Fuerza y Energía Potencial

Relación entre fuerzas y energía potencial

Para que un sistema tenga energía potencial, debe haber una o varias fuerzas conservativas que actúen sobre los objetos del sistema. Una fuerza conservativa es una fuerza por la que el trabajo realizado es independiente de la trayectoria y reversible.

Cuando una fuerza conservativa como la gravedad actúa sobre un objeto, se almacena energía potencial que puede convertirse en energía cinética para invertir posteriormente el trabajo realizado. Cuando una fuerza no conservativa, como la fricción, actúa sobre un objeto, la energía cinética se convierte en energía térmica, y no podemos recuperar la energía térmica disipada. Así pues, la energía potencial sólo se almacena en el sistema cuando hay una fuerza conservativa que actúa sobre los objetos del sistema. Si sobre los objetos del sistema sólo actúan fuerzas no conservativas, no hay energía potencial en el sistema.

Tipos de fuerzas que proporcionan energía potencial

Algunas fuerzas conservativas comunes que utilizamos en los problemas de física son la fuerza de la gravedad, la fuerza de los muelles y la fuerza eléctrica. Como ya se ha dicho, cuando estas fuerzas actúan sobre los objetos de un sistema, éste tiene energía potencial. Algunos ejemplos de fuerzas no conservativas son la fricción, la resistencia del aire y la fuerza de empuje/tracción. Cuando estas fuerzas actúan sobre los objetos de un sistema, la energía potencial no se almacena, sino que parte de la energía se pierde en otras formas de energía, como el calor. Encontrarás más detalles sobre las fuerzas conservativas y no conservativas en los artículos "Fuerzas conservativas" y "Fuerzas disipativas".

Fórmula de las fuerzas y la energía potencial

Para desarrollar una fórmula que relacione las fuerzas conservativas que actúan sobre los objetos de un sistema con la energía potencial, consideremos cómo se relaciona el trabajo realizado por las fuerzas con la energía potencial. Cuando se realiza un trabajo sobre los objetos de un sistema, éstos experimentan un desplazamiento. Si el trabajo fue realizado por una fuerza conservativa, se producirá un cambio en la energía potencial desde la ubicación inicial respecto a la ubicación final del objeto. El trabajo realizado por fuerzas conservativas, \(W\), es igual a menos el cambio de energía potencial, \(-\Delta U\), del sistema:

\[W=-\Delta U.\]

Recordemos que el trabajo realizado por una fuerza se halla multiplicando la fuerza por el desplazamiento si se trata de una fuerza constante, y si se trata de una fuerza variable tomamos la integral de la fuerza respecto a la distancia:

\[W=\int_\vec{a}^\vec{b}\vec{F}(\vec{r})\cdot\mathrm{d}\vec{r}.\]

En esta ecuación, \(\vec{F}(\vec{r})\) es el vector fuerza, \(\vec{r}\) es el vector distancia, y \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\) son las posiciones inicial y final. Para simplificar un poco el problema, sólo consideraremos el movimiento en una dimensión espacial, por lo que utilizaremos

\[W=\int_{x_1}^{x_2}F(x)\,\mathrm{d}x.\]

Sustituyendo esto en nuestra ecuación anterior obtenemos

\[\Delta U=-\int_{x_1}^{x_2}F(x)\,\mathrm{d}x.\]

Utilizamos esta ecuación cuando intentamos resolver el cambio de energía potencial de un sistema. A veces nos dan la función de la energía potencial, y en ese caso querríamos resolver la función de fuerza. En este caso, aproximaremos que \(W=F(x)\Delta x,\) donde \(\Delta x\) es un pequeño cambio en la distancia. Se trata de una aproximación porque \(F(x)\) podría variar un poco con el cambio de distancia. Ahora lo sustituiremos en nuestra primera ecuación que relaciona el trabajo y el cambio de energía potencial: \[\begin{align*}W&=-\Delta U\\F(x)\Delta x&=-\Delta U\F(x)&=\frac{-\Delta U}{\Delta x}.\end{align*}\]

Si consideramos un cambio muy pequeño en la distancia, podemos tomar el límite como \(\Delta x \a 0,\) Entonces nuestra ecuación se convierte en: \F(x)&=lim_{\Delta x\}a 0}(-\frac{\Delta U}{\Delta x})&=-\frac{\mathrm{d}U(x)}{\mathrm{d}x}.\end{align*}]Esto ya no es una aproximación porque no hay variación en \(F(x)\) en el límite en que \(\Delta x \a 0.\De esta relación se deduce que la fuerza de un objeto puede hallarse restando la pendiente de la función de la energía potencial respecto a la posición.

Fuerzas y funciones de energía potencial

En el apartado anterior, encontramos funciones para el cambio de energía potencial de un sistema y la fuerza conservativa que actúa sobre un objeto del sistema. En resumen, estas funciones son

\[\begin{align} \Delta U&=-\int_{x_1}^{x_2}F(x)\,\mathrm{d}x,\\ F(x)&=-\frac{\mathrm{d} U(x)}{\mathrm{d} x}.\end{align}\]

Análisis unitario de la energía potencial

En uno de los ejemplos anteriores, encontramos que la energía potencial gravitatoria viene dada por \(U=mgh\). Consideremos las unidades de esa cantidad para determinar las unidades de la energía potencial. La masa de un objeto se representa por \(m\), y su unidad SI es\(\mathrm{kg}\). La aceleración gravitatoria se representa por \(g\) , y su unidad SI es \(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\). Además, como \(h\) es el desplazamiento, su unidad SI es \(\mathrm{m}\). A partir de \(U=mgh\), vemos que las unidades de energía potencial gravitatoria son

\[\mathrm{kg}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\mathrm{m}=\mathrm{J}.\]

Así pues, la unidad SI de energía potencial es el julio, \(\mathrm{J}\). Toda la energía, como el trabajo y la energía cinética, tiene unidades de julios, así que la energía potencial también.

Gráfico de energía potencial y fuerzas

Resulta útil representar gráficamente la energía potencial en función de la posición. Como ya se ha dicho, si restamos la pendiente de la función de energía potencial, o la recta tangente a la función en un punto determinado, obtendremos la fuerza en ese punto. También podemos descubrir propiedades físicas del sistema observando este gráfico, como por ejemplo si el sistema está en equilibrio estable. Encontrarás más detalles al respecto en el artículo "Energía potencial y gráficos".

Si restamos la pendiente de la energía potencial de un muelle en función de la posición, obtenemos la fuerza, StudySmarter Originals

La gráfica anterior muestra la energía potencial y la fuerza de un muelle en función de la posición. Observa cómo en cada posición, el valor de la fuerza es menos la pendiente de la recta tangente a la curva de energía potencial.