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Hay veces que tendrás un producto de funciones, y debes obtener la derivada de ambas. En este caso, podrías expandir las funciones, así se tienen dos polinomios como:
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Regístrate gratisLa regla del producto se aplica cuando:
La regla de producto es igual a \( {{d}\over{dx}}(f(x)g(x))=f’(x)g(x)-f(x)g’(x) \). ¿Falso o verdadero?
¿Cuál es la regla del producto?
¿Podrías decir que el método del producto es más fácil que la multiplicación?
Si se tienen dos polinomios multiplicándose, ¿qué métodos puedes aplicar para obtener su derivada?
¿Se puede aplicar la regla del producto entre funciones que no son polinomios?
¿Se puede aplicar la regla del producto en el siguiente caso: \(f(x)=ln(x)\) y \(g(x)=x^2+\sin(x)\)?
La regla del producto se aplica cuando:
La regla de producto es igual a \( {{d}\over{dx}}(f(x)g(x))=f’(x)g(x)-f(x)g’(x) \). ¿Falso o verdadero?
¿Cuál es la regla del producto?
¿Podrías decir que el método del producto es más fácil que la multiplicación?
Si se tienen dos polinomios multiplicándose, ¿qué métodos puedes aplicar para obtener su derivada?
¿Se puede aplicar la regla del producto entre funciones que no son polinomios?
¿Se puede aplicar la regla del producto en el siguiente caso: \(f(x)=ln(x)\) y \(g(x)=x^2+\sin(x)\)?
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Equipo de profesores de Regla del producto
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Enviar comentarios\[(x^3+2x^2+1)(x^4+x)\]
Esto se puede expandir para obtener una sola función, que es:
\[x^7+2x^6+2x^4+2x^3+x\]
Eso es más fácil de derivar. Pero, ¿qué pasa cuándo tienes funciones más complejas? o ¿qué pasaría si pudieses hacerlo sin expandir las funciones? Aquí podemos introducirte a lo que se conoce como la regla del producto.
La regla del producto es una de las reglas de diferenciación que debes conocer. Esta regla se utiliza cuando se diferencian los productos de dos funciones.
En general la fórmula del producto es la siguiente:
\[{{d}\over{dx}}f(x)g(x)=f(x)'g(x)+g(x)'f(x)\]
Aquí, tanto \(f(x)\) como \(g(x)\) son funciones, en general. Esto también se puede representar si usamos \(v=f(x)\) y \(u=g(x)\); esto sería:
\[(u·v)'=u'v+uv'\]
Lo mejor para poder comprender la reglas del producto es hacer algunos ejemplos:
Deriva la siguiente función:
\[h(x)=(3x^2)\cos(x)\]
Solución
Aquí las funciones son:
\[u=(3x^2)\]
\[v=\cos(x)\]
Por lo cual, podemos obtener \(u'\) y \(v'\):
\[u'=(6x)\]
\[v'=-\sin(x)\]
Si sustituimos esto en la formula original \[(u·v)'=u'v+uv'\] , se obtiene:
\[h'(x)=6x\cos(x)+3x^2(-\sin(x))\]
Simplificando esto se obtiene:
\[h'(x)=6x\cos(x)-3x^2\sin(x)\]
Ahora, veamos un ejemplo que contenga una sustitución trigonométrica.
Deriva la siguiente función:
\[h(x)=\cos(x)\cos(x)\]
Solución
Aquí las funciones son:
\[u=\cos(x)\]
\[v=\cos(x)\]
Por lo cual, podemos obtener:
\(u'\) y \(v'\).
\[u'=-\sin(x)\]
\[v'=-\sin(x)\]
Si sustituimos esto en la fórmula original \[(u·v)'=u'v+uv'\] , se obtiene:
\[(u·v)'=u'v+uv'= (\cos(x))(-\sin(x))+(\cos(x))(-\sin(x))\]
Simplificando esto, se obtiene:
\[h'(x)=(-2\cos(x)\sin(x)\]
Curiosamente la función original es el \(\cos^2(x)\), así que esta derivada también se podría calcular por la regla de la cadena:
\[h(x)=\cos^2(x)\Rightarrow h'(x)=2\cos(x)(-\sin(x))=-2\cos(x)\sin(x)\]
Veamos otro ejemplo, usando la regla del producto para derivar dos funciones:
Deriva la siguiente función:
\[h(x)=\frac{1}{x}·\ln(x)\]
Solución
Aquí las funciones son:
\[v=(\ln(x))\]
\[u={{1}\over{x}}\]
Podemos, entonces, expresar la función inversa:
\({{1}\over{x}}\) como \(x^{-1}\).
Por lo cual, podemos obtener \(u'\) y \(v'\):
\[v'={{1}\over{x}}\]
\[u'= {{-1}\over{x^2}} \]
Si sustituimos esto en la fórmula original \[(u·v)'=u'v+uv'\] , se obtiene:
\[h'(x)=\frac{-1}{x^2}\ln(x)+\frac{1}{x}\frac{1}{x}\]
Simplificando esto, se obtiene:
\[h'(x)=\frac{1}{x^2}(1-\ln(x))\]
Ahora pensemos: ¿qué pasaría si con las regla del producto se simplifican los resultados de las funciones siendo derivadas? Veamos un ejemplo.
Deriva la siguiente función:
\[h(x)=x\ln(x)\]
Solución
Aquí las funciones son:
\[u=\ln(x)\]
\[v=x\]
Por lo cual, podemos obtener \(u'\) y \(v'\).
\[u'={{1}\over{x}}\]
\[v'=1\]
Si sustituimos esto en la fórmula original \[(u·v)'=u'v+uv'\], se obtiene:
\[h'(x)=1·\ln(x)+x·\frac{1}{x}\]
Simplificando esto, se obtiene:
\[h'(x)=\ln(x)+1\]
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¿Qué nos dice la regla del producto?
La regla del producto es una de las reglas de diferenciación que debes conocer. Esta regla se utiliza cuando se diferencian los productos de dos funciones.
¿Cuál sería un ejemplo de la regla del producto?
Pongamos un ejemplo sencillo: g(x)f(x).
g(x)=x2+2
f(x)=Sen(x)
d\dx (f(x)g(x))=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)=2xSen(x)+Cos(x)(x2+2)
¿Qué es la derivada de un producto?
Es la suma de dos productos: el producto A más la derivada de B, más el producto de B por la derivada de A.
¿Cuál es la fórmula de la derivada de un producto?
La formula es:
d/dx (f(x)*g(x))=f'(x)g(x)+g'(x)f'(x)
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Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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