Distribución Hipergeométrica

Desglosando el significado de la Distribución Hipergeométrica

La Distribución Hipergeométrica no es tan desalentadora como podría parecer en un principio. Es fundamentalmente el marco de una distribución de probabilidad discreta. Esta distribución ilustra la probabilidad de conseguir un número determinado de éxitos en una secuencia de extracciones de una población finita sin reemplazo.

Para que lo entiendas mejor, vamos a desglosar la fórmula de la Distribución Hipergeométrica:

La fórmula dada calcula la probabilidad de "k" éxitos (resultados deseados) en "n" extracciones, sin reemplazo, de una población finita de tamaño "N" que contiene exactamente "K" objetos con esa característica, donde "C" denota el coeficiente binomial.

Historia y antecedentes de la Distribución Hipergeométrica

El nombre "Hipergeométrica" puede parecer bastante exótico, pero el significado que encierra tiene sus raíces en la simple lógica matemática. El término hipergeométrico se asoció inicialmente a una función introducida por el famoso matemático John Wallis en el siglo XVII para obtener el área de una hipérbola. Sin embargo, esta distribución no se denominó como tal hasta que Sørensen (1948) y Fisher (1950) la introdujeron en el campo de la estadística y la probabilidad.

Conceptos básicos de la Distribución Hipergeométrica

Para aplicar la Distribución Hipergeométrica, debes tener en cuenta algunos requisitos previos. Esta distribución es adecuada cuando:

• El tamaño total de la población ("N") es conocido y finito.
• La población se compone de "éxitos" y "fracasos".
• Las muestras se extraen sin reemplazamiento.

Por ejemplo, el control de calidad en la fabricación es una aplicación habitual de la Distribución Hipergeométrica. La utilizan los ingenieros y expertos en calidad para analizar una muestra de productos de una cadena de montaje e identificar los elementos defectuosos.

La potencia y la elegancia de la Distribución Hipergeométrica residen en su capacidad para tratar directamente con poblaciones finitas y muestras extraídas sin reemplazo, proporcionándote una herramienta matemática que conduce a resultados y análisis precisos en numerosos escenarios complejos.

Propiedades básicas de la Distribución Hipergeométrica

Las propiedades básicas de la Distribución Hipergeométrica son elementos fundamentales que conforman su comportamiento y determinan su utilidad en situaciones prácticas. No sólo proporcionan una comprensión profunda de este concepto, sino que también ayudan a diferenciarlo de otros tipos de distribuciones de probabilidad.

Explicación de las propiedades de la distribución hipergeométrica

Entrando en materia, vamos a destacar las propiedades cruciales de la Distribución Hipergeométrica. Cuando trabajas con esta distribución, cada extracción que haces da lugar a un éxito o no, y cada extracción afecta a la probabilidad de la siguiente. Esta característica, entrelazada con las siguientes propiedades, hace de esta distribución una valiosa herramienta en el campo de la probabilidad estadística.

• Discreción: La Distribución Hipergeométrica es una distribución discreta. Esto significa que el número de aciertos que te interesa debe ser un número entero. No existe el concepto de "medio éxito" en este contexto.
• Dependencia: A diferencia de otros tipos de distribución, aquí tus extracciones no son independientes. El resultado de una extracción influye en el resultado de la siguiente. Por eso se suele utilizar la Distribución Hipergeométrica cuando el muestreo se realiza sin reemplazo.
• Población finita: El tamaño total de la población es finito y conocido en la Distribución Hipergeométrica. Este factor permite calcular con precisión las probabilidades de éxito.

La fórmula de la Distribución Hipergeométrica muestra estas propiedades con bastante claridad:

Aquí, \(K\) es el número total de aciertos de la población, \(N\) es el tamaño total de la población, \(n\) es el número de sorteos, y \(k\) es el número de aciertos que te interesan. Cada uno de estos elementos refleja las propiedades mencionadas anteriormente.

Significado de las propiedades

Las distintas propiedades de la Distribución Hipergeométrica la convierten en un instrumento indispensable en diversos campos, como el control de calidad, la investigación ecológica y las ciencias sociales, entre otros. Su capacidad para modelizar eficazmente el muestreo sin reemplazo en una población conocida y finita elimina las limitaciones habituales que se encuentran en muchos escenarios del mundo real, y esto la hace muy valiosa.

