Límites y continuidad

Definición práctica del límite de una función

Hagamos una definición práctica de lo que es un límite.

Podemos ver que, conforme nos acercamos a \(1\), los valores se acercan cada vez más hacia \(4\). Esta tendencia continua se llama el límite de una función. En este caso, es el límite de \(f(x)\), a medida que \(x\) se acerca a \(1\).

Una definición más formal del límite de una función

Supongamos que tienes una función que puede ser cualquiera, como:

$$f(x)$$

Esta función puede tomar cualquier valor real, así que podemos tener un número \(a\) al cual nos acercamos:

$$x\to a$$

Esto significa que nos podemos acercar hacia a tomando pequeños valores que denominaremos un pequeño delta (\(\Delta\)), justo como cuando nos acercamos en saltos de \(0{,}1\) en el ejemplo anterior.

$$x\to a=\Delta x<a$$

Este delta sigue siendo menor que el valor que queremos. Podemos hacer este delta tan pequeño, que podemos acercarnos mucho hacia el valor que deseamos, tanto que es aproximadamente ese valor.

$$x\to a=x+\Delta x\approx a$$

Pero, debemos recordar que podemos sustituir estos valores en la función, de tal modo que nos da un resultado:

$$f(a)=b$$

$$f(x)=xb<b$$

Aplicamos un pequeño incremento delta que nos acerca al valor que deseamos.

$$f(a)=b$$

$$f(x+\Delta x)\approx b$$

Sin embargo, recordemos que sigue siendo menor que el resultado de sustituir \(a\):

$$f(x+\Delta x)<b$$

Si podemos acercarnos a \(b\) continuamente, sin tocarlo —es decir, nos acercamos en valores delta tan pequeños y el valor al cual nos acercamos es el mismo—, esa función tiene un límite.

¡Hagamos un ejemplo con una función más compleja!

Continuidad y límites laterales

Las funciones muchas veces no son lineales y, además de esto, a veces suceden casos especiales como:

• La función no existe en el punto al que se acerca el límite; esto también se conoce como discontinuidad.

• El límite es distinto, dependiendo de si se acerca por la derecha o la izquierda. Esto también se conoce como límites laterales.

• El límite no se acerca a ningún valor; a esto se le llama divergencia. En un caso contrario, en el que el límite se acerque a cierto valor, se dice que converge.

El último punto nos da una nueva idea de los límites. Hasta el momento, nos hemos acercado al límite por la izquierda; es decir, que hemos tomado un valor menor y los hemos aumentado para acercarnos al valor que deseamos. Sin embargo, podemos hacer lo contrario: podemos tomar un valor mayor y se restan pequeños incrementos, para acercarnos por la derecha.

Esto se puede explicar más sencillamente con algunos ejemplos.

Límites y continuidad con ejercicios resueltos

Para explicar qué es la continuidad, la divergencia o convergencia de una función o los límites laterales, lo mejor que podemos hacer es ver algunos ejemplos:

Hagamos, ahora, un ejemplo donde la función converge por ambos lados, pero el punto no existe.

Pongamos un último ejemplo donde usaremos una función por partes.

Límite y derivada

El concepto de límite está íntimamente ligado a la derivada de la función y la continuidad. En general:

• Para que exista la derivada de la función en un punto, esa función debe ser continua en ese punto.

• El límite de una función puede existir aunque no exista la derivada en ese punto.

El concepto de la derivada puede ser extraído del concepto de un límite, conforme la función se evalúa cerca de un punto. Esto lo podemos definir como:

$$\lim_{h\to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

En esta definición, el incremento es \(\h\). Lo cual significa que los valores de ambas funciones se hacen cada vez más cercanos y se dividen entre un incremento menor. Lo que se tiene aquí es el incremento en el eje y dividido entre el incremento en el eje \(x\).

Este incremento es la razón de cambio de la función cerca del punto que deseamos evaluar y esto es igual a la derivada de la función cuando se evalúa en el punto deseado.

Límites y continuidad en varias variables

Las funciones de varias variables, como \(z=3x+4y^2-2\) también poseen posibles discontinuidades. Sin embargo, este tema está más allá de la complejidad de bachillerato. Por el momento podemos mencionar que para estas funciones existen derivadas más complejas y también existen discontinuidades. Estas funciones además representan, muchas veces, superficies en dos dimensiones.

Límites y la regla de L’Hôpital

Algunos límites pueden darnos algo llamado indeterminación, esto sucede cuando se tiene un límite que cubre alguno de los siguientes casos:

• Límite de cero entre cero:$$\dfrac{\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to a} g(x)}=\dfrac{0}{0}$$

• Límite de infinito entre infinito:$$\dfrac{\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to a} g(x)}=\dfrac{\infty}{\infty}$$

• Límite de cero por infinito:$$\lim_{x\to a} g(x) · \lim_{x\to a} f(x)=0·\infty $$

• Límite de infinito menos infinito:$$\lim_{x\to a} f(x)-\lim_{x\to a} g(x)=\infty -\infty$$

Estas son algunas de las indeterminaciones en límites más comunes, aunque existen algunas más. Para resolver estos límites, a veces basta con simplificar o reordenar la función para deshacer la indeterminación. En otros casos, puedes usar la Regla de L’Hôpital. Para ello, se toma el límite de las derivadas:

$$\dfrac{\displaystyle\lim_{x\to a} f'(x)}{\displaystyle\lim_{x\to a} g'(x)}$$

Este tema es tratado con más detalle en su propio artículo.