Regla de L'Hopital

Límites e indeterminaciones

Normalmente, podemos generalizar esto diciendo:

$$\underset{x\to c}{lim}f(x)=f(c)$$

Veamos un caso de ejemplo:

Límites indeterminados

A veces tenemos funciones que se acercan a un valor determinado, pero nunca lo alcanzan del todo, por lo que no está claro cuánto es $f(c)$. Usemos $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ como ejemplo. Si tomamos el límite cuando $x$ se aproxima a cero, no podemos utilizar la fórmula anterior; ya que $f(0)={\displaystyle \frac{1}{0}}$ y una división entre cero no es posible, el resultado es indeterminado.

Podemos considerar una función como una combinación de dos funciones de la forma ${\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}$.

Sin embargo, hay que tener en cuenta el problema que puede surgir cuando el límite de ambas funciones es cero.

Cuando tenemos una indeterminación, no podemos evaluar los límites tan fácilmente. Sin embargo, por suerte, tenemos una solución al problema: ¡la regla de L'Hôpital!

Calcular límites con la regla de L'Hôpital

Ahora, la parte que estabas esperando: la regla de L'Hôpital. Esta nos permite encontrar los límites de las indeterminaciones de la forma ${\displaystyle \frac{0}{0}}$, ${\displaystyle \frac{\pm \mathrm{\infty }}{\pm \mathrm{\infty }}}$, $0\cdot \mathrm{\infty }$. El redoble de tambor, por favor...

La regla de L'Hôpital

Si ${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}f(x)}$ y ${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}g(x)=f(c)}$ son ambos $0$ o $\pm \mathrm{\infty }$, entonces:

$$\underset{x\to c}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$

Es decir, basta con hacer la derivada de cada función y, entonces, aplicar el límite.

Ahora hagamos algunos ejemplos para ver cómo funciona.

Límite de un cociente

Apliquemos la regla de L'Hôpital para hallar el límite de un cociente de funciones.

Determina ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin (x)}{x}}$.

Solución:

Sea $f(x)=\sin (x)$ y $g(x)=x$.

Claramente, ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\sin (x)=0}$ y ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}x=0}$ y, por lo tanto, podemos utilizar la regla de L'Hôpital.

Ahora, $f^{\prime }(x)=\cos (x)$ y $g^{\prime }(x)=1$; por tanto ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}{f}^{\prime }(x)=1}$ y ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}{g}^{\prime }(x)=1}$. Entonces,

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=1$$

Y, así, por la regla de L'Hôpital:

$${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin (x)}{x}=1}$$

En la siguiente figura puedes observar la gráfica de la función ${\displaystyle \frac{\sin (x)}{x}}$ y ver que en $x=0$ la función se acerca al $1$ (aunque este valor no pertenece al dominio de la función).

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Fig. 1. Gráfica de la función ${\displaystyle \frac{\sin (x)}{x}}$.

Determina ${\displaystyle \underset{x\to 49}{lim}\frac{x-49}{\sqrt{x}-7}}$.

Solución:

Sea $f(x)=x-49$ y $g(x)=\sqrt{x}-7$.

Ahora, ${\displaystyle \underset{x\to 49}{lim}x-49=0}$ y ${\displaystyle \underset{x\to 49}{lim}\sqrt{x}-7=0}$ y, por tanto, podemos utilizar la regla de L'Hôpital.

Ahora, $f^{\prime }(x)=1$ y $g^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{x^{-1/2}}{2}}$ y, así, ${\displaystyle \underset{x\to 49}{lim}{f}^{\prime }(x)=1}$ y ${\displaystyle \underset{x\to 49}{lim}{g}^{\prime }(x)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{49}}=\frac{1}{14}}$.

Entonces, ${\displaystyle \underset{x\to 49}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=14}$ y, por la regla de L'Hôpital:

$${\displaystyle \underset{x\to 49}{lim}\frac{x-49}{\sqrt{x}-7}=14}$$

En la siguiente figura puedes observar la gráfica de la función ${\displaystyle \frac{x-49}{\sqrt{x}-7}}$ y ver que la función se acerca al valor que hemos calculado para el límite cuando $x=49$.

