Teorema fundamental del cálculo

Continuidad y el teorema fundamental del cálculo

Primero, y antes de nada, el teorema fundamental del cálculo necesita que la función que analizas sea continua.

Esto se debe a que, para poder relacionar una función \(f(x)\) con una función que define una integral \(F(x)\) (también conocida como antiderivada), \(f(x)\) debe ser continua.

Veámoslo en la siguiente figura:

Fig. 1. Función con una discontinuidad.

Debido a que la función no es continua, ya que \(h(x)\) está compuesta por dos funciones que podemos nombrar \(g(x)\) y \(f(x)\), no puede existir una única función \(H(x)\) que nos de el área bajo las curvas de \(g(x)\) y \(f(x)\). En este caso, se deben definir dos funciones: una para la curva \(g(x)\), que será \(G(x)\), y otra para la curva \(f(x)\), que será \(F(x)\).

Fig. 2. Función con discontinuidad y su área bajo la curva.

Teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo nos dice, en su primera parte:

• Si \(f(x)\) es una función continua en un intervalo cerrado \([a, b]\), existe una función \(F\) en el mismo intervalo, que es el resultado de:

\[F(x)={\int f(x) dx }\]

Básicamente, esto nos dice que el resultado de integrar la función \(f(x)\) es la función \(F(x)\), también conocida como la antiderivada de la función original.

Segundo teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental tiene una segunda parte, que relaciona el resultado de la integración, las antiderivadas y el valor del área bajo la curva. ¡Veamos cómo funciona esto!

Digamos que se tiene la siguiente función que es \(x^2\). El área bajo la curva se puede calcular de varias formas; la clásica es usando rectángulos pequeños bajo la curva, como se ve en la siguiente figura:

Fig. 3. Función y su área bajo la curva, usando rectángulos.

Pero, hay un problema: estos rectángulos no son exactos; ya que, como la función es una curva, hay un exceso que no se puede calcular. Podrías pensar en hacer los rectángulos muy pequeños; pero, entonces, tendrías que calcular muchas más áreas y sumarlas para poder obtener una medida aproximada del área bajo la curva.

Esto es, sin duda, mucho trabajo. Sin embargo, el segundo teorema fundamental del cálculo nos dice que esta área es igual a la antiderivada evaluada en los extremos de la función; esto se conoce como el segundo teorema fundamental del cálculo integral.

Segundo teorema fundamental del cálculo integral

El segundo teorema fundamental del cálculo integral nos dice, formalmente, que el área bajo la curva de la función \(f(x)\) es la antiderivada \(F(x)\) evaluada en los extremos \(a\) y \(b\).

• Esto se traduce como: \[Área={\int_a^b f(x) dx }=F(b)-F(a)\]

Esto simplifica gran parte del trabajo matemático, ya que no hay que hacer larguísimas sumas. Solo necesitas ver tu tabla de integrales o antiderivadas, evaluarlas en los puntos extremos de la función y proceder a calcular el área bajo la curva.

Ejercicios resueltos del teorema fundamental del cálculo Integral

Ahora, hagamos algunos ejercicios bastante simples usando el teorema fundamental del cálculo:

Esto se puede hacer con funciones mucho más complejas como el \(\sin(x)\) y \(\cos(x)\), aunque requerirían la suma de muchos rectángulos infinitamente pequeños. Esto se debe, precisamente, a que muchas áreas que no son regulares son difíciles de calcular; por eso, el teorema fundamental del cálculo es importante.