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Comprender la fuerza hidrostática en una superficie plana
La fuerza hidrostática sobre una superficie plana se refiere a la fuerza ejercida por un fluido en reposo. Esta fuerza es la resultante de la presión del fluido multiplicada por el área sobre la que se distribuye la presión. Antes de profundizar en el concepto, nos incumbe tener una sólida comprensión de algunos términos básicos.
Presión: Es la fuerza aplicada perpendicularmente a la superficie de un objeto por unidad de superficie en la que se reparte la fuerza.
Fluido: Un fluido es cualquier sustancia que puede fluir, por ejemplo, los líquidos y los gases.
Concepto de Fuerza Hidrostática sobre Superficie Plana
La presión en un líquido aumenta proporcionalmente con su profundidad. Por tanto, la presión ejercida por una columna de líquido de sección transversal uniforme viene dada por \( P = \rho - g - h \), donde \( P \) es la presión, \( \rho \) es la densidad del líquido, \( g \) es la aceleración debida a la gravedad, y \( h \) es la altura de la columna de líquido sobre el punto en cuestión.
Por tanto, la fuerza hidrostática que actúa sobre una superficie plana, sumergida en un líquido estático, puede calcularse integrando la presión sobre toda el área sumergida.
Por ejemplo, si una presa rectangular de anchura \( b \) y altura \( h \) está sumergida a una profundidad \( d \) bajo la superficie de un lago, la fuerza hidrostática \( F \) sobre la presa puede calcularse mediante la fórmula: \( F = \frac{1}{2} - \rho - g - b - h^2 - (d + \frac{h}{3}) \).
Conviene recordar que para las superficies planas perpendiculares a la superficie del líquido, la fuerza hidrostática sólo es función de la profundidad del centroide del área bajo la superficie del líquido, del área de la superficie y de la densidad del fluido.
Factores que influyen en la fuerza hidrostática sobre la superficie plana
Varios factores influyen en la magnitud y distribución de la fuerza hidrostática sobre una superficie plana. Son principalmente
- La profundidad del centroide del área sumergida bajo la superficie del líquido, que influye directamente en la presión hidrostática que actúa sobre la superficie.
- El área y la forma de la superficie sumergida, que determinan la distribución total de la presión. Ten en cuenta, sin embargo, que la forma de la superficie no afecta a la fuerza hidrostática resultante.
- La densidad del líquido, ya que un fluido de mayor densidad ejerce más presión.
Observa que la gravedad influye indirectamente en la fuerza hidrostática al afectar a la presión en términos de \( P = \rho - g - h \).
Por ejemplo, la fuerza hidrostática sobre una compuerta circular de una presa (de radio \( r \) y densidad \( \rho \)) a una profundidad \( d \) bajo la superficie del lago puede calcularse mediante \( F = \pi - \rho - g - r^2 - (d + \frac{2r}{3}) \)
Fuerza hidrostática en diferentes superficies planas
Los distintos tipos de superficies sumergidas en un fluido estático se encuentran con distribuciones y magnitudes variables de la fuerza hidrostática. Estas variaciones se deben principalmente a su geometría, orientación y a la profundidad del líquido por encima del centroide de la superficie sumergida. Para comprender mejor la fuerza hidrostática ejercida sobre las superficies planas, vamos a analizar ahora estas superficies en tres escenarios diferentes: superficies planas verticales, inclinadas y sumergidas.
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana vertical
Cuando una superficie plana es vertical, las variaciones de presión a través de la superficie dan lugar a una distribución no uniforme de la fuerza hidrostática. La presión en cualquier punto de la superficie es proporcional a la profundidad de ese punto por debajo de la superficie del líquido, principio articulado como \( P = \rho - g - h \) donde \( P \) es la presión, \( \rho \) es la densidad del fluido, \( g \) es la gravedad, y \( h \) es la profundidad por debajo de la superficie.
