Integrales de Funciones Trigonométricas

Integrales trigonométricas inmediatas

Las funciones trigonométricas se componen de las funciones seno, coseno, tangente y sus inversas arcoseno, arcocoseno y arcotangente. Veamos primero cómo integrar estas funciones en una integral directa.

Integral del seno

Podemos hallar la integral del seno si ya conocemos la derivada del coseno:

\[(\cos(x))'=-\sin(x)\]

Si ahora integramos esta expresión:

\[\int(\cos(x))'dx=-\int\sin(x)dx\Rightarrow \cos(x)=-\int\sin(x)dx\]

A partir de esto, obtenemos la integral del seno:

\[\int \sin(x)dx=-\cos(x)+c\]

Integral del coseno

De la misma manera podemos hallar la integral del coseno. Conociendo la derivada del seno llegamos a:

\[\int\cos(x)dx=\sin(x)+c\]

Integral de la función tangente

La integral de la tangente es:

\[\int\tan(x)dx=-\ln(x)|\cos(x)|+c\]

A esta fórmula llegamos a partir de las integrales anteriores:

\[\int\tan(x)dx=\int\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}dx\]

Como en el numerador está la derivada del denominador (solo falta un signo menos que podemos añadir), llegamos a:

\[\int\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}dx=-\ln|\cos(x)|+c\]

¿Cómo se integran las funciones trigonométricas al cuadrado?

Para integrar funciones trigonométricas al cuadrado puedes utilizar las integrales de las funciones trigonométricas que acabas de determinar y las identidades de ángulo doble.

Por ejemplo, para encontrar la función del seno elevada al cuadrado, puedes utilizar la identidad:

\[\cos(2x)=1-2\sin^2(x)\]

Si reordenamos esta expresión, encontramos:

\[\sin^2(x)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cos(2x)\]

Ahora, podemos sustituir esto en la integral que buscamos:

\[\int\sin^2(x)dx=\int\dfrac{1}{2}dx-\int\dfrac{1}{2}\cos(2x)dx\]

Sabemos que la integral del coseno es el seno, así que la integral anterior es:

\[\int\sin^2(x)dx=\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{4}\sin(2x)+c\]

Integrales trigonométricas inversas

Las funciones trigonométricas inversas, como arcoseno, arcocoseno y arcotangente, no pueden integrarse directamente. Por lo tanto, utilizamos la integración por partes.

Integral del arcoseno

Ahora vamos a calcular la integral del arcoseno:

\[\int\arcsin(x)dx\]

Vamos a utilizar la integración por partes para resolver esta integral:

\[u=\arcsin(x)\Rightarrow du=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]

\[dv=dx\Rightarrow v=x\]

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

\[\int\arcsin(x)dx=x\arcsin(x)-\int\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx\]

Para calcular esta nueva integral, usamos un cambio de variable:

\[w=1-x^2\]

\[dw=-2xdx\]

Si se sustituye:

\[\begin{align}\int\arcsin(x)dx&=x\arcsin(x)-\int \dfrac{\cancel{x}}{\sqrt{w}}\dfrac{dw}{-2\cancel{x}}=\\&=x\arcsin(x)+\dfrac{1}{2}\int\dfrac{1}{\sqrt{w}}dw=\\&=x\arcsin(x)+\dfrac{1}{2}\int w^{-1/2}dw=\\&=x\arcsin(x)+ w^{1/2}\end{align}\]

Deshacemos el cambio de variable para llegar a:

\[\int\arcsin(x)dx=x\arcsin(x)+\sqrt{1-x^2}+c\]

Integral del arcocoseno

De manera parecida calculamos la integral del arcocoseno:

\[\int\arccos(x)dx\]

Utilizando la integración por partes, se usa:

\[u=\arccos(x)\Rightarrow du=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx\]

\[dv=dx\Rightarrow v=x\]

Utilizando la fórmula de integración por partes, llegamos a:

\[\int\arccos(x)dx=x\arccos(x)+\int\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx\]

Igual que antes, hacemos la sustitución:

\[w=1-x^2\]

\[dw=-2xdx\]

Por lo que:

\[\begin{align}\int\arccos(x)dx&=x\arccos(x)+\int \dfrac{\cancel{x}}{\sqrt{w}}\dfrac{dw}{-2\cancel{x}}=\\&=x\arccos(x)-\dfrac{1}{2}\int\dfrac{1}{\sqrt{w}}dw=\\&=x\arccos(x)-\dfrac{1}{2}\int w^{-1/2}dw=\\&=x\arccos(x)- w^{1/2}\end{align}\]

Deshacemos el cambio de variable para llegar a:

\[\int\arccos(x)dx=x\arccos(x)-\sqrt{1-x^2}+c\]

Integral de la arcotangente

De modo similar a los dos casos anteriores llegamos a la integral de la arcotangente:

\[\int \arctan(x)dx=x\arctan(x)-\dfrac{1}{2}\ln|1+x^2|+c\]

Integrales trigonométricas racionales

Cuando se tienen funciones trigonométricas en fracciones, estas se pueden resolver usando un cambio de variable. Por ejemplo, las funciones seno o coseno:

\[\int\dfrac{\sin(x)}{\cos^2(x)}dx=-\int\dfrac{du}{u^2}\]

Para muchos de estos casos, el procedimiento se basa en los siguientes puntos:

• Identificar si hay un cambio de variable del tipo:

\[u=f(x)\]

\[du=g(x)\]

• Sustituir el cambio de variable.

• Resolver la integral, usando la nueva variable \(u\).

• Regresar a la variable original.

Tabla de integrales trigonométricas

Como resumen, una tabla con las integrales podría serte de gran utilidad: