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De todas formas, independientemente de quién la escribiera, la regla es muy útil y puede ayudarnos mucho en nuestro estudio de los límites. Así que empecemos por recapitular lo que entendemos, exactamentem por un límite.
Límites e indeterminaciones
Supongamos que tenemos una función \(f(x)\); el límite es lo que le ocurre a la función cuando se acerca a un valor determinado.
Normalmente, podemos generalizar esto diciendo:
\[\lim_{x\rightarrow c} f(x)=f(c)\]
Veamos un caso de ejemplo:
¿Cuál es el límite de la función \(f(x)=2x\), a medida que \(x\) se acerca a cero?
Solución:
En este caso, tenemos
\[\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0}2x=2\cdot0=0\]
Por tanto, el límite de esta función cuando \(x\) tiende a \(0\) es \(0\).
Límites indeterminados
A veces tenemos funciones que se acercan a un valor determinado, pero nunca lo alcanzan del todo, por lo que no está claro cuánto es \(f(c)\). Usemos \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) como ejemplo. Si tomamos el límite cuando \(x\) se aproxima a cero, no podemos utilizar la fórmula anterior; ya que \(f(0)=\dfrac{1}{0}\) y una división entre cero no es posible, el resultado es indeterminado.
Podemos considerar una función como una combinación de dos funciones de la forma \(\dfrac{f(x)}{g(x)}\).
Por ejemplo, si tenemos la función \(\dfrac{x-4}{x^{2}+7}\), podemos escribirla como \(\dfrac{f(x)}{g(x)}\).
- donde \(f(x)=x-4\) y \(g(x)=x^{2}+7\).
En este caso, podemos obtener el límite calculando los límites de las dos funciones:
$$\lim_{x \to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{ \displaystyle \lim_{x \to c}f(x)}{\displaystyle \lim_{x \to c}g(x)}=\frac{f(c)}{g(c)}$$
$$\frac{\displaystyle \lim_{x \to 0}x-4}{\displaystyle \lim_{x \to 0} x^{2}+7}=\frac{0-4}{0+7}=\frac{-4}{7}$$
Así, el límite de la función cuando \(x\) tiende a cero es \(-4/7\).
Sin embargo, hay que tener en cuenta el problema que puede surgir cuando el límite de ambas funciones es cero.
Una indeterminación es aquella en la que la fórmula anterior arroja un resultado no posible, como
\(\dfrac{0}{0}\), \(\displaystyle \frac{±\infty}{±\infty}\), \(0\cdot\infty\).
En los siguientes límites tenemos formas indeterminadas:
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \frac{\displaystyle \lim_{x \to 0}\sin x}{\displaystyle \lim_{x \to 0}x} = \frac{0}{0}$$
$$\lim_{x \to \infty} \frac{x-1}{x^2} = \frac{\displaystyle \lim_{x \to \infty}x-1}{\displaystyle \lim_{x \to \infty}x^2} = \frac{\infty}{\infty}$$
$$\lim_{x \to 6} \frac{ x^2-36}{x-6} = \frac{\displaystyle \lim_{x \to 6}x^2-36}{\displaystyle \lim_{x \to 6}x-6} = \frac{36-36}{6-6}=\frac{0}{0}$$
$$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{1-x} = \frac{\displaystyle \lim_{x \to \infty}x}{\displaystyle \lim_{x \to \infty}1-x} =- \frac{\infty}{\infty}$$
Cuando tenemos una indeterminación, no podemos evaluar los límites tan fácilmente. Sin embargo, por suerte, tenemos una solución al problema: ¡la regla de L'Hôpital!
Calcular límites con la regla de L'Hôpital
Ahora, la parte que estabas esperando: la regla de L'Hôpital. Esta nos permite encontrar los límites de las indeterminaciones de la forma \(\dfrac{0}{0}\), \(\displaystyle \frac{±\infty}{±\infty}\), \(0\cdot\infty\). El redoble de tambor, por favor...
La regla de L'Hôpital
Si \( \displaystyle \lim_{x \to c} f(x)\) y \( \displaystyle \lim_{x \to c} g(x)=f(c)\) son ambos \(0\) o \(\pm\infty\), entonces:
$$\lim_{x \to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$
Es decir, basta con hacer la derivada de cada función y, entonces, aplicar el límite.
