Integración de funciones racionales

Descompón en fracciones simples la función:

$$f(x)=\dfrac{3x-2}{x^2-x-2}$$

Solución:

En primer lugar, observamos que el grado del numerador es menor que el del denominador. Por tanto, podemos convertir este cociente de polinomios en fracciones simples.

Factorizamos el denominador usando la fórmula de Cardano, y llegamos a:

$$f(x)=\dfrac{3x-2}{(x-2)(x+1)}$$

Como las raíces del denominador son dos raíces reales, distintas y cada una de multiplicidad uno, podemos separar este cociente en dos fracciones simples como:

$$\dfrac{3x-2}{(x-2)(x+1)}=\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{x+1}$$

Ahora, operamos esas dos nuevas fracciones para obtener un solo cociente:

$$\dfrac{3x-2}{(x-2)(x+1)}=\dfrac{A(x+1)+B(x-2)}{(x-2)(x+1)}$$

Seguimos desarrollando el numerador:

$$\dfrac{3x-2}{(x-2)(x+1)}=\dfrac{Ax+A+Bx-2B}{(x-2)(x+1)}$$

Como los dos denominadores son iguales, podemos eliminarlos:

$$3x-2=(A+B)x+(A-2B)$$

Con esto, podemos crear dos ecuaciones en función de los coeficientes de la \(x\), que tienen que ser igual en los dos lados de la ecuación; y lo mismo para los términos independientes:

$$\left\{\begin{array}\, 3=A+B\\-2=A-2B\end{array}\right.$$

Resolviendo este sistema, llegamos a:

$$A=\dfrac{4}{3}$$

$$B=\dfrac{5}{3}$$

Por tanto, podemos dividir la función inicial en dos fracciones simples como:

$$f(x)=\dfrac{3x-2}{(x-2)(x+1)}=\dfrac{\frac{4}{3}}{x-2}+\dfrac{\frac{5}{3}}{x+1}$$

Calcula la siguiente integral:

$$\int \dfrac{2x}{(x+2)(x-2)}dx$$

Solución:

En primer lugar, observamos el grado de los polinomios que forman la función racional. El grado del numerador es de 1 y el del denominador es de 2 (está descompuesto y tiene 2 factores). Por tanto, podemos aplicar la descomposición en fracciones simples:

$$\dfrac{2x}{(x+2)(x-2)}=\dfrac{A}{x+2}+\dfrac{B}{x-2}$$

$$\dfrac{2x}{(x+2)(x-2)}=\dfrac{A(x-2)+B(x+2)}{(x+2)(x-2)}$$

Luego, eliminamos los denominadores y desarrollamos el numerador:

$$2x=Ax-2A+Bx+2B$$

Ahora, ya Podemos crear el sistema:

$$\left\{\begin{array}\,2=A+B\\0=-2A+2B\end{array}\right.$$

Este sistema es muy sencillo y su solución es:

$$A=1$$

$$B=1$$

De este modo, podemos separar la función racional en dos fracciones simples; por lo que la integral queda como:

$$\int \left(\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{x-2}\right)dx$$

Esta integral se puede separar en dos, puesto que los términos están sumando y ambas son inmediatas:

$$\int \dfrac{1}{x+2}dx +\int \dfrac{1}{x-2}dx=\ln|x+2|+\ln|x-2|+c$$

Por ejemplo, el polinomio \(P(x)=(x+1)^3(x-2)\) tiene dos raíces distintas y una de ellas es de multiplicidad \(3\).

Calcula la siguiente integral:

$$\int \dfrac{3x-2}{(x+2)^2(x-1)}dx$$

Solución:

Puedes observar que el grado del numerador es menor que el grado del denominador, por lo que podemos descomponer esta función racional en fracciones simples.

Como vemos, una de las raíces es doble, esto implica que habrá una fracción simple más: una de las fracciones llevará el denominador elevado a la primera potencia y el otro a la segunda potencia. Si la multiplicidad de la raíz fuera de \(3\), habría una tercera fracción con denominador elevado a la tercera potencia y así sucesivamente.

En este caso, esto nos queda como:

$$\dfrac{3x-2}{(x+2)^2(x-1)}=\dfrac{A}{x+2}+\dfrac{B}{(x+2)^2}+\dfrac{C}{x-1}$$

El proceso siguiente es el mismo que en el caso anterior, pero ahora tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

$$3x-2=A(x+2)(x-1)+B(x-1)+C(x+2)^2$$

$$3x-2=Ax^2-Ax+2Ax-2A+Bx-B+Cx^2+4Cx+4C$$

Entonces, escribimos el sistema asociado:

$$\left\{\begin{align}&Ax^2+Cx^2=0\\&Ax+Bx+4Cx=3x\\&-2A-B+4C=-2\end{align}\right.$$

Ahora, resolvemos el sistema para obtener:

$$A=-\dfrac{1}{9}$$

$$B=\dfrac{8}{3}$$

$$C=\dfrac{1}{9}$$

Con esto podemos escribir la función racional como la suma de tres fracciones simples:

$$\dfrac{3x-2}{(x+2)^2(x-1)}=\dfrac{-1/9}{x+2}+\dfrac{8/3}{(x+2)^2}+\dfrac{1/9}{x-1}$$

