Funciones con valor absoluto

¿Qué es un valor absoluto?

Esto lo podemos escribir como:

• Las funciones que den un valor positivo, son positivas:\(f(x)=|x|=x\)

• Las funciones que den un valor negativo, son positivas:\(f(x)=|-x|=x\)

Operación valor absoluto en un número

El nombre valor absoluto se debe a que el valor de cualquier \(x\), con respecto al valor del punto \(0\), siempre será positivo.

Propiedades de la función valor absoluto

Primero, expliquemos las propiedades de la función valor absoluto; estas son:

• El valor absoluto de un número siempre dará un resultado positivo.

• El valor absoluto de un número \(x\) dará el mismo resultado que el valor absoluto de \(-x\).

Es decir: \(|x|=|-x|\).

• El valor absoluto del producto de dos valores \(a\) y \(b\) es igual que la multiplicación de los valores absolutos de cada término: \(|a(b)|=|a|(|b|)\).

• El valor absoluto de la división de dos valores \(a\) y \(b\) es igual que la división de los valores absolutos de cada término:\( \left| \dfrac{a}{b} \right|=\dfrac{|a|}{|b|}\)

• El valor absoluto de la suma o la resta de dos valores \(a\) y \(b\) no siempre es igual a la suma o resta de los valores absolutos de cada término. A esto se le conoce como desigualdad triangular: \(|a+b| \leq |a|+ |b|\).

• Al resolver ecuaciones con valores absolutos, las funciones valor absoluto implican un paso adicional. Teniendo en cuenta que el valor de \(x\) dentro de una función valor absoluto puede ser positivo o negativo, hay que resolver la ecuación considerando ambos casos, por lo que se obtendrán dos soluciones.

Representación gráfica de la función valor absoluto

Para dibujar la gráfica de una función con valor absoluto, tienes que sustituir los valores de \(x\) en \(f(x)=|x|\). Para obtener los correspondientes valores de \(y\), como \(f(x)\), obtendrás una tabla de valores de \(x\) y \(y\), que deberás representar en el plano de coordenadas. Vamos a sustituir los valores de \(x\) desde \(-2\) hasta \(2\).

Tabla 1: Función valor absoluto para la función \(f(x)=x\).

Fig. 2. Gráfica de la función valor absoluto de \(x\).

Para dibujar la gráfica de la función valor absoluto \(f(x)=|ax+b|\) , debes dibujar \(f(x)=ax+b\), solo para \(x\geq 0\) , y reflejar esta recta con respecto al eje \(y\).

Ecuaciones con valores absolutos

Cuando tienes una ecuación como \(|3x-1|=5\), puedes usar su gráfica para ayudarte a encontrar su solución, siguiendo estos pasos:

Inecuaciones con valor absoluto

Basándonos en el ejemplo anterior, ahora vamos a resolver una inecuación. Tienes que proceder de la misma manera que antes para encontrar los valores de \(x\) en los puntos de intersección \(A\) y \(B\), que son \(x=2\) y \(x=\frac{-4}{3}\).

Inversa de funciones con valor absoluto

La inversa de una función con valor absoluto no es una función, a no ser que restrinjas su dominio para que pueda ser una función biyectiva. Para conseguirlo, tenemos que restringir su dominio a solo una mitad de la gráfica. Puedes elegir cualquiera de las dos mitades, si no se especifica en la pregunta.

Derivada del valor absoluto

Para encontrar la derivada de una función con un valor absoluto tendremos que hacer un pequeño truco: volver a mirar la ecuación de una función valor absoluto

\[ |x|= x, x \geq 0 \]

\[|x|= -x, x < 0\]

Si hacemos la derivada de esta función a trozos, obtenemos:

\[f'(|x|)= 1, x \geq 0\]

\[f'(|x|)= -1, x < 0\]

Pero, teniendo en cuenta que el \(1\) se puede obtener dividiendo un número entre sí mismo, podemos hacer el siguiente cambio:

\[f'(x)=\dfrac{x}{|x|}\]

Ahora bien, si tenemos una función dentro de la propia función \(F(f(x))\), podemos realizar el cambio de variable \(u=f(x)\) . En ese caso, lo la derivada será:

\[F'(u)=\dfrac{u}{|u|}u'\]

Recuerda que cuando derivas una función, hay que aplicar la regla de la cadena, si es una función compuesta. En este caso \(u\) es una función de \(x\) dentro del valor absoluto; por lo tanto, tenemos que hallar su derivada. Esto, expresado en términos de \(x\), será:

\[F'(x)=\dfrac{f(x)}{|f(x)|f'(x)}\]

Hagamos un ejemplo con una función un poco más compleja, pero que contenga un solo término.

Integral de una función valor absoluto

Para encontrar la integral de una función valor absoluto, podemos proceder de la siguiente manera:

Sabemos que la función valor absoluto está definida como:

\[f(x)=|x|=\left\{\begin{array}\,x&\text{si}&x\geq 0\\-x&\text{si}&x<0\end{array}\right.\]

Por tanto, tenemos que calcular la integral para \(x\) y \(-x\).

\[\int |x| dx=\left\{\begin{array},\displaystyle\int x\mathrm{d}x&\text{si}&x\geq 0\\\displaystyle-\int x\mathrm{d}x&\text{si}&x<0\end{array}\right.\]

Utilizando la fórmula de integración:

\[x^n dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+c\]

Obtenemos, entonces, la integral del valor absoluto:

\[\int |x| dx=\left\{\begin{array},\dfrac{1}{2} x^2 +c&\text{si}&x\geq 0\\-\dfrac{1}{2} x^2 +c&\text{si}&x<0\end{array}\right.\]