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- En primer lugar veremos qué es la función exponencial.
- Después pasaremos a resolver integrales de funciones exponenciales.
- Luego estudiaremos las integrales de funciones trigonométricas hiperbólicas y las integrales de funciones trigonométricas hiperbólicas inversas.
- Por último, veremos las integrales que contienen una función exponencial multiplicada por una función trigonométrica.
La función exponencial
La función exponencial es la función definida por la fórmula \(f(x)=ae^x\). En este caso, si \(a=1\), se tiene \(f(x)=e^x\).
Esta función se representa en la siguiente gráfica:
Fig. 1: Gráfica de la función exponencial.
La integral de esta función es el área bajo, la curva que es:
Fig. 2: Gráfica del área bajo la curva de una función exponencial.
Cómo resolver integrales de funciones exponenciales
La función exponencial tiene una propiedad muy importante que es que su integral o derivada es la misma función original. Así que:
\[\int e^x dx = e^x+c\]
Sin embargo, no siempre es cierto que la integral o la derivada de la función exponencial sean iguales a la función original.
En cursos más avanzados, o en la universidad, podrás ver que el exponente es una función de \(x\) más compleja.
Veamos el caso en el que la exponencial tiene la siguiente forma:
\[\int e^{ax+b} dx = \dfrac{1}{a} e^{ax+b}+c\]
La razón es que la derivada de la función \(\dfrac{1}{a} e^{ax+b}+c\) nos tiene que dar la función original \(e^{ax+b}\). Esto es solo posible si se divide por la constante que multiplica a \(x\).
En general:
\[\int e^{ax+b} dx = \dfrac{1}{a} e^{ax+b}+c\]
Esta característica de la función exponencial también se da, por ejemplo al derivar.
\[\dfrac{d}{dx}e^x=e^x\]
Después de todo, recordemos que la integración y la derivación son las operaciones opuestas.
Veamos algunos ejemplos y ejercicios al respecto:
Integra la función \(e^{2x+3}\), para obtener su primitiva:
Solución:Si hacemos la integral \(\int e^{2x+3}dx\), tenemos que \(a=2\) y \(b=3\).
Si aplicamos la fórmula:
\[\int e^{ax+b} dx = \dfrac{1}{a} e^{ax+b}+c\]
Obtenemos:
\[\int e^{2x+3} dx = \dfrac{1}{2} e^{2x+3}+c\]
Ahora, por curiosidad, vamos a derivarla para observar que nos dé la función que teníamos antes:
\[\dfrac{d}{dx} \dfrac{1}{2} e^{2x+3}+c = \dfrac{1}{2} \dfrac{d}{dx} e^{2x+3}+c\]
\[\dfrac{1}{2} \dfrac{d}{dx} e^{2x+3}+c= \dfrac{1}{2} e^{2x+3} \dfrac{d}{dx} {2x+3} \]
\[\dfrac{1}{2} \dfrac{d}{dx} e^{2x+3}+c= \dfrac{1}{2} e^{2x+3} 2 \]
\[\dfrac{1}{2} \dfrac{d}{dx} e^{2x+3}+c= e^{2x+3} \]
Podemos ver cómo la derivada y la integral son iguales.
Hagamos otro ejemplo, con una función más sencilla:
Integra la función \(f(x)=e^{\frac{4}{5}x}+c\).
\[\int e^{\frac{4}{5}x}+c \]
Solución:
Aquí: \(a=\frac{4}{5}\) y \(b=0\).
Usando la fórmula, llegamos a:
\[\int e^{ax+b} dx = \dfrac{1}{a} e^{ax+b}+c\]
\[\int e^{\frac{4}{5} x} dx = \dfrac{5}{4} e^{\frac{4}{5}x}+c\]
Ahora, hagamos lo mismo: derivemos esta expresión para obtener nuestra función original y, así, verificar nuestros resultados.
