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Seguramente, cuando has entrado a cálculo has derivado funciones sencillas como las siguientes:
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Regístrate gratis¿Qué es una función compuesta?
Si se tienen las funciones \(h(x)=f(g(x))\), ¿cuál es la regla de la cadena para ambas?
Si se tienen las funciones \(h(f(x))\), ¿cuál es la regla de la cadena para ambas?
¿Cuál es el resultado de aplicar la regla de la cadena a la función \(Sen(ln(x))\)?.
La regla de la cadena genera:
La regla de la cadena es una regla para derivar funciones más complejas. ¿Verdadero o falso?
¿Qué es una función compuesta?
Si se tienen las funciones \(h(x)=f(g(x))\), ¿cuál es la regla de la cadena para ambas?
Si se tienen las funciones \(h(f(x))\), ¿cuál es la regla de la cadena para ambas?
¿Cuál es el resultado de aplicar la regla de la cadena a la función \(Sen(ln(x))\)?.
La regla de la cadena genera:
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Equipo de profesores de Regla de la Cadena
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Enviar comentarios\[\sin(x)\cos(x)3x^2\ln(x)+x^2\]
Pero, también seguramente, en tu segunda clase te has topado con operaciones mucho más difíciles y te has quedado boquiabierto porque no tienes una forma de resolverlas directamente. Hablamos de funciones como las siguientes:
\[f(x)=\sin(e^{x^2})\]
Bastante más difícil, ¿no es cierto? Es una función seno que tiene por argumento un exponencial elevado a una variable al cuadrado. Pero, ¡que no cunda el pánico! Esto es más sencillo de lo que parece, si usas la regla de la cadena.
La regla de la cadena es una de las reglas utilizadas en la diferenciación; puede usarse para diferenciar una función compuesta.
Una función compuesta combina dos o más funciones para crear una nueva función; puede denominarse función de una función.
Recordando la función anterior, \(f(x)=\sin(e^{x^2})\).
podemos decir que la variable al cuadrado es la función: \(f(x)=x^2\).
La exponencial de esta variable es otra función, \(g(x)=e^{f(x)}\).
y el seno con argumento del exponencial es otra función también: \(h(x)=\sin(g(x))\).
Por lo tanto, es una función compuesta; una función compuesta por otras funciones. Para resolver estas funciones compuestas, la regla de la cadena usa lo que llamaríamos el producto de las derivadas, donde la derivada total es la multiplicación de las derivadas de cada función. Veamos las fórmulas y algunos ejemplos, para ayudarte más con ello.
Estas funciones son comunes en matemáticas y modelos de física, química, biología o medicina; siempre encontrarás funciones que combinan otras funciones.
Existe una fórmula para utilizar la regla de la cadena cuando y es una función de \(u\) y \(u\)es una función de \(x\):
\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du} \dfrac{du}{dx}\]
La fórmula también se puede escribir en notación de función si: \(y=f(g(x))\).
entonces, se tiene: \(\dfrac{dy}{dx}=f'(g(x))g'(x)\).
Veamos algunos ejemplos de la regla de la cadena para entenderla mejor:
Encuentra la derivada de: \(f(x)=(2x-1)^3\).
Solución
En primer lugar, puedes empezar mirando la fórmula de la regla de la cadena antes de reescribir la función:
\[\dfrac{dy}{dx}=f'(g(x))g'(x)\]
\[y=u^3\]
\[u=2x-1\]
A continuación, puedes tomar tomar la nueva función y derivarla, para encontrar:
\[\dfrac{dy}{du}, \dfrac{du}{dx}\]
\[y=u^3 \dfrac{dy}{du}=3u^2\]
Ahora, puedes diferenciar tú la nueva variable, para encontrar: \(\dfrac{du}{dx}\).
