matrices de rigidez

Concepto Básico de las Matrices de Rigidez

La matriz de rigidez de un sistema estructural puede ser vista como una herramienta que relaciona los desplazamientos y las fuerzas. La ecuación básica que utiliza una matriz de rigidez es: $$\mathbf{K}\cdot \mathbf{u}=\mathbf{f}$$ Donde:

• $\mathbf{K}$ es la matriz de rigidez.
• $\mathbf{u}$ es el vector de desplazamientos nodales desconocidos.
• $\mathbf{f}$ es el vector de fuerzas nodales aplicadas.

Propiedades de las Matrices de Rigidez

Las matrices de rigidez poseen propiedades importantes que son clave para su utilización efectiva:

• Son simétricas, es decir, $k_{ij}=k_{ji}$.
• En general, son positivas definidas, lo que indica que ${\mathbf{u}}^T\mathbf{K}\mathbf{u}>0$ para todo $\mathbf{u}eq0$.
• La dimensión de la matriz de rigidez depende del número total de grados de libertad del sistema.

Ejemplo Práctico de Uso de Matrices de Rigidez

Ejercicios matrices de rigidez

Para dominar el uso de matrices de rigidez, es esencial practicar a través de ejercicios variados. Estos ejercicios permiten a los estudiantes aplicar los conceptos aprendidos teóricamente y comprender mejor cómo estructurar y resolver problemas estructurales.

Ejercicio de Matriz de Rigidez para un Resorte Simple

Uso de Matrices de Rigidez en Sistemas Más Complejos

En un ejemplo más avanzado, supongamos que tienes un marco compuesto por múltiples barras conectadas. Cada barra tendrá una expresión similar de matriz de rigidez, pero dependiendo de su posición y conexión en el marco global, estas matrices deben transformarse y sumar en una gran matriz de rigidez global: $${\mathbf{K}}_{global}=\sum {\mathbf{T}}_i\cdot {\mathbf{K}}_i\cdot {\mathbf{T}}_i^T$$ Donde ${\mathbf{T}}_i$ es la matriz de transformación para cada barra individual.

Ejemplos de matrices de rigidez pórticos

Los pórticos son estructuras comunes en la ingeniería civil y su análisis mediante matrices de rigidez es una técnica crucial. Estas estructuras pueden soportar cargas verticales y horizontales, lo que significa que sus matrices de rigidez deben considerar tanto fuerzas axiales como momentos flectores.

Ejemplo de un Pórtico Simple

Método de Montaje de la Matriz Global del Pórtico

Ensamblar matrices de rigidez

El proceso de ensamblar matrices de rigidez es esencial en el análisis estructural. Consiste en combinar matrices de rigidez individuales de elementos estructurales en una matriz global que representa todo el sistema. Esto permite simular cómo un conjunto interconectado de elementos reaccionará bajo la aplicación de fuerzas externas.

Para llevar a cabo este ensamblaje, es crucial entender el concepto de superposición de matrices, donde cada matriz elemental se posicional en la matriz global de acuerdo con su ubicación en la estructura. Este proceso es fundamental para garantizar que todas las fuerzas y desplazamientos sean contabilizados correctamente.

Matrices de rigidez de barras

Las barras estructurales, utilizadas frecuentemente en ingeniería, se modelan mediante sus respectivas matrices de rigidez. Estas matrices son esenciales para calcular las respuestas frente a fuerzas aplicadas. La matriz de rigidez de una barra en coordenadas locales es: $$\mathbf{K}=\frac{EA}{L}\left[\begin{array}{ccc}1& -1-1& 1\end{array}\right]$$ Donde:

• E es el módulo de elasticidad.
• A es el área de la sección transversal.
• L es la longitud de la barra.

Aplicaciones matrices de rigidez en ingeniería

Las matrices de rigidez se aplican ampliamente en varios campos de la ingeniería, desde la construcción de puentes hasta la fabricación de automóviles. Proveen una representación matemática que permite predicciones precisas sobre cómo una estructura responderá ante diferentes tipos de cargas.