En el estudio de sistemas probabilísticos en los que la probabilidad de éxito cambia con cada sorteo (los ensayos sucesivos no son independientes), la propiedad de dependencia de la Distribución Hipergeométrica resulta crucialmente vital. Esto es especialmente significativo en el caso de estudios de investigación en los que la unidad de análisis no puede reproducirse o sustituirse fácilmente.

Diferencias entre la Distribución Hipergeométrica y otros tipos de Distribución

Cada distribución de probabilidad, incluida la Distribución Hipergeométrica, posee rasgos únicos que la hacen adecuada para escenarios específicos. He aquí cómo la Distribución Hipergeométrica se distingue de otros tipos de distribución populares:

• En comparación con la Distribución Binomial: Mientras que la Distribución Binomial supone que cada observación o ensayo es independiente y se realiza con reemplazo, la Distribución Hipergeométrica se extiende a escenarios en los que los ensayos son dependientes y se realizan sin reemplazo.
• Comparada con la Distribución de Poisson: La Distribución de Poisson se ocupa del número de sucesos que ocurren en un intervalo fijo de tiempo o espacio, suponiendo que estos sucesos ocurren con una tasa media constante conocida y son independientes del tiempo transcurrido desde el último suceso. La Distribución Hipergeométrica, en cambio, gira en torno a los éxitos y fracasos en una población finita.
• Comparada con la Distribución Normal: La Distribución Normal es una distribución continua vinculada a una amplia gama de fenómenos naturales. La Distribución Hipergeométrica, al ser una distribución discreta, difiere significativamente de ésta en cuanto a la naturaleza de las variables que puede manejar y a su forma gráfica.

Estas comparaciones denotan cómo la Distribución Hipergeométrica, con sus atributos especiales, complementa a otras distribuciones N para enriquecer el panorama de las metodologías estadísticas.

Aplicación de la Distribución Hipergeométrica

La Distribución Hipergeométrica, con su conjunto de atributos únicos, no es meramente un concepto teórico limitado a los libros de texto. Desempeña un papel crucial a la hora de abordar con éxito problemas prácticos en diversos campos, especialmente la ingeniería, la estadística y las probabilidades. Armados con una sólida comprensión de los fundamentos y propiedades de la Distribución Hipergeométrica, ahora podemos profundizar en sus aplicaciones prácticas, y explorar cómo se vincula a los ámbitos de la Ingeniería Matemática, la Estadística y las Probabilidades.

Aplicaciones reales de la Distribución Hipergeométrica

El verdadero encanto de cualquier concepto matemático reside en su capacidad para explicar o predecir situaciones prácticas. La Distribución Hipergeométrica no es diferente. Este campo de estudio encuentra sus raíces profundamente arraigadas en la realidad de la vida cotidiana. Así pues, exploremos algunas aplicaciones de la Distribución Hipergeométrica en la vida real.

Una de las aplicaciones más populares de la Distribución Hipergeométrica es en el ámbito del control de calidad y la inspección dentro de las industrias manufactureras. Aquí, la Distribución Hipergeométrica ayuda a calibrar la probabilidad de encontrar elementos defectuosos en una muestra extraída de un lote mayor. Así, si tienes un lote de 100 productos, de los que se sabe que 10 son defectuosos, la Distribución Hipergeométrica podría aplicarse para calcular la probabilidad de encontrar un cierto número de productos defectuosos en una muestra elegida al azar de un tamaño especificado, digamos 20.

Aparte del control de calidad, la Distribución Hipergeométrica tiene un papel importante en la investigación biológica y ecológica. Por ejemplo, en la gestión de la fauna salvaje, los investigadores pueden estar interesados en estimar el número de una determinada especie en un hábitat definido. Podrían capturar un número determinado de animales, etiquetarlos y liberarlos de nuevo en la naturaleza. Más tarde, capturan otra muestra y observan cuántos de los animales están marcados. Entonces se utiliza la Distribución Hipergeométrica para estimar el tamaño total de la población.

Aplicaciones en Ingeniería Matemática

La ingeniería es un campo que trata frecuentemente con casos de poblaciones conocidas y finitas. En consecuencia, la Distribución Hipergeométrica encuentra numerosas aplicaciones en ingeniería, sobre todo en la investigación de operaciones, la ingeniería de fiabilidad y los procesos de fabricación.