\[u=2x-1\]
\[\dfrac{du}{dx}=2\]
Ahora que tienes cada aspecto de la fórmula, puedes encontrar la derivada:
\[\dfrac{dy}{du}, \dfrac{du}{dx}\]
\[\dfrac{dy}{dx}=(2)3u^2\]
\[\dfrac{dy}{dx}=6u^2\]
Por último, debes asegurarte de que tu respuesta esté escrita en términos de \(x\); para ello, puedes sustituirla por:
\[u=2x-1\]
\[\dfrac{dy}{dx}=6u^2\]
\[\dfrac{dy}{dx}=6(2x-1)^2\]
La pregunta también puede implicar algunas funciones trigonométricas. Veamos un ejemplo de cómo resolverla:
Encuentra la derivada de: \(f(x)=(\sin(x))^5\).
Solución
Puedes empezar esto, igual que antes, encontrando cada parte de tu fórmula:
\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du} \dfrac{du}{dx}\]
\[y=u^5\]
\[u=\sin(x)\]
A continuación, puedes diferenciar para encontrar: \(\dfrac{dy}{du}, \dfrac{du}{dx}\).
\[\dfrac{dy}{du}=5u^4\]
\[\dfrac{du}{dx}=\cos(x)\]
Ahora que tienes todos las partes, puedes resolver para encontrar la derivada o: \(\dfrac{dy}{dx}\).
\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du} \dfrac{du}{dx}\]
\[\dfrac{dy}{dx}=5u^4\]
\[\dfrac{dy}{dx}=5u^4 \cos(x)\]
Una vez más, tienes que asegurarte de que tu respuesta esté escrita en términos de \(x\); para ello, debes volver a sustituir en: \(u=\sin(x)\).
Lo cual te da: \(\dfrac{dy}{dx}=5(\sin(x))^4 \cos(x)\).
Es posible que te den la pregunta en forma de notación de función y te pidan que la diferencies.
Diferencia: \(f(g(x))=(3x^2+2)^2\).
Solución
En primer lugar, tienes que empezar por mirar tu fórmula de notación de funciones.
Si la función es \(y=f(g(x))\).
Entonces, \(\dfrac{dy}{dx}=f'(g(x))g'(x)\).
Ahora ya puedes identificar tus funciones, que son:
\[f(x)=x^2\]
\[g(x)=3x^2+2\]
A continuación, puedes diferenciar ambas, para encontrar sus derivadas:
\[f'(x)=2x\]
\[g'(x)=6x\]
Para la fórmula, también necesitas encontrar: \(f'(g(x))\).
que es: \(f'(g(x))=2(3x^2+2)\).
Ya que tienes todos los aspectos de la fórmula de notación de la función, puedes sustituir cada parte y hallar la derivada o \(\dfrac{dy}{dx}\):
\[\dfrac{dy}{dx}=f'(g(x))g'(x)\]
\[\dfrac{dy}{dx}=2(3x^2+2)(6x)\]
\[\dfrac{dy}{dx}=(6x^2+4)(6x)\]
\[\dfrac{dy}{dx}=36x^3+24x\]
Es importante tener en cuenta la fórmula que usarías si la función que te dan no tiene la forma que hemos usado aquí. La fórmula que hay que utilizar para ello es: \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{\dfrac{dx}{dy}}\)
La pregunta, entonces, podría ser algo así:
Encuentra el valor de la derivada en el punto p de la siguiente curva:
\[y^4+2y=x\]
\[p=(4,1)\]
Solución
Vamos a trabajar con esta pregunta para ver cómo se resuelve.