Ahora hagamos algunos ejemplos para ver cómo funciona.
Límite de un cociente
Apliquemos la regla de L'Hôpital para hallar el límite de un cociente de funciones.
Determina \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}\).
Solución:
Sea \(f(x)=\sin(x)\) y \(g(x)= x\).
Claramente, \(\displaystyle \lim_{x \to 0}\sin (x)=0\) y \(\displaystyle \lim_{x \to 0}x=0\) y, por lo tanto, podemos utilizar la regla de L'Hôpital.
Ahora, \(f'(x)=\cos (x)\) y \(g'(x)=1\); por tanto \(\displaystyle \lim_{x \to 0}f'(x)=1\) y \(\displaystyle \lim_{x \to 0}g'(x)=1\). Entonces,
$$\lim_{x \to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=1$$
Y, así, por la regla de L'Hôpital:
\[\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = 1\]
En la siguiente figura puedes observar la gráfica de la función \(\dfrac{\sin(x)}{x}\) y ver que en \(x=0\) la función se acerca al \(1\) (aunque este valor no pertenece al dominio de la función).
Fig. 1. Gráfica de la función \(\dfrac{\sin(x)}{x}\).
Determina \( \displaystyle \lim_{x \to 49}\frac{x-49}{\sqrt{x}-7}\).
Solución:
Sea \(f(x)=x-49\) y \(g(x)= \sqrt{x} - 7\).
Ahora, \(\displaystyle \lim_{x \to 49}x-49=0\) y \(\displaystyle \lim_{x \to 49} \sqrt{x} - 7=0\) y, por tanto, podemos utilizar la regla de L'Hôpital.
Ahora, \(f'(x)=1\) y \(g'(x)= \dfrac{x^{-1/2}}{2}\) y, así, \(\displaystyle \lim_{x \to 49}f'( x)=1\) y \(\displaystyle \lim_{x \to 49}g'(x)=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{49}}=\frac{1}{14}\).
Entonces, \(\displaystyle \lim_{x \to 49}\frac{f'(x)}{g'(x)}= 14\) y, por la regla de L'Hôpital:
\[\displaystyle \lim_{x \to 49}\frac{x-49}{\sqrt{x}-7}=14\]
En la siguiente figura puedes observar la gráfica de la función \( \dfrac{x-49}{\sqrt{x}-7}\) y ver que la función se acerca al valor que hemos calculado para el límite cuando \(x=49\).
Fig. 2. Gráfica de la función \(\dfrac{x-49}{\sqrt{x}-7}\).
Ejemplos de la regla de L'Hôpital
Supongamos que diferenciamos \(f(x)\) y \(g(x)\) una vez y seguimos obteniendo \(\displaystyle \lim_{x \to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\frac{0}{0}\). En este caso, puedes seguir diferenciando mientras sigas trabajando con una función en forma indeterminada (es decir, \(f^{(k)}(x)=0\) y \(g^{(k)}(x)=0\), donde \(k\) representa el número de veces que se ha diferenciado la función).
Determina: \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)}= \displaystyle \lim_{x \to 0} \left( \frac{2\sin x-\sin(2x)}{x-\sin x} \right)\).
Solución:
Sea \(f(x)=2\sin(x) - \sin(2x)\) y \(g(x)=x- \sin x\).
Diferenciando, obtenemos: \(f'(x)=2\cos(x) - 2\cos(2x)\) y \(g'(x)=1-\cos(x)\).