Por ejemplo, en el campo de la investigación operativa, los analistas a menudo tienen que gestionar y controlar sistemas estructurados con un número conocido y finito de componentes idénticos e independientes. Estos sistemas suelen experimentar una mezcla de varios tipos diferentes de perturbaciones aleatorias. En un escenario así, un enfoque popular consiste en modelizar el problema con una distribución hipergeométrica multivariante.

En aspectos como el mantenimiento de sistemas y la ingeniería de la fiabilidad, la Distribución Hipergeométrica desempeña un papel fundamental. Si un sistema de ingeniería está compuesto por componentes redundantes, y hay interés en la fiabilidad del sistema dado que un cierto número de componentes han fallado, la Distribución Hipergeométrica se convierte en una herramienta valiosa.

Además, dentro de los procesos de fabricación, los ingenieros suelen aplicar la Distribución Hipergeométrica para el control de calidad, como ya se ha mencionado. A menudo necesitan tomar muestras de piezas o unidades de un lote de producción y calcular la probabilidad de que un cierto número de ellas estén dentro de las especificaciones de calidad aceptables. Esto ayuda a determinar si todo el lote es aceptable o requiere más inspección o tratamiento.

La Distribución Hipergeométrica en Estadística y Probabilidades

En Estadística y Probabilidades, la Distribución Hipergeométrica constituye un concepto básico, sobre todo en estadística inferencial y pruebas paramétricas.

Un ejemplo clásico de su aplicación en estadística inferencial es la Prueba Exacta de Fisher. Se trata de una prueba de significación estadística utilizada en el análisis de tablas de contingencia 2x2. Suele aplicarse a muestras de pequeño tamaño, en las que resulta inadecuado utilizar aproximaciones como la prueba Chi-cuadrado. La prueba calcula la probabilidad exacta, suponiendo una distribución hipergeométrica, de obtener los datos observados, bajo la hipótesis nula.

Además, la Distribución Hipergeométrica es el análogo discreto de la distribución beta continua, por lo que se utiliza con frecuencia en la modelización estadística cuando las poblaciones tienen una estructura discreta. Esto incluye, entre otros, el muestreo de encuestas, la estimación de poblaciones de animales salvajes, la genética forense, la epidemiología y el aprendizaje automático.

Descifrar la fórmula de la distribución hipergeométrica

La fórmula de la Distribución Hipergeométrica resume la esencia de esta distribución, ayudándote a entender las matemáticas. La belleza de la fórmula reside en cómo capta las propiedades únicas de este tipo de distribución en una expresión matemática sin complicaciones.

Introducción a la fórmula de la distribución hipergeométrica

Considerando la fórmula de la Distribución Hipergeométrica, exploramos una herramienta matemáticamente rica, pero accesible, que nos permite adentrarnos en escenarios del mundo real en los que la probabilidad cambia con cada suceso. La fórmula de la Distribución Hipergeométrica es

\[P(X=k) = \frac{{C(K,k) C(N-K, n-k)}}{C(N, n)}\].

En esta fórmula, \(N\) es el tamaño total de la población, \(K\) es el número total de estados de éxito en la población, \(n\) es el número de sorteos, y \(k\) es el número de éxitos observados. La función \(C(\cdot, \cdot)\) es la función de combinación, que calcula el número de formas en que puedes elegir elementos de un conjunto mayor.

Comprender los componentes de la fórmula

Al aprender los entresijos de la fórmula de la Distribución Hipergeométrica, no sólo construyes una comprensión más profunda de esta distribución, sino también de conceptos estadísticos más amplios. Así pues, vamos a desglosar los componentes de esta fórmula.

• La función \(C(K,k)\) calcula el número de formas en que puedes elegir \(k\) aciertos del \(K\) total de aciertos de la población.
• La expresión \(C(N-K, n-k)\ calcula el número de formas en que podemos elegir los \(n-k\) fracasos restantes de los \(N-K\) fracasos presentes en la población.
• El denominador \(C(N, n)\) da el número total de formas en que se pueden extraer \(n\) elementos de una población de tamaño \(N\).
• Así pues, la fórmula completa expresa la probabilidad de obtener exactamente \(k\) aciertos en \(n\) extracciones de la población.

