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Para representar, por ejemplo, una circunferencia, se puede pasar de dos variables \((x, y)\) a una sola nueva, que se llama parámetro. Una ecuación que usa esta variable se llama ecuación paramétrica y también se pueden derivar por un método especial.
Ecuaciones paramétricas
Una ecuación paramétrica es una ecuación que tiene una o varias variables dependientes de una o más variables independientes, llamadas parámetros.
Pongamos un ejemplo sencillo, en el cual se tiene una figura, que no es una función, pero que puede serlo, si esta es representada como una ecuación paramétrica. Este ejemplo es la circunferencia.
Si recuerdas, una función es una relación entre dos grupos de números; por ejemplo, de números reales. A cierto número \(a\) le corresponde un número \(b\). Pero, para que esta sea una función:
- Al número \(a\) le corresponde un solo numero \(b\).
- \(b\) es conocido como la variable dependiente y \(a\) como la variable independiente.
En el caso de la circunferencia, \(x\) es la variable independiente y \(y\) es la independiente. Pero, hay un problema: si tomamos una circunferencia con centro en el origen (como se ve en la imagen debajo), a un mismo punto de \(x\) le corresponden dos valores de \(y\). La circunferencia, por lo tanto, no es una función que se pueda representar en términos de \(y=x(x)\).
Hay una manera de evitar esto y es tener una ecuación paramétrica. El proceso no se verá aquí, pero podemos decir que \(x\) y \(y\) pueden ser representadas como:
\[x=\cos(t)\]
\[y=\sin(t)\]
Donde, \(t\) es el parámetro de la ecuación.
Esta ecuación \((x, y)=(\cos(t),\sin(t))\) es la ecuación de la circunferencia unitaria.
Fig. 1. La circunferencia unitaria se puede representar mediante ecuaciones paramétricas.
Variables en una ecuación paramétrica
Debido a que en una ecuación paramétrica las variables dependen del parámetro, esto se convierte en una especie de regla de la cadena, porque el parámetro es función de otra variable.
Si vemos el caso de la circunferencia nuevamente:
\[x=f(t)\]
\[y=f(t)\]
Otro ejemplo es la ecuación de la recta que, en forma de función es dada como \(y=mx+b\); pero, puede ser dada en forma paramétrica como:
\[x=x_1+t(x_2-x_1)\]
\[y=y_1+t(y_2-y_1)\]
Y, nuevamente, esto significa:
\[x=f(t)\]
\[y=f(t)\]
Si intentas derivar la función \(f(t)\) como \(\frac{dy}{dx}\) esto implicaría:
\[\dfrac{dy}{dt}\cdot\dfrac{dt}{dx}\]
Por regla de la cadena, esto nos lleva a un proceso un poco más complejo llamado derivación paramétrica, que abordaremos a continuación.
Derivada de una función paramétrica
La diferenciación paramétrica es el proceso de diferenciar dos ecuaciones paramétricas separadas.
La diferenciación paramétrica es distinta del proceso de diferenciación estándar, ya que las dos ecuaciones separadas \((y,x)\) son funciones de una tercera variable dependiente, llamada parámetro. En el método de diferenciación estándar, las ecuaciones están en la forma cartesiana, donde una variable dependiente \((y)\) se expresa como una función de otra variable \((x)\).
Por ejemplo, las ecuaciones cartesianas pueden tener la forma de \(y=f(x)\), mientras que las ecuaciones paramétricas tienen la forma de \(y=f(t)\) y \(x=f(t)\) .
¿Por qué utilizamos la diferenciación paramétrica?
La diferenciación paramétrica se utiliza para describir la pendiente y la concavidad de las curvas paramétricas que están definidas por ecuaciones paramétricas. Este tipo de ecuaciones suelen describir curvas que se solapan en varios puntos y que son difíciles de describir con ecuaciones cartesianas. Las derivadas paramétricas pueden utilizarse para construir las ecuaciones de las tangentes y las normales de las curvas.
¿Cuáles son los pasos para la diferenciación paramétrica?
Vamos a desglosarlos.
