Transformación de funciones

Transformaciones elementales de funciones y gráficas

Hay tres transformaciones principales que se pueden realizar a una función y que, por ende, alteran sus gráficas. Estas transformaciones son:

1. Traslación o desplazamiento.
2. Estiramiento o cambio de proporción.
3. Reflexión.

Traslación o desplazamiento de funciones

Las traslaciones son un tipo de transformación gráfica en la que la función se desplaza con respecto a un punto o un eje (también conocida como desplazamiento de funciones). Para explicar una traslación, se utiliza un vector de la forma (x , y), donde la primera parte del vector muestra cómo se ha trasladado la función horizontalmente y la parte final del vector muestra que la función se ha movido verticalmente.

El sentido de la traslación depende de si cada variable es positiva o negativa:

Tabla 2. Variables y números positivos o negativos.

Una función puede expresarse como $f(x)=x^2$. Se transforma usando el vector $(5,-3)$.

Dibuja la nueva función trasladada.

La función original puede verse, gráficamente:

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Fig. 1: Gráfica de la función $x^2$.

El vector te indica que la función se trasladará hacia la derecha en $5$ y hacia abajo en $3$.

Si dibujas esto, la nueva función debería tener este aspecto:

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Fig. 2: Gráfica de la función $x^2$ transformada por el vector $(5,-3)$.

Expresión de funciones trasladadas

Es posible que te pidan que escribas la nueva función trasladada utilizando el vector. Al trasladar la función $f(x)=x^2$ por $(a-b)$, la función trasladada puede escribirse como $f(x)=(x-a{)}^2+b$. Fíjate en que \(a\) se vuelve negativo en la función, pero $b$ permanece igual.

¡Veamos un ejercicio resuelto!

Estiramiento de una función

Una función se puede alargar o estirar tanto horizontal como verticalmente.

1. Estiramiento vertical: $y=f(a\cdot x)$, donde $a$ es el factor de escala por el que se estira la función. Por ejemplo, si la función $y=f(x)$ se estira verticalmente en $5$, la función se convierte en $y=f(5x)$.

2. Estiramiento horizontal: $y=f\left(\frac{x}{a}\right)$ donde $a$ es el factor de escala por el que se estira la función. Como puedes ver, el recíproco de a se utiliza en la ecuación de la función. Por ejemplo, si la función $y=f(x)$ se estira horizontalmente en 2, la función se convierte en $y=f\left(\frac{x}{2}\right)$.

   La función $y=h(x)$ tiene un punto de inflexión en $(2,9)$ y $(10,-6)$ . La función se estira de modo que la nueva función puede expresarse $y=\left(\frac{x}{4}\right)$ . ¿Cuál sería el nuevo punto de inflexión?

   Como el factor de escala está dentro de los paréntesis, la función se está estirando horizontalmente. Además, como la función se está estirando horizontalmente, el factor de escala real del estiramiento de $\frac{1}{4}$ es $4$.

   Por lo tanto, multiplicamos cada una de las coordenadas \(x\) por $4$. El $(2,9)$ se convierte en $(8,9)$ y el $(10,-6)$ en $(40,-6)$. Como puedes ver, la coordenada y no se ve afectada, ya que no se estira.

   Reflexiones

   Las reflexiones se producen cuando las funciones enteras se invierten en una línea de reflexión.

   Todas las reflexiones horizontales en el eje $x$ y verticales se pueden expresar como una función.

• Una función que ha sido reflejada en el eje $x$ puede escribirse como $y=-i(x)$. En los puntos de inflexión de la función, la coordenada \(x\) permanece igual, pero la coordenada $y$ se invierte. Por ejemplo, si una función tiene un punto de inflexión de $(4,-2)$ y se refleja en el eje \(x\), el punto de inflexión se convertirá en $(4,2)$.
• Una función que se ha reflejado en el eje $y$ puede escribirse como $y=j(-x)$. Cuando la función se ha reflejado en el eje $y$, la coordenada $y$ del punto de inflexión se invierte, mientras que la coordenada $x$ permanece igual.

Tabla 3. Reflexiones y coordenadas.

Combinación de transformaciones gráficas

A nivel colegio, tienes que ser capaz de trabajar con una combinación de transformaciones gráficas dentro de una pregunta. Para ello, es necesario que conozcas el orden de las operaciones de las transformaciones gráficas. Aquí tienes la lista en el orden correcto:

1. Estiramiento

2. Reflexión

3. Traslación