Aplicación de la fórmula en cálculos

La fórmula de la Distribución Hipergeométrica es más que un concepto matemático abstracto; tiene la capacidad de abordar problemas tangibles del mundo real. Es esta mezcla de elegancia teórica y aplicación práctica lo que la convierte en una herramienta tan poderosa.

P(X=2) = [C(13,2) * C(52-13, 3-2)] / C(52, 3) P(X=2) = [78 * 39] / 22.100 P(X=2) = 3.042 / 22.100 P(X=2) ≈ 0,1375

Esta probabilidad, redondeada a cuatro decimales, sugiere aproximadamente un 13,75% de posibilidades de sacar dos Picas de tres extracciones de cartas al azar.

Así pues, la fórmula de la Distribución Hipergeométrica ofrece una forma matemáticamente sólida de calcular probabilidades en escenarios en los que los sucesos no son independientes, y esto la convierte en una herramienta fundamental para análisis en diversos campos, como la ingeniería, la ecología y el control de calidad, entre otros.

Aprendizaje práctico con ejemplos de distribución hipergeométrica

Sin duda, la Distribución Hipergeométrica no trata sólo de conceptos abstractos o teorías inconexas. Se conecta con aplicaciones del mundo real, aportando claridad a diversas situaciones prácticas. Para desentrañar su singularidad y autenticidad, profundicemos en algunos ejemplos prácticos y veamos cómo la teoría cobra vida.

Repasar ejemplos de distribución hipergeométrica

Como ya sabrás, la Distribución Hipergeométrica modela la probabilidad de un número determinado de aciertos en una secuencia de extracciones de una población finita sin reemplazo. Para asimilar mejor el concepto, examinaremos algunos ejemplos y aplicaremos nuestros conocimientos sobre la fórmula y los principios de la Distribución Hipergeométrica.

Empecemos considerando un escenario clásico de reparto de cartas. Supongamos que un amigo te reparte 5 cartas de una baraja estándar de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 2 de esas cartas sean Diamantes?

En este caso, el tamaño total de la población \(N\) es 52 (número total de cartas de la baraja), el número total de aciertos \(K\) es 13 (número de Diamantes de la baraja), el número de extracciones \(n\) es 5 (número de cartas que nos reparten), y el número de aciertos observados \(k\) es 2 (número de Diamantes que queremos tener).

Aplicando estos valores a la fórmula de la Distribución Hipergeométrica se obtiene la solución del problema:

P(X=2) = [C(13,2) * C(52-13, 5-2)] / C(52, 5) P(X=2) = [78 * 1716] / 2.598.960 P(X=2) ≈ 0,325

Por lo tanto, hay aproximadamente un 32,5% de probabilidades de que te repartan dos Diamantes de entre cinco cartas elegidas al azar.

Este ejemplo de las cartas es una ilustración clásica y directa de cómo puede utilizarse la Distribución Hipergeométrica para resolver problemas de probabilidad en situaciones de la vida real.

Recorrido por la resolución de problemas utilizando la Distribución Hipergeométrica

Para una comprensión más profunda de la mecánica de la resolución de problemas utilizando la Distribución Hipergeométrica, contemplemos una cuestión más intrincada. Supongamos que en una universidad hay 200 alumnos: 100 estudian Informática (CS) y 100 estudian Ingeniería Eléctrica (EE). Seleccionas al azar 50 alumnos. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 20 de estos alumnos estudien CS?

Aquí, el tamaño total de la población \(N\) es 200 (número total de estudiantes); el número total de estados de éxito \(K\) es 100 (número de estudiantes de CS); el número de extracciones \(n\) es 50 (número de estudiantes que estás eligiendo), y el número de éxitos observados \(k\) es 20 (número de estudiantes de CS que quieres en tu elección).

P(X=20) = [C(100,20) * C(200-100, 50-20)] / C(200, 50) P(X=20) = [2,29e+20 * 5,35e+21] / 4,72e+45 P(X=20) ≈ 0,260

Este resultado te dice que hay alrededor de un 26,0% de probabilidad de elegir exactamente 20 estudiantes de CS de una selección aleatoria de 50 estudiantes.

Este ejemplo muestra el método de plantear y resolver problemas utilizando la Distribución Hipergeométrica junto con su fórmula. Este tipo de preguntas son habituales en el muestreo de encuestas y representan un caso de uso común de esta distribución.

