Gráficas de Fuerza vs Posición

Relación Fuerza vs. Posición

Antes de meternos de lleno en la diversión de las gráficas (puedo sentir tu emoción), tenemos que repasar una definición clave: las relaciones directamente proporcionales.

Esta definición te resultará útil a medida que sigas leyendo, sobre todo cuando hables de las constantes de los muelles. Cuando llegues allí, piensa en lo que significa que la fuerza y la posición tengan una relación directamente proporcional. Si \(k\) es la pendiente de nuestra gráfica de fuerza vs. posición y además es una constante, ¿qué significa eso para la relación entre fuerza y posición?

Interpretación de la fuerza frente a la posición

Una de las habilidades esenciales que hay que desarrollar en física es encontrar relaciones. La física trata de cómo se relaciona una cosa con otra. Así es como obtenemos todas nuestras ecuaciones; por eso tiene sentido modelizar las relaciones mediante gráficos. Si te preocupas por las relaciones y te preguntas cómo se relacionan entre sí los conceptos que aprendes, acelerarás tu comprensión de la física.

Área bajo una gráfica de Fuerza vs. Posición

El área bajo una gráfica de fuerza vs. posición es igual al trabajo realizado por la fuerza sobre el objeto que se desplaza. Recuerda la ecuación

$$W = F \Delta x$$

que describe el trabajo realizado y que aprendiste en Física AP 1.

Observa que el trabajo es simplemente el producto de la fuerza y la posición. Reconocer esta relación facilita la comprensión del área de una gráfica de fuerza frente a posición. El área bajo la curva es igual al trabajo porque la integral de la gráfica relacionará la fuerza con la posición del objeto. Por tanto, se puede obtener una ecuación más avanzada para el trabajo aplicando la integración de la siguiente manera

$$W = \int_{vec a}^{\vec b} \vec{F}\cdot \mathrm{d}\vec{r}$$

donde \(W\) es el trabajo realizado, \(\vec a\) y \(\vec b\) son sus posiciones inicial y final, y \(\vec F\) es la fuerza en función de la posición \(\vec r\).

Fig. 1 - Aquí, el área bajo la curva de una gráfica de fuerza frente a posición está sombreada y etiquetada como trabajo.

Observa que la ecuación del trabajo implica la evaluación del producto punto de dos vectores.

Expresado matemáticamente, un producto punto es

$$\vec{A}} \cdot \vec{B} = A B \cos{\theta},$$

donde \(\vec A\) y \(\vec B\) son nuestros dos vectores, \(A\) y \(B\) son sus magnitudes, y \(\theta) es el ángulo entre ellos.

Pendiente Fuerza vs. Posición

¿Recuerdas que dijimos que la física consiste en encontrar relaciones? Veamos si podemos encontrar una relación entre fuerza y posición que explique la pendiente de una gráfica de fuerza vs. posición.

Fuerza vs. Posición Pendiente Significado

La pendiente es igual al ascenso sobre el recorrido; por tanto, la pendiente de nuestra gráfica sería algo así

$$\frac{F}{\Delta x}\\\mathrm{.}$$

¿Te suena esta ecuación? Es la fórmula de la constante del muelle \(k\) que aparece en la Ley de Hooke.

Escrita matemáticamente, la Ley de Hooke tiene este aspecto

$$F_\text{resorte}=-kx,$$

donde \(F_\text{muelle}) es la magnitud de la fuerza del muelle y \(x\) es la distancia del muelle al equilibrio.

Esto significa que un gráfico de fuerza frente a posición que se refiriera al efecto del desplazamiento sobre la fuerza de un muelle tendría una constante de muelle que podría calcularse mediante la fórmula

$$k = \frac{F}{\Delta x}\\mathrm{.}$$

Fig. 3 - Observa que la variable \(k\) se multiplica por \(x\) para mostrar que \(k\) es la pendiente. Como \(k\) es un valor constante, la fuerza y el desplazamiento anteriores tienen una relación directamente proporcional.

