Funciones Exponenciales y Logarítmicas

Un gran ejemplo de empleo de funciones exponenciales en ingeniería es la modelización de la desintegración de sustancias radiactivas. El número de átomos \( N \) de una muestra radiactiva que aún no han decaído suele modelizarse mediante \( N = N_0 e^{-\lambda t} \), donde \( N_0 \) es la cantidad inicial de la sustancia, \( \lambda \) es la constante de decaimiento, y \( t \) es el tiempo.

En el caso de las funciones logarítmicas, se utilizan en los cálculos de decibelios cuando se trata de la intensidad del sonido. El nivel de intensidad \( L \), medido en decibelios, de un sonido con intensidad \( I \) viene dado por \( L = 10 \log \frac{I}{I_0} \), donde \( I_0 \) es un nivel de intensidad de referencia.

Si tienes la función exponencial \( f(x) = e^{2x} \), utilizando la regla de la cadena para diferenciarla obtendrías una respuesta de \( f'(x) = 2e^{2x} \).

Considera la siguiente función exponencial: \( y = 3^{x-1} + 2 \). La función base aquí es \( y = 3^x \) con transformaciones que la desplazan una unidad a la derecha y dos unidades hacia arriba. El punto (0,1) se convertirá en (1,3) en la gráfica transformada, y la asíntota horizontal se desplazará hacia arriba hasta \( y = 2 \). La gráfica final mostrará la curva aumentando más pronunciadamente que la función básica debido al coeficiente 3.

Considera a continuación una función logarítmica: \( y = -2 \log_{4}{(x+1)} + 3 \). Aquí, la función base es \( y = \log_{4}{x} \). Las transformaciones incluyen la reflexión en el eje x debido al signo negativo, el estiramiento vertical debido al factor 2, un desplazamiento de una unidad a la izquierda debido al \( +1 \) dentro del logaritmo, y un desplazamiento de tres unidades hacia arriba debido al \( +3 \). El punto (1,0) se convertirá en (-1,3) en la gráfica final, y la asíntota vertical se desplazará a \( x = -1 \).

Ejemplo de un modelo de crecimiento demográfico: Supongamos que una ciudad de 5000 habitantes experimenta una tasa de crecimiento del 2% anual. Utilizando la fórmula \( P(t) = P_{0} \cdot e^{rt} \), obtienes \( P(t) = 5000 \cdot e^{0,02t} \). Esta ecuación puede utilizarse para predecir la población de la ciudad en cualquier momento.

Ejemplo de modelización financiera: Considera un depósito de 1000 £ en una cuenta bancaria que ofrece un tipo de interés anual del 5% compuesto trimestralmente. Según la fórmula del interés compuesto, el importe al cabo de 3 años se calcularía como \( A = 1000(1 + \frac{0,05}{4})^{4 \cdot 3} \), que da 1161,83 £.

Ejemplo de desintegración radiactiva: Supongamos que empezamos con 1000 átomos de un isótopo radiactivo con una constante de desintegración de 0,693 al año. Utilizando la fórmula de la desintegración radiactiva \( N(t) = N_{0}e^{-λt} \), al cabo de 5 años, te quedarían \( N(5) = 1000 \cdot e^{-0,693 \cdot 5} \) o aproximadamente 67 átomos.

Ejemplo de procesamiento de señales: Calculemos el nivel de decibelios de un sonido con una intensidad 1000 veces superior a la intensidad de referencia. Insertando \( I = 1000I_{0}\) en la fórmula, obtenemos \( L = 10 \log_{10}(\frac{1000I_{0}}{I_{0}}) = 30 \) decibelios.

En los gráficos por ordenador, las funciones exponenciales facilitan la creación de luces y sombras realistas. Son esenciales para generar un efecto denominado "imágenes de alto rango dinámico" (HDRI) que representa mejor la amplia gama de niveles de intensidad luminosa que se encuentran en los entornos del mundo real.