La fuerza hidrostática total \( F \) que actúa sobre la superficie puede hallarse integrando la presión sobre el área de la superficie. Para una superficie rectangular sumergida verticalmente en un líquido con altura \( h \) y anchura \( b \), la fuerza hidrostática total \( F \) viene dada por \( F = \frac{1}{2}\rho - g - b - h^2 \).
Para una superficie rectangular de 5 m de altura y 3 m de anchura, sumergida verticalmente en agua de 1000 kg/m³ de densidad, la fuerza hidrostática viene dada por \( F = \frac{1}{2} - 1000 - 9,81 - 3 - (5)^2 = 367,5 kN \).
Fuerza hidrostática en superficies planas sumergidas
Por superficie plana sumergida se entiende cualquier superficie que esté completamente sumergida en un fluido y no esté en contacto con la superficie libre del líquido. Al igual que en las superficies verticales, habrá una distribución no uniforme de la presión que se manifiesta por variaciones en la profundidad.
Considerando una superficie sumergida en un líquido con área \( A \) a una profundidad \( h \), el centro de presión en una superficie sumergida es el punto donde se supone que actúa la suma total de la fuerza hidrostática. La profundidad \( y_c \) del centro de presión desde la superficie del fluido viene dada por \( y_c = \frac{I_G}{A-h} + h \) donde \( I_G \) es el segundo momento del área.
La fuerza hidrostática total sobre una superficie plana sumergida, ya sea horizontal, vertical o inclinada, es la misma y puede calcularse como \( F = P_{cp} - A \), donde \( P_{cp} \) es la presión en el centroide".
Para una placa triangular equilátera de 3 m de lado, sumergida en agua con el vértice en la superficie y la base paralela y a 3 m por debajo de la superficie del agua, la fuerza hidrostática puede calcularse hallando primero la presión en el centroide (\( P_{cp} = \rho - g - h \)) y multiplicándola después por el área del triángulo.
Fuerza hidrostática en una superficie plana inclinada
Una superficie plana inclinada es aquella que está inclinada un ángulo distinto de 90 grados con respecto a la superficie del líquido estático. Calcular la fuerza hidrostática sobre una superficie inclinada implica tener en cuenta tanto el área de la superficie como la profundidad del centroide por debajo de la superficie.
Para una superficie rectangular de anchura \( b \) y altura \( h \), inclinada un ángulo \( \theta \), la fuerza hidrostática total \( F \) viene dada por \( F= \frac{1}{2}\rho - g - b - h^2 - \cos{\theta} \).
Una compuerta rectangular de 1 m de ancho y 2 m de alto, instalada en un ángulo de 45 grados en un depósito lleno de aceite de densidad relativa 0,9, experimentaría una fuerza hidrostática dada por \( F = \frac{1}{2} - 0,9 - 1000 - 9,81 - 1 - (2)^2 - \cos{(45)} = 13,85 kN \)
Enfoque matemático de la fuerza hidrostática sobre una superficie plana
Para determinar con precisión la fuerza hidrostática ejercida sobre una superficie plana sumergida en un líquido, hay que adentrarse en el ámbito matemático. El enfoque matemático proporciona herramientas esenciales para calcular tanto la magnitud como la línea de acción de las fuerzas hidrostáticas resultantes. El enfoque se basa predominantemente en los conceptos básicos del cálculo y la mecánica, ya que la magnitud de la fuerza hidrostática debe calcularse como una integral sobre el área sumergida.
Fórmula de la fuerza hidrostática sobre superficie plana
La formulación matemática para calcular la fuerza hidrostática sobre una superficie plana se basa en los principios de la mecánica de fluidos. La fórmula conjuga algunos parámetros fundamentales que incluyen la densidad del fluido, la aceleración debida a la gravedad y la profundidad y el área de la superficie sumergida.
La presión \( P \) en cualquier punto de un fluido en reposo viene dada por \( P = \rho - g - h \), donde \( \rho \) es la densidad del fluido, \( g \) es la aceleración debida a la gravedad y \( h \) es la altura de la columna de fluido sobre el punto.
