Función definida a trozos

Supongamos que quieres representar gráficamente la velocidad, dirección y posición de un pez mientras nada. Primero ,el pez se mueve hacia el este; después, el pez para y la corriente lo mueve hacia el norte; nuevamente, el pez se mueve, pero ahora en dirección este, a velocidad constante hacia el noreste.

Puedes ver la gráfica del proceso a continuación:

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Debido a que la recta vertical no es una función —ya que un valor de x tiene varios valores de y— solo las rectas $f$ y $g$ son funciones válidas. Por lo tanto, la posición y movimiento del pez están compuestos por dos funciones separadas entre sí.

Se tiene las siguientes funciones:

$$h(x)=x^2+2x+1,x\in (-\mathrm{\infty },0)$$

$$g(x)=x+2,x\in [0,\mathrm{\infty })$$

En este caso, se puede crear una sola función —que esté formada por ambas funciones—, de la siguiente manera:

$$f(x)=\{\begin{array}{c}{x}^2+2x+1,x\in (-\mathrm{\infty },0)\\ x+2,x\in [0,\mathrm{\infty })\end{array}$$

El dominio de las funciones individuales es:

$$h(x)=x\in (-\mathrm{\infty },0)$$

$$g(x)=x\in [0,\mathrm{\infty })$$

Por lo que el dominio de $f(x)$ es:

$$x\in (-\mathrm{\infty },0)\cup [0,\mathrm{\infty })=(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })=\mathbb{R}$$

La función a trozos está definida como:

$$f(x)=\{\begin{array}{c}{x}^2+3,x\in (-\mathrm{\infty },1]\\ x+3,x\in [1,\mathrm{\infty })\end{array}$$

¿Es esta función continua?

Solución:

Para saberlo, debemos evaluar el límite de la función cuando se acerca a $1$ por la izquierda y a $1$ por la derecha.

Por la izquierda, esto es evaluar la función $x^2+3$; lo cual nos da:

$${\displaystyle \underset{x\to 1^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\to 1^{-}}{lim}{x}^2+3=1^2+3=4}$$

Por la derecha, es la función $x+3$; lo cual nos da:

$${\displaystyle \underset{x\to 1^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{lim}x+3=1+3=4}$$

Por lo tanto, los límites laterales de la función $x=1$ son 4. Así que $f(x)$ existe en $1$, y los límites a $1$ son el mismo; por lo tanto, es continua.

Se tiene la siguiente función por partes:

$$f(x)=\{\begin{array}{c}{x}^3+2x^2+x+1,x\in (-\mathrm{\infty },-2]\\ x+3,x\in [-2,\mathrm{\infty })\end{array}$$

En este caso, primero debes dibujar la gráfica del primer trozo; esta solo llegará hasta $-2$.

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Ahora, debes dibujar la gráfica del segundo trozo; esta irá de $-2$ en adelante.

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¿Cuál es el dominio de la función a trozos definida por las siguientes funciones?:

$$f(x)=\{\begin{array}{c}{x}^5+\sin x,x\in (-1,5)\\ x+\cos x,x\in [5,8)\end{array}$$

Solución:

Si recuerdas, el dominio es la unión de los dominios individuales; lo cual es:

$$x\in (-1,5)\cup [5,8)$$

Esto te da:

$$x\in (-1,8)$$

¿Cuál es el dominio de la función a trozos, cuyas funciones tienen los siguientes dominios?:

$$f(x)=\{\begin{array}{c}x,x\in (-\mathrm{\infty },-2)\\ x+1,x\in [4,\mathrm{\infty })\end{array}$$

En este caso, el dominio de $f(x)$ está partido y tiene una discontinuidad de tipo esencial:

$$x\in (\mathrm{\infty },-2)\cup [4,\mathrm{\infty })$$

Esto no se puede unir.

En el primer ejemplo de esta sección definimos que las funciones tienen el siguiente dominio:

$$x\in (-1,8)$$

Esto se debe a que se podían unir los dominios. Pero, ¿es continua?

Vemos que, al ser dos funciones distintas en el punto $x=5$, es probable haya una discontinuidad de tipo salto. Para comprobar si es así, tomamos los límites por la izquierda y la derecha de $x=5$.

Primero, el límite por la izquierda:

$${\displaystyle \underset{x\to 5^{-}}{lim}{x}^5+\sin x=3124,04}$$

Ahora, por la izquierda:

$${\displaystyle \underset{x\to 5^{+}}{lim}x+\cos x=5,28}$$

Como podemos ver, la función es continua en su dominio pero el límite por la derecha y por la izquierda no coinciden, por lo que hay un salto y la función no es continua.

Supongamos que se tiene la siguiente función definida a trozos:

$$f(x)=\{\begin{array}{c}x,x^2\in (-\mathrm{\infty },0]\\ x,x\in (0,\mathrm{\infty })\end{array}$$

¿Cuál es el dominio de la función? ¿Es continua? ¿Cómo la representamos?

Solución:

En primer lugar, el dominio de la función es la unión de ambos; así que:

$$x\in (-\mathrm{\infty },0]\cup (0,\mathrm{\infty }]=x\in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })=\mathbb{R}$$

Por lo tanto, el dominio son todos los reales.

En cuanto a su continuidad, podemos hallar el límite tanto por la izquierda como por la derecha:

$${\displaystyle \underset{x\to 0^{-}}{lim}{x}^2=0}$$

$${\displaystyle \underset{x\to 0^{-}}{lim}x=0}$$

Como podemos ver, nos acercamos al valor de $f(x)=0$ en ambos lados; por lo cual, podemos deducir que esta función es continua, ya que el límite por la izquierda y la derecha son los mismos. Además, el valor de $0$ está en el dominio.

Ahora, intentemos dibujar la gráfica. Primero, podemos observar que la primera gráfica será una parábola y podemos sustituir valores como $x=-3$, $x=-2$ y $x=-1$ para trazar la gráfica.

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La siguiente gráfica es una recta con pendiente igual a $1$, así que cada valor de $x$ es igual a $y$; por lo cual, simplemente unimos el punto donde acaba la parábola y seguimos con una recta. Sustituimos valores $x=1$, $x=2$ y $x=3$ y después trazamos.

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Fig. 6: Problemas de funciones por trozos.