Utilizando la regla de L'Hôpital:
$$ \lim_{x \to 0}=\frac{f'(x)}{g'(x)}= \frac{2-2}{1-1}=\frac{0}{0}$$
Volviendo a utilizar la regla:
$$f''(x)= -2 \sin x +4 \sin(2x) \space$$
$$g''(x)=\sin x$$
\[\displaystyle \lim_{ x \to 0} \frac{f''(x)}{g''(x)}=\frac{0}{0}\]
Usando, de nuevo, la regla de L'Hôpital:
$$f'''(x)= -2\cos x+8\cos(2x)$$
$$g'''(x)=\cos x$$
$$\lim_{x \to 0}\left( \frac{f'''(x)}{g'''(x)} \right)= \frac{-2+8}{1}=6$$
Por lo tanto:
\[\displaystyle \lim_{x \to 0}\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)=\lim_{x \to 0}\left( \frac{f'''(x)}{g'''(x)} \right)=6\]
Límites al infinito
Hasta ahora hemos hecho muchos ejemplos utilizando \( \displaystyle \frac{0}{0}\). Sin embargo, la regla de L'Hôpital también funciona para indeterminaciones de la forma \(\displaystyle \frac{±\infty}{±\infty}\).
Estos tipos de límites te pueden aparecer cuando estás determinando si una función tiene alguna asíntota. Puedes leer más sobre esto en nuestro artículo de Límites infinitos.
Calcula:
$$\lim_{x \to \infty}\frac{2x^{2}+1}{6x^{2}-3}$$
Solución:
El límite es:
$$\lim_{x \to \infty}\frac{2x^{2}+1}{6x^{2}-3}=\dfrac{\infty}{\infty}$$
Por lo tanto, podemos utilizar la regla de L'Hôpital; derivando el numerador y el denominador:
$$\lim_{x \to \infty}\frac{4x}{12x}=\dfrac{\infty}{\infty}$$
Ahora, tenemos que volver a utilizar la regla de L'Hôpital; volviendo a derivar el numerador y el denominador:
$$\lim_{x \to \infty}\frac{4}{12}=\dfrac{1}{3}$$
Podemos decir, entonces, que el límite es:
$$\lim_{x \to \infty}\frac{2x^{2}+1}{6x^{2}-3}=\dfrac{1}{3}$$
Demostración de la regla de L'Hôpital
La demostración de la regla de L'Hôpital para el caso general es algo complicada. Sin embargo, si suponemos que las derivadas de las funciones son continuas en el intervalo en el que derivamos (esto se cumple en la gran mayoría de los casos), entonces la demostración se vuelve mucho más sencilla.
Empezamos con la premisa:
\[\displaystyle\lim_{x\to c}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{0}{0}\]
Como hemos dicho, tenemos \(f'(x)\) y \(g'(x)\) que son continuas; por tanto, existen \(f'(c)\) y \(g'(c)\), y como \(\displaystyle \lim_{x \to c} f(x)=0\) y \(\displaystyle \lim_{x \to c} g(x)=0\), entonces \(f(c)=0\) y \(g(c)=0\).
Por tanto, podemos restar estas imágenes en el numerador y en el denominador del límite, sin alterar el resultado:
\[\displaystyle \lim_{x \to c}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c}\dfrac{f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)}\]
Ahora, podemos dividir en el numerador y en el denominador entre \(x-c\):
\[\displaystyle \lim_{x\to c}\dfrac{f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)}=\lim_{x\to c}\dfrac{\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}}{\dfrac{g(x)-g(c)}{x-c}}\]
Entonces, tanto en el numerador como en el denominador está la definición de la derivada de cada función en el punto \(c\) que, a su vez, es el límite de la función cuando \(x\) tiende a \(c\):
\[\displaystyle \lim_{x\to c}\dfrac{\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}}{\dfrac{g(x)-g(c)}{x-c}}=\dfrac{f'(c)}{g'(c)}=\dfrac{\displaystyle\lim_{x\to c}f'(x)}{\displaystyle\lim_{x \to c}g'(x)}=\displaystyle\lim_{x\to c}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}\]
Así, ya hemos demostrado la regla de L'Hôpital cuando se produce la indeterminación de tipo \(\dfrac{0}{0}\).
Suposición de la regla de L'Hôpital
Hasta ahora, hemos supuesto que la regla de L'Hôpital siempre funciona. Ocasionalmente, la regla de L'Hôpital fallará y las derivadas caerán a un bucle infinito.
Por ejemplo, \(\displaystyle \lim_{x \to \infty}=\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}\).