\[\dfrac{d}{dx} \dfrac{5}{4} e^{\frac{4}{5}x}+c \]
Primero podemos dejar de lado la constante y tener:
\[\dfrac{5}{4} \dfrac{d}{dx} e^{\frac{4}{5}x}+c\]
Aquí, usando la regla de la cadena, la derivada de \( e^{\frac{4}{5}x}\) es la misma función. Después, debemos derivar el exponente:
\[\dfrac{5}{4} e^{\frac{4}{5}x} \dfrac{d}{dx} \dfrac{4}{5}x +c\]
Y esto es:
\[\dfrac{5}{4} e^{\frac{4}{5}x} \dfrac{4}{5}\]
Finalmente:
\[ e^{\frac{4}{5}x}\]
El siguiente ejemplo es más complicado: cuando la exponencial está elevada a una potencia cualquiera, que también está elevada a un exponente \(n\), como \( e^{(ax+b)^n}\). En estos casos, se usa uno de los métodos de integración conocido como cambio de variable.
Te daremos las instrucciones generales para esta integral de exponencial con potencias.
1. Cambia la variable por \(ax+b=u\).
2. Sustituye de regreso en la función original \(e^{u^n}\) y \(du=a·dx\), por lo que \(dx=\dfrac{du}{a}\):
\[\int e^{(ax+b)^n} dx=\int \dfrac{1}{a} e^{u^n} du \]
La integral de una función así es igual a una suma, que es la siguiente:
\[\sum^{\infty}_{i=0}\dfrac{x^{ni+1}}{i!(ni+1)} \]
Hagamos dos ejercicios más:
Calcula la integral de \(\int e^{2x+3} dx \).
Solución:
Al aplicar la fórmula de \(\int e^{bx+c} dx= \dfrac{1}{b} e^{bx+c} \), con \(b=2\):
\[\int e^{2x+3} dx= \dfrac{1}{2} e^{2x+3} +c\]
Calcula la integral de \(\displaystyle\int e^{(x+7)^2} dx\).
Solución:
Si hacemos un cambio de variable donde \(u=(x+7)\) y \(du=dx\) tenemos:
\[\int e^{(x+7)^2} dx = \int e^{u^2} du\]
Al aplicar la fórmula donde \(n=2\):
\[\sum^{\infty}_{i=0}\dfrac{u^{2i+1}}{i!(2i+1)} \]
Y, regresando a la función original:
\[\sum^{\infty}_{i=0}\dfrac{(x+7)^{2i+1}}{i!(2i+1)} \]
Aquí se dice que la integral converge, cuantos más términos de las suma obtengas. Este es un ejemplo de una integral que no puede ser calculada analíticamente.
Cuando se realizan integrales del tipo \(\int e^{x^n} dx\), lo que se obtiene como resultado es parte de una serie de funciones llamadas funciones gamma \(\gamma\).
Muchas de estas funciones tienen aplicaciones especiales que no se abarcan en tus cursos de bachillerato, pero que seguro verás en temas más avanzados de cálculo en la universidad.
Integrales de funciones trigonométricas hiperbólicas
Una serie de funciones especiales son las funciones hiperbólicas, como:
\(\sinh(x)\)
\(\cosh(x)\)
\(\tanh(x)\)
Estas funciones son especiales porque pueden ser representadas usando los siguientes exponenciales:
\(\sinh(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}\)
\(\cosh(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\)
\(\tanh(x)=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}\)
y tienen las siguientes derivadas:
- \((\sinh(x))'=\cosh(x)\)
- \((\cosh(x))'=\sinh(x)\)
- \((\tanh(x))'=\mathop{\mathrm{sech}} ^2(x)\)
Estas integrales se pueden resolver usando las fórmulas:
\(\displaystyle\int\sinh(x)dx=\cosh(x)+c=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2} +c\)
\(\displaystyle\int\cosh(x)dx=\sinh(x)+c=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}+c\)
\(\displaystyle\int\tanh(x)dx=\ln|\cosh(x)|+c=\ln|\dfrac{e^x+e^{-x}}{2} |+c\)
Integrales de funciones trigonométricas hiperbólicas inversas
Las integrales hiperbólicas también tienen inversas, que se pueden calcular fácilmente usando una tabla de fórmulas de las funciones hiperbólicas inversas. Estas son:
\(\mathop{\mathrm{arcsinh}}(x)=x\sinh(x)-\sqrt{1+x^2}+c\)
\(\mathop{\mathrm{arccosh}}(x)=x\cosh(x)-\sqrt{x^2-1}+c\)
Integral exponencial por trigonométrica
Otro caso especial de una integral que contiene una exponencial son las integrales que cuentan con una función exponencial multiplicada por una función trigonométrica del tipo \(\sin(x)\) o \(\cos(x)\). En este caso, se usa uno de los métodos de integración conocido como integración por partes.