La fuerza hidrostática \( F \) sobre una superficie plana es la integral de la presión sobre el área \( A \) de la superficie, que suele calcularse como \( F = \int_A P \,dA \). Sin embargo, esta integración puede simplificarse como \( F = P_{cp} - A \), donde \( P_{cp} \) es la presión en el centroide de la superficie plana.
La fórmula para calcular la presión en el centroide es \( P_{cp} = \rho - g - h_c \), donde \( h_c \) es la profundidad vertical del centroide de la superficie sumergida desde la superficie libre del líquido.
La fuerza hidrostática total \( F \) sobre la superficie plana se simplifica entonces a \( F = \rho - g - h_c - A \), poniendo en su lugar \( P_{cp} \).
Ejemplos de Fuerza Hidrostática sobre Superficie Plana
Los ejemplos siempre sirven para iluminar los principios teóricos. Veamos algunos para comprender cómo aplicar las fórmulas que acabamos de exponer.
Ejemplo 1: Considera una compuerta rectangular de 6 m de ancho y 4 m de alto, fijada a lo largo del borde superior con su plano vertical. La compuerta retiene el agua por un lado. Calcula la fuerza hidrostática resultante sobre la compuerta y su línea de acción.
Aquí, la presión total sobre el centroide \( P_{cp} \) es \( P_{cp} = \rho - g - h_c = 1000 - 9,81 - 2 = 19620 Pa \).
El área de la compuerta \( A \) es \( A = b - h = 6 - 4 = 24 m^2 \).
La fuerza hidrostática resultante \( F \) es \( F = P_{cp} - A = 19620 - 24 = 470880 N = 471 kN \).
Ejemplo 2: Calcula la fuerza hidrostática sobre una compuerta circular de 3 m de diámetro, sumergida en aceite de densidad relativa 0,8, con su centro a 2,5 m por debajo de la superficie del aceite.
El radio de la compuerta (\( r \)) es la mitad del diámetro, es decir, \( r = 1,5m \).
Como la compuerta es circular, el área \( A \) puede calcularse como \( A = \pi - (r)^2 = \pi - (1,5)^2 = 7,07 m^2 \).
La presión en el centroide \( P_{cp} \) es \( P_{cp} = \rho - g - h_c = 800 - 9,81 - 2,5 = 19620 Pa \).
Por tanto, la fuerza hidrostática resultante \( F \) es \( F = P_{cp} - A = 19620 - 7,07 = 138674 N = 138,7 kN \).
Recuerda que necesitas comprender a fondo los principios y las fórmulas para calcular hábilmente la fuerza hidrostática en diversas circunstancias.
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana - Puntos clave
- La fuerza hidrostática sobre una superficie plana se refiere a la fuerza ejercida por un fluido en reposo, resultante de la multiplicación de la presión del fluido y el área sobre la que se distribuye la presión.
- Los factores que influyen en la fuerza hidrostática son la profundidad del centroide del área sumergida, el área y la forma de la superficie sumergida y la densidad del fluido.
- La fuerza hidrostática sobre distintas superficies planas, como las verticales, sumergidas e inclinadas, difiere debido a su geometría, orientación y a la profundidad del líquido por encima del centroide del área sumergida.
- La fórmula para calcular la fuerza hidrostática sobre una superficie plana es \( F = P_{cp} - A \), donde \( P_{cp} \) es la presión en el centroide de la superficie plana y \( A \) es el área de la superficie. La presión \( P_{cp} \) en el centroide se calcula mediante \( P_{cp} = \rho - g - h_c \), donde \( \rho \) es la densidad del fluido, \( g \) es la aceleración debida a la gravedad y \( h_c \) es la profundidad vertical del centroide de la superficie sumergida desde la superficie del fluido.
- Diferentes ejemplos explican cómo se aplican las fórmulas para calcular la fuerza hidrostática sobre diferentes superficies planas en diversas circunstancias.
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