Métodos Numéricos

Integración numérica

Mientras que toda función que podamos diferenciar tiene una expresión analítica para su derivada, no todas las funciones que podemos integrar tienen una expresión cerrada para su antiderivada. Sin embargo, esto no significa la antiderivada no exista. En este caso, cuando se pretende calcular el área encerrada por la curva de la función, se usan métodos numéricos para aproximarla, lo cual permite aproximar en cierta medida la expresión de la antiderivada en el rango de integración.

Esta aproximación numérica se puede conseguir dividiendo el área bajo la curva en áreas más pequeñas que se correspondan con figuras geométricas con las que se intente cubrir el área bajo la curva. Una vez hecho esto, la suma de las áreas de estas figuras debería proporcionar una aproximación del área bajo la curva. En explicación, estudiaremos el método del trapezoide. En este método, se divide al área en una serie de trapecios, lo cual queda capturado en la siguiente imagen.

Figura 1.- Metodo de integracion numerica por trapecios.

Cuantos más trapecios se añadan (y, en consecuencia, más pequeños sean) más precisa será la aproximación del área que se quiere calcular.

Formalicemos este método mediante una fórmula. Supongamos que queremos integrar la función$f\left(x\right)$entre los límites$a$y$b$, es decir:

${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$

Para ello, dividiremos el intervalo$[a,b]$en$n$intervalos de igual grosor. Esto significa que disponemos de$n+1$puntos que denotamos por$x_i$donde$a=x_0$y$b=x_n$. La fórmula general para cada uno de estos puntos es:

$$\begin{gathered} x_i=a+i\frac{b-a}{n} \\ i\in [1,n-1] \end{gathered}$$

Teniendo estos puntos, podemos obtener los valores de la función$f\left(x\right)$evaluada en cada uno de estos puntos:$f\left(x_0\right),f\left(x_1\right),f\left(x_2\right)...f\left(x_{n-1}\right),f\left(x_n\right)$, lo cual nos va a permitir aproximar el área bajo la curva.

Como se indica en la figura 1, el objetivo es que cada una de estas divisiones permita definir un trapecio. El ancho de estos trapecios se corresponde con el grosor de las subdivisiones del intervalo $[a,b]$:

$h=\frac{b-a}{n}$

Además, se puede calcular el punto medio del segmento que une la función evaluada en los laterales del trapecio, dado que es una cantidad incluida en el área del trapecio.

$\frac{f\left(x_{i-1}\right)+f\left(x_i\right)}{2}$

Puesto que el área del trapecio se puede calcular como el producto del grosor y el punto medio del segmento que une los puntos del lado desigual, se obtiene que, para cada trapecio:

$h·\frac{f\left(x_{i-1}\right)+f\left(x_i\right)}{2}$

Sumando todos estos términos (utilizando la notación sigma) se obtiene la siguiente fórmula aproximada para la integral:

${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx\approx h\sum _{i=1}^n\frac{f(x_i-1)+f\left(x_i\right)}{2}$

Como cada punto$f\left(x_i\right)$aparece dos veces en la fórmula, excepto por los puntos inicial y final, se puede manipular la expresión para obtener la siguiente fórmula equivalente:

${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx\approx h((\frac{1}{2}f\left(x_0\right)+f\left(x_n\right))+\underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum f\left(x_i\right))}}$

Aproximación de raíces

No todas las ecuaciones pueden ser resueltas usando métodos algebraicos. Aquí es donde los métodos numéricos pueden ayudarnos. Sin embargo, no todos los métodos numéricos funcionan para todos los casos (los detalles dependen del problema específico que se esté tratando) y debemos analizar qué método es más adecuado utilizar.

Al contrario que en el caso de las integrales, los métodos numéricos de resolución de ecuaciones se basan en métodos iterativos (se encuentra una solución, se introduce, se encuentra otra…) y el hecho de que la solución que buscamos sea aproximada en cada repetición no es algo que esté garantizado.

Encontrando una raíz

Supongamos que tenemos una función$f\left(x\right)$y que existe la posibilidad de encontrar una raíz (valor de $x$tal que la función sea igual a cero) en el intervalo$[a,b]$. Si la función evaluada en$f\left(a\right)$y$f\left(b\right)$tiene distinto signo, es seguro que existe mínimo una raíz (si la función es continua) mientras que si no cambia de signo puede no existir esta raíz. La siguiente imagen puede ayudar a entender cómo el cambio de signo indica que existe una raíz.

Figura 2.- Raiz de una funcion, la imagen muestra el cruze del eje x-StudySmarter Originales.

Iteraciones

La iteración es un proceso basado en repeticiones a través del cual un algoritmo matemático usa un resultado anterior para calcular el resultado de la siguiente repetición. Un ejemplo sencillo de esto es la función$x_{n+1}=x_n+1.$

En esta ecuación, iniciamos con un valor de$x_0$y lo usamos para encontrar$x_1$. Podemos seguir con este proceso hasta encontrar el número$x_i$que queramos. Procesos de repetición como este nos permiten aproximarnos a las raíces de una función, siempre y cuando en cada iteración el resultado obtenido se aproxime cada vez más al resultado que buscamos (esto es lo que se conoce como convergencia).

El método de Newton-Raphson

Este método puede ser derivado usando matemáticas de un nivel más avanzado que los que vemos en esta serie de artículos (lo que se conoce como una expansión de Taylor). Supongamos que existe una función$f\left(x\right)$, que es diferenciable (tiene derivada). En este caso, sus raíces se pueden aproximar de manera muy eficiente por el método de Newton-Raphson, cuyo algoritmo es el siguiente.

$x_{n+1}=x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f\text{'}\left(x_n\right)\_}$

La iteración en este caso está dada como:$x_{n+1}$, con$f\left(x_n\right)\ne 0$y un punto inicial$x_0$arbitrario cuya proximidad a la raíz mejora la convergencia del método.