Aprender de ejemplos derivados

Ahora que nos hemos aventurado a través de ejemplos directos de resolución de problemas, es hora de profundizar en los ejemplos derivados, que se construyen sobre ciertos prerrequisitos condicionales o condiciones derivadas. Consideremos un caso de unidades defectuosas en lotes.

Supongamos que en una cadena de producción de teléfonos móviles, una empresa sabe que el 10% de todos los teléfonos móviles producidos son defectuosos. Una vez fabricados, si un lote de 100 móviles contiene más de 5 unidades defectuosas, se envía todo el lote a reelaborar.

Ahora, para hallar la probabilidad de que un lote no requiera reelaboración, necesitamos hallar la probabilidad de tener de 0 a 5 unidades defectuosas en el lote. Se puede calcular utilizando la fórmula de la Distribución Hipergeométrica:

Para ello, sumamos las probabilidades de tener 0, 1, 2, 3, 4 y 5 unidades defectuosas en un lote de 100:

P(X<=5) = ∑ de k=0 a 5 de [C(10,k) * C(90, 100-k)] / C(100, 100)

El resultado de este cálculo da la probabilidad de que un lote no se envíe a reelaborar debido a defectos. Este ejemplo ilustra cómo se puede utilizar la Distribución Hipergeométrica para calcular la probabilidad de una serie de resultados en situaciones en las que hay una clara condición de éxito-fracaso.

Estos ejemplos derivados aportan claridad a los escenarios avanzados de resolución de problemas, retratando la complejidad de la Distribución Hipergeométrica, lo que ayuda a profundizar en el enfoque del aprendizaje.

Expectativas de la Distribución Hipergeométrica

El concepto de expectativa, también conocido como valor esperado o media, es esencial para comprender el comportamiento de la Distribución Hipergeométrica y cómo influye en tus cálculos. Ofrece expectativas realistas para la distribución de resultados en escenarios prácticos en los que se aplican los conceptos hipergeométricos.

Comprender la Expectativa de la Distribución Hipergeométrica

En contextos estadísticos, la expectativa, o media, de una variable aleatoria es básicamente lo que "esperarías" como resultado medio a largo plazo de muchas repeticiones del mismo experimento que representa. Para la Distribución Hipergeométrica, el valor esperado viene dado por la fórmula

\[E(X) = n\frac{K}{N}\}]

Aquí, \(E(X)\) representa el valor esperado, \(n\) es el número de extracciones, \(K\) es el número de estados de éxito en la población, y \(N\) es el tamaño total de la población. Esta fórmula refleja la media a largo plazo de muchas repeticiones del mismo experimento hipergeométrico.

Desglosando los componentes individuales de esta fórmula:

• \(n\) es el número de extracciones, o el número de elementos elegidos de la población. Esto determina la escala del número de aciertos probables.
• \(K\) es el número total de estados de éxito en la población. Es el número total de resultados que considerarías exitosos en el experimento.
• \(N\) es el tamaño total de la población, que establece la base de la medida de probabilidad.

Importancia y aplicaciones de la expectativa en ingeniería

El concepto de expectativa se utiliza mucho en ingeniería, donde la incertidumbre planea sobre los resultados de procesos y operaciones. Proporciona predicciones de los resultados medios en experimentos repetidos, otorgando una visión estratégica beneficiosa.

Del mismo modo, en situaciones de control de calidad, los ingenieros pueden utilizar la medida de expectativas para predecir el número medio de elementos defectuosos que podrían encontrarse en un determinado número de productos elegidos al azar de una línea de producción. Esta predicción puede orientar el despliegue de recursos para los controles de calidad y los reprocesamientos, agilizando todo el proceso de producción.

Examinar problemas de ejemplo sobre la expectativa

Enfrentarse a problemas de ejemplo es una forma constructiva de comprender las aplicaciones prácticas de la expectativa en un experimento hipergeométrico. Un ejemplo práctico sería calcular el número medio de artículos defectuosos en lotes seleccionados al azar de un proceso de producción.

E(X) = n * K/N E(X) = 200 * 0,05 E(X) = 10

Por tanto, es de esperar que, por término medio, encontremos 10 artículos defectuosos en cada lote de 200. Como resultado, el departamento de control de calidad de la fábrica puede diseñar su estrategia de inspección en consecuencia.

Situaciones como ésta sirven como testimonio definitivo de la aplicabilidad e importancia práctica de los conceptos tanto de la Distribución Hipergeométrica como de la expectativa asociada a ella.