La pendiente de una gráfica de fuerza vs. posición es constante, como se ve en la Fig. 2 anterior cuando nos referimos a los muelles y a la Ley de Hooke: en ese caso concreto, la pendiente de nuestra gráfica de fuerza-desplazamiento es constante e igual a la constante del muelle \(k\). Sin embargo, al generalizar la pendiente de una gráfica fuerza-desplazamiento, la pendiente no tiene por qué ser constante. Por ejemplo, \(F(x)\) podría ser, tal vez, una fuerza variable descrita por una ecuación de orden superior, lo que significa que la pendiente de nuestra gráfica podría seguir una trayectoria más parabólica o cúbica. Por tanto, en un sentido general, tenemos que decir que la pendiente de una gráfica de fuerza frente a posición es su derivada, lo que puede tener aplicaciones para muchos otros escenarios físicos: la constante del muelle \(k\) es sólo un ejemplo en el caso de que la fuerza sea directamente proporcional al desplazamiento.

Por tanto, podemos reescribir nuestra ecuación para una "constante de muelle variable" \(k_\text{variable}\) bajo una nueva luz, que implica nuestro conocimiento de las derivadas:

$$k_texto{variable}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}F(x).$$

Una mirada más de cerca a \(k\)

En los muelles ideales, \(k\) no es variable y es una constante que depende de las características inherentes al muelle.

Fig. 4 - A medida que el muelle se expande o se contrae (se desplaza cierta cantidad \(x\) del equilibrio), la fuerza ejercida cambia; la constante \(k\) cuantifica la elasticidad del muelle.

El gráfico de la Fig. 4 examina con más detalle el significado de la constante del muelle \(k\). Cuando el muelle se desplaza cierta cantidad \(x\) del equilibrio, la fuerza restauradora intenta tirar de él hacia atrás (representada por la flecha verde \(F_\text{s}\)). La fuerza ejercida sobre el muelle, que provoca su desplazamiento, está representada por la flecha morada \(F\). La constante del muelle \(k\) es la elasticidad del muelle, cuantifica la dificultad que tienen nuestras dos fuerzas para desplazar el muelle, o lo que es lo mismo, para cambiar \(x\).

Unidades de Fuerza vs. Pendiente de Posición

Mediante un proceso similar, se pueden hallar las unidades de la pendiente de una gráfica de fuerza frente a posición. Empieza con nuestra ecuación de trabajo

$$\frac{F}{\Delta x}\\\mathrm{,}$$

y reconoce que las unidades para la fuerza son newtons, y para la posición, metros:

$$\mathrm{\frac{N}{m}\\}\mathrm{.}$$

Estas unidades tienen mucho sentido lógico. Dado que \(k\) es la constante del muelle, el hecho de que sus unidades sean newtons sobre metros demuestra que se puede hallar haciendo la fuerza por unidad de longitud. Esto da la elasticidad del muelle. Recuerda que los newtons vienen dados como

$$\mathrm{N=\frac{m\,kg}{s^2}\\}\mathrm{,}$$

por tanto, podemos relacionar nuestra comprensión inicial de las unidades, fuerza sobre metros, con una nueva comprensión:

$$\mathrm{\frac{N}{m}\\=\frac{kg}{s^2}\\}\mathrm{.}$$

Yendo aún más lejos, podemos ver cómo se relaciona la constante elástica con la tensión superficial. La tensión superficial se halla haciendo la fuerza sobre una longitud, y tiene unidades de kilogramos sobre segundos al cuadrado, igual que la constante elástica.

Gráfica de fuerza vs. posición y velocidad

Las gráficas de fuerza vs. posición nos dan información suficiente para hallar la velocidad de un objeto. Calculando el trabajo a partir de la gráfica hallando el área bajo la curva, se puede hallar la velocidad utilizando el Teorema Trabajo-Energía.

Así que ahora, cuando tu madre te diga que saques la basura, dile que podrías hacer más trabajo simplemente levantando un lápiz (eso si no consigues mover realmente la papelera).