Por la regla de L'Hôpital,
$$\lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}=\lim_{x \to \infty}\frac{\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{x^{2}+1}\right)^{-1/2}2x}{1}=\lim_{x \to \infty}\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$$
Si volvemos a aplicar la regla de L'Hôpital:
$$\lim_{x \to \infty}\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}=\lim_{x \to \infty}\frac{1}{\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{x^{2}+1}\right)^{-1/2}2x}=\lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}$$
Esto es exactamente lo que teníamos que diferenciar en primer lugar, por lo que diferenciar de nuevo producirá el mismo resultado una y otra vez. Por lo tanto, en esta ocasión, la regla de L'Hôpital no funcionará y habrá que encontrar el límite reescribiendo
\(\dfrac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}\) como
\(\sqrt{\frac{1}{x^{2}}+1}\) y aplicando después el límite:
$$\lim_{x \to \infty}\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}=\lim_{x \to \infty}\sqrt{\dfrac{x^{2}+1}{x^2}}=\lim_{x \to \infty}\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}=\sqrt{1+0}=1$$
Regla de L'Hôpital - Puntos clave
- Un límite es un valor al que se acerca una función a medida que la entrada se aproxima a algún valor.
- A menudo, podemos calcular los límites mediante cocientes; es decir, \(\displaystyle \lim_{x \to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\displaystyle \lim_{x \to c}f(x)}{\displaystyle \lim_{x \to c}g(x)}=\frac{f(c)}{g(c)}\)
- A veces, \(\displaystyle \lim_{x \to c}\frac{f(x)}{g(x)}\) da como resultado una indeterminación, lo que lo hace más difícil.
- Las indeterminaciones son \(\frac{0}{0}\), \(\frac{±\infty}{±\infty}\) y \(±\infty\cdot 0\).
- Cuando \(\displaystyle \lim_{x \to c}\frac{f(x)}{g(x)}\) da una indeterminación, podemos utilizar la regla de L'Hôpital.
- La regla de L'Hôpital dice que si \(\displaystyle \lim_{x \to c}f(x)\) y \(\displaystyle \lim_{x \to c}g(x)\) son ambos \(0\) o ambos \(\pm\infty\), entonces:
\[\displaystyle \lim_{x \to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]
- Si la función sigue proporcionando una indeterminación después de aplicar la regla de L'Hôpital una vez, podemos diferenciar una y otra vez hasta que la función deje de proporcionar una indeterminación. Sin embargo, si acabamos en un bucle sin fin, en el que la derivada acaba siendo la misma cada vez, la regla de L'Hôpital falla.
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Preguntas frecuentes sobre Regla de L'Hopital
¿Quién demostró la regla de L'Hôpital?
Aunque esta regla recibe el nombre del marqués de L'Hôpital, realmente su descubridor fue el matemático suizo John Bernoulli con quien el marqués había llegado a un acuerdo de que a cambio de un salario mensual, Bernoulli le proporcionaría al marqués sus resultados para que éste hiciera lo que quisiera con ellos.
¿Cuántas veces se puede hacer la regla de L'Hôpital?
La regla de L'Hôpital se puede hacer tantas veces como sea necesario para simplificar el límite. Sin embargo, puede ocurrir que se caiga en un bucle infinito, es decir, que después de derivar, se obtenga el mismo límite que al principio. En estos casos, es necesario recurrir a otros métodos para calcular el límite.
¿Qué teorema permite demostrar la regla de L'Hôpital para límites indeterminados?
La regla de L'Hôpital se demuestra con la premisa de que las derivadas de las funciones son continuas en el intervalo en el que se deriva. Sin esta premisa, no podríamos demostrar esta regla.
¿Cómo se aplica la regla de L'Hôpital?
Para aplicar la regla de L'Hôpital debes calcular la derivada de la función del numerador y la derivada de la función del denominador. Después de esto, calcula el límite de este cociente. Si fuera necesario, puedes volver a derivar las funciones para hallar el límite.
¿Qué es la regla de L'Hôpital y cuál sería un ejemplo?
La regla de L'Hôpital nos dice que para calcular el límite de un cociente de funciones, podemos hacer el límite del cociente de las derivadas de estas funciones. Por ejemplo:
limx–>0(2x-1)/x=0/0
Por tanto, podemos aplicar la regla de L'Hôpital, derivando el numerador y el denominador:
limx–>0(2)/1=2
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