Examinando la teoría y los principios en los que se basan la Distribución Hipergeométrica y su expectativa, junto con sus aplicaciones prácticas, podrás comprender mejor cómo se afianzan estos conceptos en los escenarios del mundo real.

Comprender la Distribución Hipergeométrica Acumulativa

Como extensión de la Distribución Hipergeométrica, la Distribución Hipergeométrica Acumulativa es un concepto significativo que ayuda a comprender la probabilidad agregada de un determinado rango de resultados en experimentos hipergeométricos. La comprensión de esta distribución favorece una comprensión más profunda del comportamiento estadístico, lo que, a su vez, fomenta procesos de toma de decisiones más informados y precisos.

Comprensión de la Distribución Hipergeométrica Acumulativa

Como desarrollo interesante de la Distribución Hipergeométrica estándar, la Distribución Hipergeométrica Acumulativa desempeña un papel revelador en la comprensión de las probabilidades sumadas de los resultados hipergeométricos. Esencialmente, calcula la probabilidad de que una variable aleatoria derivada de una distribución hipergeométrica tome un valor menor o igual que un valor específico.

La Función de Distribución Acumulativa (FDA) de una variable aleatoria con distribución hipergeométrica se formula como

Dentro de esta fórmula

• \(F(k;N,K,n)\) representa la probabilidad acumulada de la distribución hipergeométrica.
• \(k\) es el límite superior de los aciertos acumulados.
• \(N\) es el tamaño total de la población.
• \(K\) es el número total de estados de éxito en la población.
• \(n\) es el número de sorteos.
• \(P(X = i)\) es la función de masa de probabilidad de la distribución hipergeométrica.

En esta ecuación, la suma se extiende desde \(i=0\) hasta el límite superior especificado \(k\), que es acumulativo para todos los resultados hasta \(k\). Por tanto, este cálculo da la probabilidad de que una variable aleatoria con distribución hipergeométrica sea menor o igual que \(k\).

Interpretación de las aplicaciones de la distribución hipergeométrica acumulativa

Inferir los significados y aplicaciones de la Distribución Hipergeométrica Acumulativa es fundamental para comprender su utilización en diversos escenarios del mundo real. Desde los procesos de selección a la inspección de calidad, desde los estudios sanitarios a la investigación medioambiental, las situaciones que implican la selección de elementos de una población finita sin reemplazo suelen requerir la aplicación de la distribución acumulativa.

Por ejemplo, considera un inspector de calidad que examina un lote de productos de una línea de producción para localizar elementos defectuosos. Este inspector podría evaluar la probabilidad de que el número de artículos defectuosos en una muestra aleatoria tomada del lote sea como máximo 3, utilizando la probabilidad hipergeométrica acumulativa. Si la probabilidad resulta ser sustancialmente alta, el lote podría aprobarse sin una inspección manual de barrido, con lo que se ahorrarían recursos y se optimizaría el proceso de inspección.

Probabilidades y percentiles en la distribución hipergeométrica acumulativa

Con la Distribución Hipergeométrica Acumulativa puedes calcular e interpretar probabilidades acumulativas y percentiles, que son indispensables para evaluar resultados y sus riesgos asociados en ingeniería y otras aplicaciones prácticas.

Supongamos que una fábrica de coches inspecciona bolsas de 100 componentes de coche enviadas por un proveedor, con una media de 5 piezas defectuosas por bolsa. Para hallar el percentil 90, la planta quiere saber cuántas piezas defectuosas debe tener una bolsa para que sólo el 10% de todas las bolsas tengan un número igual o superior de defectos.

Utiliza los conceptos de la distribución hipergeométrica acumulativa:

Deja que Q represente el percentil 90 (cuantil), q = 0,90 (90%), N = 100 (el número de resultados totales), K = 5 (el número de resultados satisfactorios), y se varía n para calcular la probabilidad acumulada.

La probabilidad acumulada calculada se puede interpolar para estimar que el percentil 90 está en torno al 9. Esto significa que el 90% de las bolsas contienen menos de 9 piezas defectuosas.

Tales inferencias son un testimonio de la rica relevancia y el valor de la perspectiva de la distribución hipergeométrica acumulativa en las aplicaciones del mundo real, sobre todo en los ámbitos del control de calidad y la fabricación.