Sucesiones y series

Tipos de sucesiones numéricas

Hay dos tipos de sucesiones principales:

• Sucesiones aritméticas: en este tipo de sucesiones, los términos incrementan o disminuyen respecto de los anteriores mediante sumas o restas de una cantidad fija. Esta cantidad se llama diferencia y se denota, habitualmente, por la letra \(d\).

• Sucesiones geométricas: en este tipo de sucesiones, los términos incrementan o disminuyen respecto de los anteriores mediante multiplicaciones o divisiones por una cantidad fija. Esta cantidad se llama razón y se denota, habitualmente, por la letra \(r\).

Series en matemáticas

Ejemplos de series asociadas a sucesiones son:

Fórmulas que definen los términos de una sucesión

Cuando trabajes con sucesiones y series, puede ocurrir que necesites un término específico de estas. Para ello, es útil utilizar las fórmulas matemáticas que las caracterizan.

Fórmulas para sucesiones

Hay una fórmula que define ambos tipos de secuencias. Estas son usadas para encontrar el término enésimo de las mismas.

\[u_n=a+(n-1)d\]

Aquí \(u_n\) es el enésimo de la lista, \(a\) es el primer término y\(d\) es la diferencia.

Utilicemos esto en algunos ejemplos y ejercicios:

Ejercicios de sucesiones

Cuando se necesite encontrar el enésimo término en una sucesión geométrica, usaremos la siguiente fórmula:

\[u_n=ar^{n-1}\]

Entonces, usemos esta fórmula para encontrar el enésimo término en una serie geométrica:

Fórmulas para series

En el caso de series aritméticas, la expresión usada para encontrar la suma de los \(n\) primeros términos (para \(n\) no infinito) es:

\[S_n =\dfrac{n}{2}(2a+(n-1)d)\]

\(S_n\) es la suma de los primeros \(n\) términos, \(a\) es el primer término y \(d\) es la diferencia común.

Veamos un ejemplo de aplicación de esta fórmula:

La fórmula para obtener la suma de los primeros \(n\) términos de una sucesión geométrica es la siguiente:

\[S_n=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}\]

Observa que para \(r=1\) la fórmula no está bien definida, ya que el denominador es igual a cero. En este caso, \(r=1\) implica que la sucesión está formada por el mismo número, una y otra vez, puesto que se está multiplicando por uno (sería un caso equivalente a una serie aritmética en la que la diferencia es \(0\)).

Con esta noción, podemos utilizar la fórmula de los primeros \(n\) términos de una serie aritmética con \(d=0\) o utilizar el sentido común para ver que estamos sumando el mismo término (igual al primer término \(a\)) un número \(a\) de veces:

\[r=1\]

\[S_n=a(n)\]

Usemos esto en un ejemplo:

Notación sigma

La letra sigma \(\Sigma\) es usada para identificar sumas en series. En este caso, se utiliza junto con límites que representan el inicio de la suma, el final de la suma y la variable sobre la que se realiza la suma.

En esta suma se indica que \(r\) es la variable sobre la cual se hace la suma, y el valor de \(r\) incrementa en cada sumando, de uno en uno, desde uno a seis. En este caso la suma sería:

\[\Sigma^6_{r=1}= (2r+4)=(2(1)+4)+(2(2)+4)+(2(3)+4)+(2(4)+4)+(2(5)+4)+(2(6)+4)\]

Algunas aplicaciones donde podemos encontrar series y sucesiones

Las sucesiones y series se pueden encontrar en multitud de situaciones de la vida real, así como también en algunos problemas que incluyan modelado matemático. Algunos ejemplos los podemos encontrar en finanzas; uno clásico sería el que se muestra a continuación:

Otra razón importante para poder calcular los términos de una sucesión es si esta sirve para modelar algún fenómeno físico. Una sucesión, en estos casos, es el resultado de una función matemática. Si cada término corresponde a un paso (por ejemplo, un paso en el tiempo), se puede calcular fácilmente lo que pasaría en un tiempo \(n\), que sería el \(n\) término de la sucesión.

Sucesiones y series en cálculo

Las series y sucesiones también son importantes para otros temas en matemáticas; uno de ellos es el cálculo. Algunos de los problemas que pueden ser resueltos con series y sucesiones son:

• Funciones en las que no se sabe su expresión algebraica o esta es muy complicada: estas funciones pueden ser aproximadas por una serie de funciones, una suma de funciones más simples.

• Análisis de señales: hay un método muy famoso que posiblemente aprenderás en la universidad llamado transformada de Fourier. Este método transforma una señal \(F\) en una serie de funciones más simples \(f\) que, al ser sumadas, representan una aproximación a la función original \(f\).

\[F=f_1+f_2+f_3+f_4...f_n\]

Generalmente, cuantas más funciones simples tengas, más exacta es tu aproximación. Estas funciones más simples son funciones sinusoidales, que las conoces por funciones seno y coseno. Lo puedes ver en la imagen a continuación:

Fig. 1. La transformada de Fourier usa funciones senos y coseno como una suma de funciones como las mostradas aqui para crear una función más compleja como la que se muestra debajo.

Fig. 2. La transformada de Fourier usa funciones senos y coseno como una suma de funciones como las mostradas aqui para crear una función más compleja como la que se muestra arriba

• Límites: este es un tema que verás en bachillerato. Los límites numéricos son los valores a los cuales una función se acerca, o el valor de \(y\) al cual se acerca mientras se acerca al valor de \(x\). Hay funciones que se acercan a un valor definido, cuanto más avanzan, y hay otras que nunca lo hacen; esto es el límite de una serie.

El límite de una serie

Cuando los valores de una serie crecen, \(n\) tiende hacia \(\infty\). Las series, en este caso, pueden converger o divergir.

Este fenómeno se conoce como el límite de una serie.