Esto hace que podamos descomponer la integral en tres integrales más sencillas e inmediatas:

$$\begin{align} \int \dfrac{3x-2}{(x+2)^2(x-1)}dx&=\int \dfrac{-1/9}{x+2}dx+\int\dfrac{8/3}{(x+2)^2}dx+\int\dfrac{1/9}{x-1}dx=\\&=-\dfrac{1}{9}\ln|x+2|+\dfrac{8}{3}\int (x+2)^{-2}dx + \dfrac{1}{9}\ln|x-1|=\\&=-\dfrac{1}{9}\ln|x+2|+\dfrac{8}{3}\dfrac{(x+2)^{-1}}{-1}+ \dfrac{1}{9}\ln|x-1|=\\&=-\dfrac{1}{9}\ln|x+2|-\dfrac{8}{3(x+2)}+ \dfrac{1}{9}\ln|x-1|\end{align}$$

Calcula la siguiente integral:

$$\int \dfrac{5x+4}{x^2+2x+2}dx$$

Solución:

Como siempre, comprobamos que el grado del denominador es mayor que el del numerador. En esta función, el denominador es un polinomio de segundo grado, pero que no tiene raíces reales; por tanto, no lo podemos factorizar.

Lo que hacemos ahora es sacar un factor común para dejar la \(x\) del numerador con un \(2\) —que es el coeficiente de la derivada del \(x^2\) del denominador—:

$$\int \dfrac{5x+4}{x^2+2x+2}dx=5\int \dfrac{x+4/5}{x^2+2x+2}dx=\dfrac{5}{2}\int \dfrac{2x+8/5}{x^2+2x+2}dx$$

Como puedes ver, hemos sacado el \(5\) como factor común del numerador, para luego multiplicar el numerador por \(2\) y así obtener el término \(2x\). Sin embargo, no se nos puede olvidar dividir, también, entre \(2\).

Después de esto, queremos separar en dos la fracción y que una de ellas tenga en el numerador la derivada del denominador; por tanto:

$$\begin{align}\dfrac{5}{2}\int \dfrac{2x+2-2/5}{x^2+2x+2}dx&=\dfrac{5}{2}\int \dfrac{2x+2}{x^2+2x+2}dx+\dfrac{5}{2}\int \dfrac{-2/5}{x^2+2x+2}dx=\\&=\dfrac{5}{2}\int \dfrac{2x+2}{x^2+2x+2}dx-\int\dfrac{1}{x^2+2x+2}dx\end{align}$$

Es fácil ver que la primera integral es una integral inmediata. Esta es un logaritmo neperiano del denominador, puesto que en el numerador está la derivada del denominador.

La segunda integral puede transformase para que sea la integral de la arcotangente \((\arctan(x))'=\dfrac{1}{1+x^2}\):

$$\begin{align}\dfrac{5}{2}\int \dfrac{2x+2}{x^2+2x+2}dx-\int\dfrac{1}{x^2+2x+2}dx&=\dfrac{5}{2}\ln|x^2+2x+2|-\int\dfrac{1}{(x^2+2x+1)+1}dx=\\&=\dfrac{5}{2}\ln|x^2+2x+2|-\int\dfrac{1}{1+(x+1)^2}dx=\\&=\dfrac{5}{2}\ln|x^2+2x+2|-\arctan(x+1)+c\end{align}$$

Calcula la siguiente integral:

$$\int \dfrac{6x+4}{(x+2)(x^2+2x+2)}dx$$

Solución:

Como en todos los casos, comprobamos que el grado del numerador es menor que el del denominador. En esta función racional, el denominador está formado por una raíz real y un polinomio de segundo grado, que proporciona dos raíces complejas conjugadas. Por tanto, podemos separar la función racional en dos fracciones simples:

$$\dfrac{6x+4}{(x+2)(x^2+2x+2)}=\dfrac{A}{x+2}+\dfrac{Bx+C}{x^2+2x+2}$$

Igual que en los casos anteriores, desarrollamos las fracciones e igualamos numeradores:

$$6x+4=A(x^2+2x+2)+(Bx+C)(x+2)$$

A partir de esto, llegamos al siguiente sistema de ecuaciones:

$$\left\{\begin{array}\, Ax^2+Bx^2=0\\2Ax+2Bx+Cx=6x\\2A+2C=4\end{array}\right.$$

Cuya solución es:

$$A=-4$$

$$B=4$$

$$C=6$$

Por tanto, la función racional inicial puede separarse como:

$$\dfrac{6x+4}{x^2+2x+2}=\dfrac{-4}{x+2}+\dfrac{4x+6}{x^2+2x+2}$$

Como puedes observar, el primer término se puede integrar de manera inmediata con un logaritmo. Con el segundo término solamente tenemos que aplicar el método que hemos visto anteriormente para convertir el denominador en la derivada del denominador:

$$\begin{align} \int \dfrac{6x+4}{(x+2)(x^2+2x+2)}dx&=\int \dfrac{-4}{x+2}dx+\int \dfrac{4x+6}{x^2+2x+2}dx=\\&=-4\ln|x+2|+2\int\dfrac{2x+3}{x^2+2x+2}dx=\\&=-4\ln|x+2|+2\int \left(\dfrac {2x+2}{x^2+2x+2}+\dfrac{1}{x^2+2x+2}\right)dx=\\&=-4\ln|x+2|+2\ln|x^2+2x+2|+2\int\dfrac{1}{1+(x+1)^2}dx=\\&=-4\ln|x+2|+2\ln|x^2+2x+2|+2\arctan(x+1)+c \end{align}$$