Calcula \(\displaystyle\int \sin(x)e^xdx\).
Solución:
Elegimos las funciones para hacer integración por partes:
\[u=\sin(x)\Rightarrow du=\cos(x)dx\]
\[dv=e^x dx\Rightarrow v=e^x\]
Aplicamos la fórmula de integración por partes:
\[\int \sin(x)e^x dx=\sin(x)e^x-\int \cos(x)e^x dx\]
Al tener otra integral de una función trigonométrica por una exponencial, podemos volver a aplicar la integración por partes en esta integral:
\[u=\cos(x)\Rightarrow du=-\sin(x)dx\]
\[dv=e^x\Rightarrow v=e^x\]
\[\int \sin(x)e^x dx=\sin(x)e^x-\int \cos(x)e^x dx=\sin(x)e^x-\cos(x)e^x-\int \sin(x)e^xdx\]
Como puedes observar, hemos llegado a la misma integral que la original que queríamos resolver. En este caso, lo que podemos hacer es tratar a esta integral como una variable. Por tanto, podemos pasarla al otro lado de la igualdad; lo que queda como:
\[2\int \sin(x)e^x dx=\sin(x)e^x-\cos(x)e^x\]
Despejando, obtenemos el valor de la integral:
\[\int \sin(x)e^x dx=\dfrac{\sin(x)e^x-\cos(x)e^x}{2}\]
Este tipo de integrales se llaman cíclicas, puesto que se repiten a lo largo del proceso de integración.
Integral de funciones exponenciales - Puntos clave
- La función exponencial es la función definida por la fórmula \(f(x)=ae^{bx+c}\); en este caso, si \(a=1\), \(b=1\) y \(c=0\), se tiene \(f(x)=e^x\).
- La función exponencial tiene una propiedad muy importante: que su integral o derivada es la misma función original.
- La integral de la función exponencial es:
- \[\int e^x dx = e^x+c’\]
- Las integrales de las funciones hiperbólicas son:
- \(\int\sinh(x)dx=\cosh(x)+c=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2} +c\)
- \(\int\cosh(x)dx=\sinh(x)+c=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}+c\)
- \(\int\tanh(x)dx=\ln|\cosh(x)|+c=\ln|\dfrac{e^x+e^{-x}}{2} |+c\)
Las integrales de las funciones hiperbólicas inversas son:
- \(\mathop{\mathrm{arcsinh}}(x)=x\sinh(x)-\sqrt{1+x^2}+c\)
- \(\mathop{\mathrm{arccosh}}(x)=x\cosh(x)-\sqrt{x^2-1}+c\)
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Preguntas frecuentes sobre Integrales de funciones exponenciales
¿Cuál es la integral de una función exponencial?
La función exponencial tiene una propiedad muy importante, que es que su integral o derivada es la misma función original; así que: ∫ex dx=ex.
¿Cuáles son las funciones hiperbólicas?
Son funciones, en términos de exponenciales:
- senh(x)
- cosh(x).
- tanh(x).
- csch(x).
- sech(x).
- coth(x).
¿Cuál es la integral de una inversa hiperbólica?
Las integrales de las inversas parabólicas son:
- ∫arcsinh(x)dx=x·sinh(x)-√(1+x2).
- ∫arccosh(x)dx=x·cosh(x)-√(x2-1).
¿Cuál es la integral definida de una exponencial?
La integral definida de una exponencial se calcula aplicando los límites superior e inferior en la integral indefinida y restando estos valores.
¿Cómo se resuelve una integral exponencial trigonométrica?
Para resolver una integral en la que una función exponencial multiplica una función trigonométrica, lo mejor es aplicar la integración por partes.
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