Primero, puedes empezar diferenciando la ecuación con respecto a \(y\):
\[y^4+2y=x\]
\[\dfrac{dy}{dx}=4y^3+2\]
A continuación, sustituye tu ecuación diferenciada en la fórmula:
\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{\frac{dx}{dy}}\]
\[\dfrac{dy}{dx} =\dfrac{1}{4y^3+2}\]
Ahora, todo lo que tienes que hacer es sustituir la \(y\) del punto de la curva de la pregunta en la fórmula para encontrar tu respuesta:
\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{4y^3+2}\]
\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{4(1)^3+2}\]
\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{6}\]
Encuentra el valor de la derivada en el punto \(p\) de la siguiente curva:
\[4y^3+3y=x\]
\[p=(6,3)\]
Solución
Una vez más, empiezas diferenciando la ecuación con respecto a \(y\):
\[4y^2+3y=x\]
\[\dfrac{dy}{dx}=8y+3\]
Ahora, puedes introducirlo en la fórmula para encontrar el valor de la derivada en el punto \(p\):
\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{\frac{dx}{dy}}\]
\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{8y+3}\]
A continuación, sustituye el valor de \(y\) de las coordenadas para resolver la ecuación:
\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{8y+3}\]
\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{8(3)+3}\]
\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{27}\]
La regla de la cadena se puede aplicar en otros contextos; uno de ellos es para ayudarte a integrar funciones. La regla de la cadena inversa se utiliza al integrar una función: consiste en tomar la función diferenciada, identificar si es una función compuesta en la que se aplicó la regla de la cadena y devolverla a su forma original.
Veamos un ejemplo:
Integra: \(\int 2xe^{x^2}dx\).
Solución
Sabemos que esta función es el resultado de una derivada, así que primero debemos identificar si esta función es el resultado de una derivada donde se usó la regla de la cadena.
Para hacer esto, puedes empezar por identificar tu función principal y descomponerla para revertirla a su integral original:
\[\dfrac{d}{dx}x^2=2xdx\]
\[\int f'(x)g(f(x))dx=g(x)\]
La regla de la cadena puede ser aplicada para una función que tenga varias variables. Esto escapa del área de este artículo. Sin embargo, se puede dar una forma general de cómo resolver, si alguna vez te encuentras con este problema.
Supongamos que se tiene una función zeta que es igual a:
\[z=f(g(u,v)),h(u,v)\]
\[x=g\]
\[y=h\]
Si las variables \(x\) y \(y\) son independientes, se tiene:
\[\dfrac{\partial z}{\partial u} = \dfrac{\partial z}{\partial x} \dfrac{\partial z}{\partial u}+\dfrac{\partial z}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial u}\]
\[\dfrac{\partial z}{\partial v} = \dfrac{\partial z}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial v}+\dfrac{\partial z}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial v}\]
Esto es la derivada parcial de la función original con respecto a sus variables.
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¿Cómo se aplica la regla de la cadena?
Se aplica identificando la composición de funciones f(g(x)), que da nuestra función original h(x).
¿Cómo surgió la regla de cadena?
No se sabe con exactitud. Sin embargo, todo indica que uno de sus primeros usuarios fue Liebniz, cuando intentó derivar la raíz cuadrada de una función cuadrática.
¿Cómo se aplica la regla de la cadena para derivar una función?
Debes identificar las funciones f(x) y g(x) que componen la función. Después de eso, debes derivar g(x) y multiplicarlo por la derivada de f(g(x)).
Un ejemplo es la derivada de sen(2x): aquí f(x) es sen(x) y g(x) es 2x.
Si derivas 2x obtienes 2, y si derivas sen obtienes -cos.
El resultado es, por lo tanto,: -cos(2x)2
¿Cuál es la regla de la cadena?
La regla de la cadena es una de las reglas utilizadas en la diferenciación; puede utilizarse para diferenciar una función compuesta. Una función compuesta combina dos o más funciones para crear una nueva función; que también puede denominarse función de una función.
¿Cuándo se debe aplicar la regla de la cadena?
La regla de la cadena se aplica cuando la función que vamos a tratar es el resultado de una composición de funciones; es decir, nuestra función h(x) está compuesta por f(x) y g(x) del modo: h(x)=f(g(x)).
Como ejemplo, podemos decir que para derivar la función h(x)=ecos(x) tenemos que aplicar la regla de la cadena.
Aquí, f(x)=eg(x), y g(x)=cos(x).
Por tanto, h'(x)=ecos(x)·(-sen(x))
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Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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