Aplicar la regla de la cadena estándar
El primer paso es aplicar la regla de la cadena estándar, ya que seguimos buscando la derivada de \(\dfrac{dy}{dx}\), pero necesitamos encontrar la expresión correcta para las ecuaciones paramétricas dadas. La regla de la cadena es la siguiente:
\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx} \]
Veamos un ejemplo que contiene las ecuaciones paramétricas de una circunferencia:
\[x(t)=\cos(t)\]
\[y(t)=\sin(t)\]
Utilizando la regla de la cadena, tenemos ahora la siguiente expresión:
\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dt}\cdot\dfrac{dt}{dx}=\dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}\]
La regla de la cadena también puede expresarse como un cociente de las dos derivadas con respecto al parámetro común, si reordenamos la expresión (como se muestra arriba), siempre que el denominador no sea cero.
Este es un truco que simplifica el proceso, también llamado regla de la cadena inversa.
Diferenciación de cada ecuación paramétrica por separado
Como segundo paso, debemos realizar la diferenciación de cada ecuación: ahora procederemos a diferenciar la función \(x\) con respecto a \(t\), y luego repetiremos el proceso para la función \(y\). Esto nos servirá para crear la relación mostrada en el paso 2: para encontrar la derivada paramétrica \(\dfrac{dy}{dx}\), dividiendo las dos derivadas.
Continuando con el primer ejemplo, las derivadas de las funciones \(x\), \(y\) con respecto a \(t\) son las siguientes:
\[\dfrac{dx}{dt}=-\sin(t)\]
\[\dfrac{dy}{dt}=\cos(t)\]
Crear una relación de las derivadas paramétricas
El tercer y último paso consiste en sustituir cada derivada paramétrica en la expresión de la razón obtenida por la aplicación de la regla de la cadena.
Siguiendo con el ejemplo, dividimos la derivada \(y\) sobre la derivada \(x\):
\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}=\dfrac{\cos(t)}{-\sin(t)}=-\cot(t)\]
Practiquemos:
Halla el cociente \(\dfrac{dy}{dx}\), si \(\dfrac{dy}{d\theta}=x^5+6\) y \(\dfrac{dx}{d\theta}=x^3\).
Solución:
Dividimos \(\dfrac{dy}{d\theta}\) sobre \(\dfrac{dx}{d\theta}\), para obtener \(\dfrac{dy}{dx}\):
\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{ \dfrac{dy}{d\theta} }{ \dfrac{dx}{d\theta} }=\dfrac{x^5+6}{x^3}\]
Derivada de una curva en forma paramétrica
Debido a que las curvas son funciones que, en muchos casos, tienen más de un valor de \(y\) para una sola \(x\), es muy normal que la diferenciación paramétrica sea usada en parábola, círculos y curvas de varios tipos.
Ya hemos visto cómo se representa un círculo de forma paramétrica y, también, parte de su derivada paramétrica.
Aprendamos ahora cómo hacerlo con una curva más general:
Deriva la siguiente función:
\[x=t^2-1\]
\[y=t+5\]
Donde esta función existe en el rango \(t\in[1, 10]\).
Derivemos cada término:
\[\dfrac{dx}{dt}=2t\]
\[\dfrac{dy}{dt}=1\]
Si lo sustituimos en \(\dfrac{dy}{dx}\), tenemos:
\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{2t}\]
Si quieres saber más acerca de esta función, puedes ver que esta derivada no está definida para \(t=0\). Si sustituimos los valores para los cuales \(t=0\), obtendremos:
\[x=-1\]
\[y=5\]
que es el vértice de nuestra parábola.
Debido a que el término \(t^2\) es positivo, sabemos que esta abre hacia la izquierda.
Hallar la ecuación de la tangente de una curva utilizando la diferenciación paramétrica
La tangente de una curva es una recta que toca la superficie de una curva en un punto determinado \((x_1, y_1)\), como se ve en la siguiente figura. Como una tangente es una línea recta, la ecuación de la tangente tiene la forma de \(y=ax+c\), donde \(a\) es la pendiente y \(c\) es una constante.
La pendiente de la recta tangente es igual a la derivada de la curva. Si se conoce el punto de tangencia y las ecuaciones paramétricas, se puede hallar la ecuación de la tangente, mediante la diferenciación paramétrica, con la siguiente fórmula \(y-y_1=a(x-x_1)\); donde \((x_1, y_1)\) son las coordenadas del punto de tangencia.
