente está en reposo, pero a medida que se desliza hacia abajo la energía cinética aumenta. La energía cinética aumenta como consecuencia de la disminución de la energía potencial, ya que la energía no puede crearse ni destruirse, tal y como establece el principio de conservación de la energía. Por lo tanto, la energía potencial perdida se convierte en energía cinética. Como resultado, la energía mecánica total del esquiador es constante porque la energía cinética más la potencial no cambian.
Para resolver problemas de energía mecánica total, se puede utilizar la ecuación de la energía mecánica total y aplicarla a distintos problemas. Ya que hemos definido la energía mecánica total, vamos a trabajar con algunos ejemplos para comprender mejor la energía mecánica total. Ten en cuenta que antes de resolver un problema, debemos recordar siempre estos sencillos pasos:
Apliquemos nuestros nuevos conocimientos a algunos ejemplos.
Una bola \( 6,0,\mathrm{kg} \), inicialmente en reposo, se desliza por una colina \( 15,\mathrm{m} \) sin rozamiento. Calcula la velocidad final de la bola.
Fig. 3 - Cálculo de la velocidad final de una bola mediante la fórmula de la energía mecánica total.
Según el problema, se nos da lo siguiente
Como resultado, podemos identificar la ecuación, \( K_{{texto{inicial}} + U_{{texto{inicial}} = K_{{texto{final}} + U_{texto{final}}, \) y utilizarla para calcular la velocidad final de la bola. Observa que la energía cinética inicial es cero, ya que la pelota tiene una velocidad inicial cero, y la energía potencial final es cero, ya que la pelota llega al suelo, lo que indica una altura cero. Por tanto, podemos calcular lo siguiente para hallar la velocidad final \(v\):
\begin{align}K_{\text{initial}} + U_{{texto{inicial}} &= K_{{texto{final}} + U_{{texto{final}}, 0,00} + (6.0\,\mathrm{kg})\left(9.8\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\right)(15\,\mathrm{m})&=\frac{1}{2}(6.0\,\mathrm{kg})v^2 +0\,\mathrm{J},\\ 8.8\times 10^2\,\mathrm{J}&=3.0v^2,\\v^2&=\left(\frac{8.8\times 10^2}{3.0}\right)\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}},\\v&=17\,\mathrm{\frac{m}{s}}.\\\end{align}
Intentemos un ejemplo un poco más complicado.
Un péndulo, mostrado en la Fig. 4, inicialmente en reposo, se suelta desde la Posición 1 y comienza a oscilar hacia delante y hacia atrás sin fricción. Utilizando la figura siguiente, calcula la energía mecánica total del péndulo. La masa de la bobina es \(m\), la aceleración gravitatoria es \(g\), y podemos considerar que la energía potencial del péndulo es \(0\,\mathrm{J}\) en la Posición 2.
El movimiento del péndulo se divide en tres posiciones.
Posición 1
\U_1&= mgh=mg(L-L')\&=mg(L-L \costheta)= mgL-mgL \costheta.\pend{align}
El péndulo tiene energía cinética cero porque inicialmente está en reposo, lo que indica que su velocidad inicial es cero. Para calcular la energía potencial, debemos elegir el eje x para que esté donde \( h=0. \) Cuando hagamos esto, podremos hallar el valor de \( h \) utilizando el triángulo rectángulo que se ve en la imagen. La distancia total del péndulo está representada por \( L, \) por tanto, podemos calcular \( h \) utilizando la función trigonométrica del coseno para un triángulo rectángulo. Esta función establece que el coseno del ángulo es igual a \( h \) sobre \( L,\) permitiéndonos resolver para \( h. \)
\inicio{align}\cos\theta &= \frac{h}{L},\ h&=L \cos\theta\\\fin{align}
Por tanto, la diferencia de altura entre las posiciones uno y dos,\( L' \) se calcula como sigue
\begin{align}L'&=L-h,\\L'&=L-L \cos\theta,\\\end{align}
que puede insertarse en la ecuación de la energía potencial gravitatoria.
Posición dos
\K_2&= mgL-mgL \cos\theta,\\U_2&= 0\,\mathrm{J}\pend{align}
Como la energía potencial en esta posición es cero, la energía cinética debe ser igual a la energía mecánica total, que ya calculamos en la posición anterior.
Posición 3
\K_3&= 0\,\mathrm{J}, U_3&= mgh= mgL-mgL.
Esta posición es equivalente a la posición uno. El péndulo tiene energía cinética cero porque se queda momentáneamente inmóvil: su velocidad es cero. Como resultado, la energía mecánica total del péndulo puede calcularse observando la posición 1, \( E_{{text{total}}= K_{1}} + U_{1}}), o la posición 3, \( E_{text{total}}= K_{3}} + U_{3}}).
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