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Fig. 2. Gráfica de la función ${\displaystyle \frac{x-49}{\sqrt{x}-7}}$.

Ejemplos de la regla de L'Hôpital

Supongamos que diferenciamos $f(x)$ y $g(x)$ una vez y seguimos obteniendo ${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=\frac{0}{0}}$. En este caso, puedes seguir diferenciando mientras sigas trabajando con una función en forma indeterminada (es decir, $f^{(k)}(x)=0$ y $g^{(k)}(x)=0$, donde $k$ representa el número de veces que se ha diferenciado la función).

Límites al infinito

Hasta ahora hemos hecho muchos ejemplos utilizando ${\displaystyle \frac{0}{0}}$. Sin embargo, la regla de L'Hôpital también funciona para indeterminaciones de la forma ${\displaystyle \frac{\pm \mathrm{\infty }}{\pm \mathrm{\infty }}}$.

Demostración de la regla de L'Hôpital

La demostración de la regla de L'Hôpital para el caso general es algo complicada. Sin embargo, si suponemos que las derivadas de las funciones son continuas en el intervalo en el que derivamos (esto se cumple en la gran mayoría de los casos), entonces la demostración se vuelve mucho más sencilla.

Empezamos con la premisa:

$${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}={\displaystyle \frac{0}{0}}}$$

Como hemos dicho, tenemos $f^{\prime }(x)$ y $g^{\prime }(x)$ que son continuas; por tanto, existen $f^{\prime }(c)$ y $g^{\prime }(c)$, y como ${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}f(x)=0}$ y ${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}g(x)=0}$, entonces $f(c)=0$ y $g(c)=0$.

Por tanto, podemos restar estas imágenes en el numerador y en el denominador del límite, sin alterar el resultado:

$${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}=\underset{x\to c}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)}}}$$

Ahora, podemos dividir en el numerador y en el denominador entre $x-c$:

$${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)}}=\underset{x\to c}{lim}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{f(x)-f(c)}{x-c}}}{{\displaystyle \frac{g(x)-g(c)}{x-c}}}}}$$

Entonces, tanto en el numerador como en el denominador está la definición de la derivada de cada función en el punto $c$ que, a su vez, es el límite de la función cuando $x$ tiende a $c$:

$${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{f(x)-f(c)}{x-c}}}{{\displaystyle \frac{g(x)-g(c)}{x-c}}}}={\displaystyle \frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \underset{x\to c}{lim}{f}^{\prime }(x)}}{{\displaystyle \underset{x\to c}{lim}{g}^{\prime }(x)}}}={\displaystyle \underset{x\to c}{lim}{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}}}$$

Así, ya hemos demostrado la regla de L'Hôpital cuando se produce la indeterminación de tipo ${\displaystyle \frac{0}{0}}$.

Suposición de la regla de L'Hôpital

Hasta ahora, hemos supuesto que la regla de L'Hôpital siempre funciona. Ocasionalmente, la regla de L'Hôpital fallará y las derivadas caerán a un bucle infinito.

Por ejemplo, ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}}$.

Por la regla de L'Hôpital,

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}{\left(\sqrt{x^2+1}\right)}^{-1/2}2x}{1}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$$

Si volvemos a aplicar la regla de L'Hôpital:

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{2}}{\left(\sqrt{x^2+1}\right)}^{-1/2}2x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$$

Esto es exactamente lo que teníamos que diferenciar en primer lugar, por lo que diferenciar de nuevo producirá el mismo resultado una y otra vez. Por lo tanto, en esta ocasión, la regla de L'Hôpital no funcionará y habrá que encontrar el límite reescribiendo

${\displaystyle \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}}$ como

$\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}$ y aplicando después el límite:

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{{\displaystyle \frac{x^2+1}{x^2}}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{1+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}}=\sqrt{1+0}=1$$