Encuentra la ecuación de una tangente de una curva en el punto \((4; -6)\), si las funciones paramétricas son:
\[x=t^2\]
\[x=t^2-5t\]
Solución:
En primer lugar, hay que realizar la diferenciación paramétrica, ya que las ecuaciones paramétricas están dadas. Utilizando la regla de la cadena inversa, dividimos \(\dfrac{dx}{dt}\) entre \(\dfrac{dy}{dt}\):
\[\dfrac{dx}{dt}=2t\]
\[\dfrac{dy}{dt}=2t-5\]
\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{ \dfrac{dy}{dt}} { \dfrac{dx}{dt} }=\dfrac{2t-5}{2t}\]
Ahora, tenemos que encontrar los valores de \(t\) en el punto de tangencia, sustituyendo las coordenadas dadas \((4,-6)\) en una de las ecuaciones paramétricas.
Sustituiremos la coordenada \(y\) en la ecuación paramétrica y, para este ejemplo en particular, con el fin de mostrar lo que ocurre cuando se dan dos posibles valores de \(t\). En general, solo es necesaria una sustitución para encontrar un valor de \(t\) en el punto de la tangente:
\[-6=t^2-5t \rightarrow t^2-5t+6=0 \rightarrow t=3; t=2\]
Para comprobar cuál de los dos valores de \(x\) es el válido, necesitamos comprobar el valor de \(x\) correspondiente, si es verdadero para el valor de \(t\) elegido, ya que queremos un valor de \(t\) que sea consistente y verdadero para ambos valores de \(x\) e \(y\).
Cuando \(t=3\) entonces:
\[x=t^2 \rightarrow x=3^2=9 \rightarrow x=9\]
pero, el valor real de \(x\) es \(4\).
Por tanto, el valor de \(t=3\) no es válido para el punto de tangencia.
Cuando \(t=2\), entonces:
\[x=t^2 \rightarrow x=2^2=4 \rightarrow x=4\]
Por lo tanto, el valor de \(t=2\) es válido.
Hemos encontrado el valor de \(t\), que es verdadero, por lo que ahora podemos continuar con la búsqueda de la pendiente correspondiente, sustituyendo el valor de \(t\) en la derivada encontrada.
El último paso es sustituir la pendiente y las coordenadas en la fórmula dada:
\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2t-5}{2t}=\dfrac{2(2)-5}{2·2}=\dfrac{-1}{4}\]
\[y-y_1=a(x-x_1) \rightarrow y-(-6)=\dfrac{-1}{4}(x-4)\]
\[y+6=\dfrac{-1}{4}x+\dfrac{-1}{4}(-4)\]
\[y=\dfrac{-1}{2}x-5\]
Derivación paramétrica - Puntos clave
- La diferenciación paramétrica se utiliza para diferenciar ecuaciones paramétricas.
- Las ecuaciones paramétricas se pueden diferenciar aplicando la regla de la cadena inversa.
- Las derivadas paramétricas se dividen para eliminar el parámetro común.
- La derivada o pendiente de una curva puede utilizarse para encontrar la ecuación de la tangente de la curva, si se conoce el punto de tangencia.
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Preguntas frecuentes sobre Derivación paramétrica
¿Qué es la derivación paramétrica?
La diferenciación paramétrica es el proceso de diferenciar dos ecuaciones paramétricas separadas.
La diferenciación paramétrica es ditinta del proceso de diferenciación estándar ya que las dos ecuaciones separadas \((y,x)\) son funciones de una tercera variable dependiente llamada parámetro.
¿Cómo se deriva una función paramétrica?
Para derivar cada una, usas la regla de la cadena. Aquí, la función para x o y está en términos de otra variable, que es t.
¿Qué representan las funciones paramétricas?
Una función paramétrica es aquella función que está definida por una ecuación paramétrica
¿Qué son las ecuaciones paramétricas?
Una ecuación paramétrica es una ecuación que tiene una o varias variables que dependen de una o más variables dependientes, llamadas parámetros.
¿Qué es la derivada de una curva en forma paramétrica?
La ecuación de la tangente de la curva.
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