Funciones polinómicas

Monomios

Si un polinomio es una expresión algebraica que contiene más de un término de los cuales, al menos uno, contiene una variable \(x\) elevada a un exponente distinto que \(0\), una expresión que contiene un solo término se denomina un monomio.

Se puede decir, con cierta generalidad, que un polinomio está formado por monomios. Podemos ver esto a continuación:

• \(3x^5+2x^2+x-2\) es un polinomio.

• \(3x^5\) es un monomio.

• \(2x^2\) es un monomio.

• \(x\) es un monomio.

• \(2\) es una constante.

Binomios

Otro término importante es un binomio. Se da cuando la expresión algebraica contiene dos términos.

Trinomios

Una tercera clase de expresión importante que te encontrarás son los trinomios. De hecho, elevar un binomio al cuadrado producirá un trinomio.

De manera general, cualquier función con más de tres términos algebraicos es considerada un polinomio.

¿Qué es una función polinómica?

Las funciónes polinómicas siguen la forma estándar: \(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1x^1+a_0\)

Gráfica de una función polinómica

Los polinomios, como todas las funciones, se pueden representar con una gráfica. Estas gráficas dependen del grado del polinomio.

Las más características son (observa las figuras 1 y 2):

• Las gráficas de una función cuadrática, que es un polinomio de grado dos.

• La función cúbica, que es un polinomio de grado tres.

Las funciones con potencias pares, como \(x^4\) o \(x^6\), tienen formas parecidas a la cuadrática. Las funciones con potencias impares, como \(x^3\) y \(x^5\), tienen formas parecidas a la función cúbica.

Raíces de funciones polinómicas: punto de corte

Las funciones polinómicas, al igual que cualquier función, pueden tener raíces. Hay métodos generales para encontrar las raíces de algunos polinomios.

Raíces de polinomios cuadráticos

Para averiguar las raíces de las funciones cuadráticas, debes usar la fórmula cuadrática. Dada un polinomio representado por una función de la forma \(f(x)=ax^2+bx+c\), sus raíces se calculan como:

\[x_{1,2}=\dfrac{\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

El símbolo \(\pm\) indica que habrá dos raíces.

Raíces de polinomios cúbicos y de orden superior

No hay una manera específica para obtener las raíces de una función de orden mayor que dos, los métodos más usuales serán:

1. Inspección: En este caso debes de encontrar la raíz, intentando averiguar qué valor de \(x\) te podría dar un cero.

2. Factorización: Debes factorizar la función polinómica de su forma general \(ax^n+bx^{n-1}+cx^{n-2}...zx^0\) a binomios que se multiplican entre sí: \((a+x)(b+x)(c+x)...(z+x)\).

Ambos métodos son bastante complicados y largos, estos nos los verás normalmente en tus cursos básicos. Sin embargo, veremos dos ejemplos sencillos, para que lo comprendas mejor:

Se espera que una función tenga el número de puntos de corte igual a su exponente mayor. Por ejemplo:

Sin embargo, esto no es siempre cierto, ya que una función con un exponente igual a cuatro podría tener solo dos raíces (dos puntos de corte) o, incluso, no tener ninguna (lo cual significa que tienes raíces imaginarias).

Derivada de una función polinómica

Una característica importante de los polinomios es que son continuos, es decir, que no tienen puntos donde la función no existe. Esto significa que puedes sustituir cualquier número real en \(x\) y te dará un valor válido de \(f(x)\).

Esto implica que:

• Un polinomio siempre tiene una derivada.

• El número de derivadas que se pueden obtener de un polinomio es igual al grado de polinomio.

Para derivar un polinomio, se debe aplicar la siguiente fórmula a cada miembro de polinomio:

\[f’(x)=\dfrac{d}{dx} ax^n=a(n)x^{n-1}\]

En palabras muy sencillas: debes restar uno a la potencia a la cual la \(x\) está elevada y multiplicar la potencia original por la variable.

Hagamos dos pequeños ejemplos.